Quatrième, cinquième et sixième dérivées de position

En physique , les quatrième, cinquième et sixième dérivées de la position sont définies comme des dérivées du vecteur de position par rapport au temps – les première, deuxième et troisième dérivées étant respectivement la vitesse , l'accélération et la secousse . Les dérivées d'ordre supérieur sont moins courantes que les trois premières ; leurs noms ne sont donc pas aussi normalisés, bien que le concept de trajectoire de rupture minimale ait été utilisé en robotique et soit implémenté dans MATLAB .

Le quatrième dérivé est appelé snap , ce qui conduit les cinquième et sixième dérivés à être « parfois de manière quelque peu facétieuse » appelés crackle et pop , inspirés des mascottes des Rice Krispies Snap, Crackle et Pop . Le quatrième dérivé est également appelé jounce .

Quatrième dérivée(claquer/sauter)

Le claquement, ou le saut, est la quatrième dérivée du vecteur de position par rapport au temps , ou le taux de variation du à-coup par rapport au temps. De manière équivalente, il s'agit de la deuxième dérivée de l'accélération ou de la troisième dérivée de la vitesse , et est défini par l'une des expressions équivalentes suivantes : En génie civil , la conception des voies ferrées et des routes implique la minimisation du claquement, en particulier autour des virages avec différents rayons de courbure . Lorsque le claquement est constant, le à-coup change linéairement, permettant une augmentation en douceur de l'accélération radiale , et lorsque, comme on le préfère, le claquement est nul, le changement de l'accélération radiale est linéaire. La minimisation ou l'élimination du claquement est généralement effectuée à l'aide d'une fonction de clothoïde mathématique . La minimisation du claquement améliore les performances des machines-outils et des montagnes russes. ${\displaystyle {\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>m</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mspace></mspace> <mrow> <mrow> <mover> <mi>ȷ</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>un</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>l</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{ dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les équations suivantes sont utilisées pour l'accrochage constant : ${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{ frac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{ frac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{ frac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{ frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{ frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{ frac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mover> <mi>ȷ</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>ȷ</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>m</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>t</mi> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mover> <mi>un</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>un</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>ȷ</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mrow> <mover> <mi>m</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>un</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>ȷ</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mrow> <mover> <mi>m</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mover> <mi>l</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>l</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>un</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>ȷ</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>24</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mrow> <mover> <mi>m</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,\\{\vec {a}} &={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{ frac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{ frac {1 }{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{ frac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},\\{\ vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{ frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{ frac {1}{6}}{\vec { \jmath }}_{0}t^{3}+{ frac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

où

${\displaystyle {\vec {s <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>m</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {s}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>ȷ</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle {\vec {\jmath <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>ȷ</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { vec { jmath }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle {\vec {a}}_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>un</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { vec {a}} _ {0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle {\vec {a <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>un</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {a}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle {\vec {v}}_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { vec {v}} _ {0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle {\vec {v <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle {\vec {r}}_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>l</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { vec {r}} _ {0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle {\vec {r <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>l</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle t <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La notation (utilisée par Visser ) ne doit pas être confondue avec le vecteur de déplacement communément désigné de la même manière. ${\displaystyle {\vec {s <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>m</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {s}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les dimensions d'un snap sont la distance par quatrième puissance du temps (LT ⁻⁴ ). L' unité SI correspondante est le mètre par seconde à la quatrième puissance, m/s ⁴ , m⋅s ⁻⁴ .

Dérivée cinquième

La cinquième dérivée du vecteur de position par rapport au temps est parfois appelée crépitement. Il s'agit du taux de variation du claquement par rapport au temps. Le crépitement est défini par l'une des expressions équivalentes suivantes : ${\displaystyle {\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mrow> <mover> <mi>m</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>ȷ</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>un</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>l</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^ {2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les équations suivantes sont utilisées pour un crépitement constant : ${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t\\[1ex]{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{ frac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}\\[1ex]{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{ frac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{ frac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}\\[1ex]{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{ frac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{ frac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{ frac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}\\[1ex]{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{ frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{ frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{ frac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{ frac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mover> <mi>m</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>m</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> 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où

${\displaystyle {\vec {c <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {c}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle {\vec {s}}_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {s}}_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle {\vec {s <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {s}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>ȷ</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle {\vec {\jmath <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>ȷ</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {\jmath }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
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${\displaystyle {\vec {v}}_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
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${\displaystyle {\vec {r <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>r</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle t <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les dimensions du crépitement sont LT ⁻⁵ . L' unité SI correspondante est m/s ⁵ .

Dérivée sixième

La sixième dérivée du vecteur de position par rapport au temps est parfois appelée pop. Il s'agit du taux de variation du crépitement par rapport au temps. Pop est défini par l'une des expressions équivalentes suivantes :

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>p</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>ȷ</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>a</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>r</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les équations suivantes sont utilisées pour une population constante : ${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}&={\vec {c}}_{0}+{\vec {p}}\,t\\{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}_{0}\,t+{ frac {1}{2}}{\vec {p}}\,t^{2}\\{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{ frac {1}{2}}{\vec {c}}_{0}\,t^{2}+{ frac {1}{6}}{\vec {p}}\,t^{3}\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{ frac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{ frac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{ frac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{ frac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{ frac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{ frac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{ frac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{ frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{ frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{ frac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{ frac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{ frac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>p</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace></mspace> <mi>t</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mrow> <mover> <mi>p</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace></mspace> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mover> <mi>ȷ</mi> 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{p}}\,t^{6}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

où

${\displaystyle {\vec {p <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>p</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
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${\displaystyle t <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les dimensions de la pop sont LT ^{−6 . L'}unité SI correspondante est m/s ⁶ .