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Noyau défini positif

Soit un ensemble non vide, parfois appelé ensemble d'indices . Une fonction symétrique K : X × X → R {\displaystyle K:{\mathcal {X}} imes {\mathcal {X}} o \mathbb {R} } est appe...

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Soit un ensemble non vide, parfois appelé ensemble d'indices . Une fonction symétrique

tient pour tout

En théorie des probabilités, on fait parfois une distinction entre les noyaux définis positifs, pour lesquels l'égalité dans (1.1) implique

En littérature mathématique, les noyaux sont généralement des fonctions à valeurs complexes. C'est-à-dire une fonction à valeurs complexesnoyau hermitien si

où

Quelques propriétés générales

  • Pour une famille de noyaux pd
    • La somme conique
    • Le produit
    • La limite
  • Si
  • Laisser

Exemples de noyaux pd

  • Exemples courants de noyaux PD définis sur l'espace euclidien
    • Noyau linéaire :
    • Noyau polynomial :
    • Noyau gaussien ( noyau RBF ) :0 K(x,y)=e−‖x−y‖22σ2,x,y∈Rd,σ>0{\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=e^{-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|^{2}}{2\sigma ^{2}}}},\quad \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{d},\sigma >0}0 .
    • Noyau laplacien :0 K(x,y)=e−α‖x−y‖,x,y∈Rd,α>0{\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=e^{-\alpha \|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|},\quad \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{d},\alpha >0}0 .
    • Noyau Abel :0 K(x,y)=e−α|x−y|,x,y∈R,α>0{\displaystyle K(x,y)=e^{-\alpha |x-y|},\quad x,y\in \mathbb {R} ,\alpha >0}0 .
    • Espaces de Sobolev générateurs de noyau
    • Noyau générateur d'espace de Paley-Wiener :0 K(x,y)=depuis⁡(α(x−y)),x,y∈R,α>0{\displaystyle K(x,y)=\operatorname {sinc} (\alpha (x-y)),\quad x,y\in \mathbb {R} ,\alpha >0}0 .
  • Si
  • Noyaux définis sur0. K(θ,θ′)=e−αψ(θ,θ′),α>0.{\displaystyle K( heta , heta ')=e^{-\alpha \psi ( heta , heta ')},\alpha >0.}0.

Exemples d'autres noyaux

Le noyau sigmoïde, ou noyau tangent hyperbolique, est défini comme

Histoire

, fonctions iepd (en effet, M. Mathias et S. Bochner semblent ne pas avoir eu connaissance de l'étude des noyaux pd). Les travaux de Mercer découlent de l'article de Hilbert de 1904 sur les équations intégrales de Fredholm de seconde espèce :

Hilbert avait notamment démontré que

où0 J(x)>0{\displaystyle J(x)>0}0 sauf pour

À peu près au même moment, WH Young, motivé par une question différente dans la théorie des équations intégrales, a montré que pour les noyaux continus, la condition (1.1) est équivalente à

EH Moore a initié l'étude d'un type très général de noyau pd. Si

Une autre voie de développement dans laquelle les noyaux pd ont joué un rôle important est la théorie des harmoniques sur les espaces homogènes, initiée par E. Cartan en 1929 et poursuivie par H. Weyl et S. Ito. La théorie la plus complète des noyaux pd dans les espaces homogènes est celle de M. Krein , qui inclut comme cas particuliers les travaux sur les fonctions pd et les représentations unitaires irréductibles des groupes localement compacts.

En théorie des probabilités, les noyaux pd apparaissent comme noyaux de covariance des processus stochastiques.

Lien avec les espaces de Hilbert à noyau reproduisant et les cartes de caractéristiques

être un ensemble,Pour tout

Définition : Espace

Chaque RKHS possède une fonction spéciale qui lui est associée, à savoir le noyau reproducteur :

Définition : Un noyau reproducteur est une fonction

Cette dernière propriété est appelée propriété de reproduction.

Le résultat suivant démontre l'équivalence entre RKHS et les noyaux reproducteurs :

Théorème — Tout noyau reproduisant

Le lien entre les noyaux définis positifs et les RKHS est donné par le théorème suivant :

Tout noyau reproduisant est défini positif, et tout noyau défini positif définit un unique RKHS, dont il est l'unique noyau reproduisant.

Ainsi, étant donné un noyau défini positif

Comme indiqué précédemment, les noyaux définis positifs peuvent être construits à partir de produits scalaires. Ce fait permet de relier les noyaux définis positifs à un autre objet intéressant qui apparaît dans les applications d'apprentissage automatique : la carte de caractéristiques.

Noyaux et distances

Les méthodes à noyau sont souvent comparées aux méthodes basées sur la distance, telles que les méthodes des plus proches voisins . Dans cette section, nous discutons des parallèles entre leurs deux composantes respectives, à savoir les noyaux.

Ici, une fonction de distance entre chaque paire d'éléments d'un ensemble est définie.

Un lien entre les distances et les noyaux pd est donné par un type particulier de noyau, appelé noyau défini négatif, et défini comme suit

Définition : Une fonction symétrique

tient pour tout

Le parallèle entre les noyaux nd et les distances est le suivant : chaque fois qu'un noyau nd s'annule sur l'ensemble

D'autre part, les noyaux nd peuvent être identifiés à une sous-famille de noyaux pd appelés noyaux infiniment divisibles. Un noyau à valeurs non négatives

Un autre lien réside dans le fait qu'un noyau PD induit une pseudométrique , où la première contrainte sur la fonction de distance est assouplie pour permettre

Certaines applications

Noyaux en apprentissage automatique

d'une fonction modèle inconnue

Supposons maintenant qu'une variable de bruit

  • Estimation de densité par noyaux : Le problème consiste à retrouver la densité

Résolution numérique des équations aux dérivées partielles

Autres applications

Dans la littérature sur les expériences informatiques et autres expériences d'ingénierie, on rencontre de plus en plus de modèles basés sur des noyaux PD, des RBF ou le krigeage . La méthodologie des surfaces de réponse en est un exemple . Parmi les autres applications qui se résument à l'ajustement de données, on peut citer le prototypage rapide et l'infographie . Dans ces domaines, on utilise souvent des modèles de surface implicites pour approximer ou interpoler des données de nuages ​​de points.

Les applications des noyaux pd dans diverses autres branches des mathématiques se trouvent dans l'intégration multivariée, l'optimisation multivariée, l'analyse numérique et le calcul scientifique, où l'on étudie des algorithmes rapides, précis et adaptatifs, idéalement implémentés dans des environnements de calcul haute performance.

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