Krigeage

En statistique , à l'origine en géostatistique , le krigeage ou Kriging ( / ˈ k r iː ɡ ɪ ŋ / ), également connu sous le nom de régression par processus gaussien , est une méthode d' interpolation basée sur un processus gaussien régi par des covariances a priori . Sous des hypothèses appropriées sur l'a priori, le krigeage donne la meilleure prédiction linéaire sans biais (BLUP) aux emplacements non échantillonnés. Les méthodes d'interpolation basées sur d'autres critères tels que la régularité (par exemple, le lissage par spline ) peuvent ne pas donner le BLUP. La méthode est largement utilisée dans le domaine de l'analyse spatiale et des expériences informatiques . La technique est également connue sous le nom de prédiction de Wiener-Kolmogorov , d'après Norbert Wiener et Andrey Kolmogorov .

La base théorique de la méthode a été développée par le mathématicien français Georges Matheron en 1960, sur la base de la thèse de maîtrise de Danie G. Krige , le pionnier de la mesure des teneurs moyennes en or pondérées par la distance au complexe récifal de Witwatersrand en Afrique du Sud . Krige a cherché à estimer la distribution la plus probable de l'or à partir d'échantillons provenant de quelques forages. Le verbe anglais est to krige , et le nom le plus courant est kriging . Le mot est parfois écrit en majuscules sous le nom de Kriging dans la littérature.

Bien que nécessitant beaucoup de calculs dans sa formulation de base, le krigeage peut être étendu à des problèmes plus importants en utilisant diverses méthodes d'approximation .

Le krigeage prédit la valeur d'une fonction à un point donné en calculant une moyenne pondérée des valeurs connues de la fonction dans le voisinage du point. La méthode est étroitement liée à l'analyse de régression . Les deux théories dérivent un meilleur estimateur linéaire sans biais basé sur des hypothèses sur les covariances , utilisent le théorème de Gauss-Markov pour prouver l'indépendance de l'estimation et de l'erreur, et utilisent des formules très similaires. Malgré tout, elles sont utiles dans des cadres différents : le krigeage est utilisé pour l'estimation d'une seule réalisation d'un champ aléatoire, tandis que les modèles de régression sont basés sur plusieurs observations d'un ensemble de données multivariées.

L'estimation du krigeage peut également être vue comme une spline dans un espace de Hilbert à noyau reproducteur , le noyau reproducteur étant donné par la fonction de covariance. La différence avec l'approche classique du krigeage réside dans l'interprétation : alors que la spline est motivée par une interpolation à norme minimale basée sur une structure d'espace de Hilbert, le krigeage est motivé par une erreur de prédiction au carré attendue basée sur un modèle stochastique.

Le krigeage avec des surfaces de tendance polynomiales est mathématiquement identique à l'ajustement de courbes polynomiales par les moindres carrés généralisés .

Le krigeage peut également être compris comme une forme d' optimisation bayésienne . Le krigeage commence par une distribution a priori sur les fonctions . Cette distribution a priori prend la forme d'un processus gaussien : les échantillons d'une fonction seront normalement distribués , où la covariance entre deux échantillons est la fonction de covariance (ou noyau ) du processus gaussien évalué à l'emplacement spatial de deux points. Un ensemble de valeurs est ensuite observé, chaque valeur étant associée à un emplacement spatial. Maintenant, une nouvelle valeur peut être prédite à tout nouvel emplacement spatial en combinant la distribution a priori gaussienne avec une fonction de vraisemblance gaussienne pour chacune des valeurs observées. La distribution a posteriori résultante est également gaussienne, avec une moyenne et une covariance qui peuvent être simplement calculées à partir des valeurs observées, de leur variance et de la matrice du noyau dérivée de la distribution a priori.

Dans les modèles géostatistiques, les données échantillonnées sont interprétées comme le résultat d'un processus aléatoire. Le fait que ces modèles intègrent l'incertitude dans leur conceptualisation ne signifie pas que le phénomène – la forêt, l'aquifère, le gisement minéral – résulte d'un processus aléatoire, mais cela permet plutôt de construire une base méthodologique pour l'inférence spatiale de quantités dans des lieux non observés et de quantifier l'incertitude associée à l'estimateur.

Un processus stochastique est, dans le contexte de ce modèle, simplement une façon d'aborder l'ensemble des données collectées à partir des échantillons. La première étape de la modulation géostatistique consiste à créer un processus aléatoire qui décrit au mieux l'ensemble des données observées.

Une valeur de localisation (dénomination générique d'un ensemble de coordonnées géographiques ) est interprétée comme une réalisation de la variable aléatoire . Dans l'espace où est dispersé l'ensemble des échantillons, il existe des réalisations des variables aléatoires , corrélées entre elles.

L'ensemble des variables aléatoires constitue une fonction aléatoire dont on ne connaît qu'une seule réalisation : l'ensemble des données observées. Avec une seule réalisation de chaque variable aléatoire, il est théoriquement impossible de déterminer un paramètre statistique des variables individuelles ou de la fonction. La solution proposée dans le formalisme géostatistique consiste à supposer différents degrés de stationnarité dans la fonction aléatoire, afin de rendre possible l'inférence de certaines valeurs statistiques.

Par exemple, si l'on suppose, sur la base de l'homogénéité des échantillons dans la zone où la variable est distribuée, l'hypothèse que le premier moment est stationnaire (c'est-à-dire que toutes les variables aléatoires ont la même moyenne), alors on suppose que la moyenne peut être estimée par la moyenne arithmétique des valeurs échantillonnées.

L'hypothèse de stationnarité liée au second moment se définit de la manière suivante : la corrélation entre deux variables aléatoires dépend uniquement de la distance spatiale qui les sépare et est indépendante de leur localisation. Ainsi si et , alors :

Pour simplifier, nous définissons et .

Cette hypothèse permet de déduire ces deux mesures – le variogramme et le covariogramme :

où:

Dans cet ensemble, et désignent le même élément. En général, on utilise une « distance approximative », implémentée à l'aide d'une certaine tolérance.

L'inférence spatiale, ou l'estimation, d'une quantité , à un endroit non observé , est calculée à partir d'une combinaison linéaire des valeurs et des poids observés :

Les pondérations sont destinées à résumer deux procédures extrêmement importantes dans un processus d'inférence spatiale :

• refléter la « proximité » structurelle des échantillons par rapport au lieu d’estimation ;
• en même temps, ils devraient avoir un effet de déségrégation, afin d'éviter les biais causés par d'éventuels regroupements d'échantillons .

Lors du calcul des poids , il y a deux objectifs dans le formalisme géostatistique : l'absence de biais et la variance minimale de l'estimation .

Si le nuage de valeurs réelles est tracé en fonction des valeurs estimées , le critère de non-biais global, de stationnarité intrinsèque ou de stationnarité au sens large du champ, implique que la moyenne des estimations doit être égale à la moyenne des valeurs réelles.

Le deuxième critère dit que la moyenne des écarts au carré doit être minimale, ce qui signifie que lorsque le nuage de valeurs estimées par rapport au nuage de valeurs réelles est plus dispersé, l'estimateur est plus imprécis.

En fonction des propriétés stochastiques du champ aléatoire et des différents degrés de stationnarité supposés, différentes méthodes de calcul des poids peuvent être déduites, c'est-à-dire que différents types de krigeage s'appliquent. Les méthodes classiques sont :

• Le krigeage ordinaire suppose une moyenne inconnue constante uniquement sur le voisinage de recherche de .
• Le krigeage simple suppose la stationnarité du premier moment sur l'ensemble du domaine avec une moyenne connue : , où est la moyenne connue.
• Krigeage universelsuppose un modèle de tendance polynomial général, tel qu'un modèle de tendance linéaire .
• Krigeage IRFksuppose être un polynôme inconnu dans .
• Krigeage des indicateursutilise des fonctions indicatrices au lieu du processus lui-même, afin d'estimer les probabilités de transition.
  • Krigeage à indicateurs multiplesest une version du krigeage par indicateurs fonctionnant avec une famille d'indicateurs. Au départ, le MIK s'est révélé très prometteur en tant que nouvelle méthode capable d'estimer plus précisément les concentrations ou les teneurs globales des gisements minéraux à l'échelle mondiale. Cependant, ces avantages ont été contrebalancés par d'autres problèmes inhérents à la praticabilité de la modélisation en raison des tailles de blocs intrinsèquement grandes utilisées et du manque de résolution à l'échelle de l'exploitation minière. La simulation conditionnelle est rapide, devenant la technique de remplacement acceptée dans ce cas.
• Krigeage disjonctifest une généralisation non linéaire du krigeage.
• Krigeage log-normalinterpole les données positives au moyen de logarithmes .
• Le krigeage latent suppose que les différents kriges au niveau latent (deuxième étape) du modèle non linéaire à effets mixtes produisent une prédiction fonctionnelle spatiale. Cette technique est utile lors de l'analyse de données fonctionnelles spatiales , où est une série de données chronologiques sur une période, est un vecteur de covariables et est une localisation spatiale (longitude, latitude) du -ème sujet.
• Le co-krigeage désigne le krigeage conjoint de données provenant de sources multiples avec une relation entre les différentes sources de données. Le co-krigeage est également possible dans une approche bayésienne .
• Le krigeage bayésien s'écarte de l'optimisation des coefficients et hyperparamètres inconnus, qui est comprise comme une estimation de vraisemblance maximale du point de vue bayésien. Au lieu de cela, les coefficients et les hyperparamètres sont estimés à partir de leurs valeurs d'espérance . Un avantage du krigeage bayésien est qu'il permet de quantifier les preuves et l'incertitude de l' émulateur de krigeage . Si l'émulateur est utilisé pour propager des incertitudes, la qualité de l'émulateur de krigeage peut être évaluée en comparant l'incertitude de l'émulateur à l'incertitude totale (voir également Chaos polynomial bayésien ). Le krigeage bayésien peut également être combiné avec le co-krigeage.

La valeur inconnue est interprétée comme une variable aléatoire située dans , ainsi que les valeurs des échantillons voisins . L'estimateur est également interprété comme une variable aléatoire située dans , résultat de la combinaison linéaire des variables.

Le krigeage cherche à minimiser la valeur quadratique moyenne de l'erreur suivante dans l'estimation , sous réserve de l'absence de biais :

Les deux critères de qualité évoqués précédemment peuvent désormais être exprimés en termes de moyenne et de variance de la nouvelle variable aléatoire :

Manque de partialité

Étant donné que la fonction aléatoire est stationnaire, les poids doivent totaliser 1 pour garantir que le modèle est sans biais. Cela peut être vu comme suit :

Variation minimale

Deux estimateurs peuvent avoir , mais la dispersion autour de leur moyenne détermine la différence de qualité entre les estimateurs. Pour trouver un estimateur avec une variance minimale, nous devons minimiser .

Voir la matrice de covariance pour une explication détaillée.

où les littéraux représentent

Une fois défini le modèle de covariance ou variogramme , ou , valable dans tous les domaines d'analyse de , alors nous pouvons écrire une expression pour la variance d'estimation de tout estimateur en fonction de la covariance entre les échantillons et des covariances entre les échantillons et le point à estimer :

On peut tirer quelques conclusions de cette expression. La variance de l'estimation :

• n'est quantifiable par aucun estimateur linéaire, une fois que la stationnarité de la moyenne et des covariances spatiales, ou variogrammes, sont supposées ;
• augmente lorsque la covariance entre les échantillons et le point à estimer diminue. Cela signifie que, lorsque les échantillons sont plus éloignés de , l'estimation devient moins bonne ;
• croît avec la variance a priori de la variable ; lorsque la variable est moins dispersée, la variance est plus faible en tout point de la zone ;
• ne dépend pas des valeurs des échantillons, ce qui signifie que la même configuration spatiale (avec les mêmes relations géométriques entre les échantillons et le point à estimer) reproduit toujours la même variance d'estimation dans n'importe quelle partie de la zone ; de cette façon, la variance ne mesure pas l'incertitude d'estimation produite par la variable locale.

Système d'équations

La résolution de ce problème d'optimisation (voir multiplicateurs de Lagrange ) donne le système de krigeage :

Le paramètre supplémentaire est un multiplicateur de Lagrange utilisé dans la minimisation de l'erreur de krigeage pour respecter la condition d'impartialité.

Le krigeage simple est mathématiquement le plus simple, mais le moins général. Il suppose que l' espérance mathématique du champ aléatoire est connue et s'appuie sur une fonction de covariance . Cependant, dans la plupart des applications, ni l'espérance mathématique ni la covariance ne sont connues à l'avance.

Les hypothèses pratiques pour l'application du krigeage simple sont les suivantes :

• Stationnarité au sens large du champ (variance stationnaire).
• L'espérance est nulle partout : .
• Fonction de covariance connue .

La fonction de covariance est un choix de conception crucial, car elle stipule les propriétés du processus gaussien et donc le comportement du modèle. La fonction de covariance code des informations sur, par exemple, la régularité et la périodicité, qui se reflètent dans l'estimation produite. Une fonction de covariance très courante est l'exponentielle au carré, qui favorise fortement les estimations de fonctions lisses. Pour cette raison, elle peut produire de mauvaises estimations dans de nombreuses applications du monde réel, en particulier lorsque la véritable fonction sous-jacente contient des discontinuités et des changements rapides.

Système d'équations

Les poids de krigeage du krigeage simple n'ont pas de condition d'impartialité et sont donnés par le système d'équations de krigeage simple :

Ceci est analogue à une régression linéaire de l’autre .

Estimation

L'interpolation par krigeage simple est donnée par

L'erreur de krigeage est donnée par

ce qui conduit à la version des moindres carrés généralisés du théorème de Gauss-Markov (Chiles & Delfiner 1999, p. 159) :

Voir aussi Chaos polynomial bayésien

• L'estimation du krigeage est impartiale : .
• L'estimation du krigeage respecte la valeur réellement observée : (en supposant qu'aucune erreur de mesure ne soit commise).
• L'estimation par krigeage est le meilleur estimateur linéaire sans biais pour savoir si les hypothèses sont valables. Cependant (par exemple Cressie 1993) :
  • Comme pour toute méthode, si les hypothèses ne sont pas vérifiées, le krigeage peut être une mauvaise solution.
  • Il pourrait exister de meilleures méthodes non linéaires et/ou biaisées.
  • Aucune propriété n'est garantie si le mauvais variogramme est utilisé. Cependant, une « bonne » interpolation est généralement obtenue.
  • Le meilleur n'est pas nécessairement bon : par exemple, en cas d'absence de dépendance spatiale, l'interpolation par krigeage n'est aussi bonne que la moyenne arithmétique.
• Le krigeage est une mesure de précision. Cependant, cette mesure dépend de l'exactitude du variogramme.

Bien que le krigeage ait été développé à l'origine pour des applications en géostatistique, il s'agit d'une méthode générale d'interpolation statistique qui peut être appliquée dans n'importe quelle discipline à des données échantillonnées à partir de champs aléatoires qui satisfont aux hypothèses mathématiques appropriées. Il peut être utilisé lorsque des données spatialement liées ont été collectées (en 2D ou 3D) et que des estimations de données « de remplissage » sont souhaitées dans les emplacements (lacunes spatiales) entre les mesures réelles.

À ce jour, le krigeage a été utilisé dans diverses disciplines, notamment les suivantes :

• Sciences de l'environnement
• Hydrogéologie
• Exploitation minière
• Ressources naturelles
• Télédétection
• Évaluation immobilière
• Analyse et optimisation des circuits intégrés
• Modélisation des dispositifs micro-ondes
• Astronomie
• Prédiction de la courbe de production de pétrole des puits de pétrole de schiste

Un autre domaine d'application très important et en pleine croissance en ingénierie est l'interpolation de données issues de simulations informatiques déterministes, par exemple des simulations par éléments finis (FEM). Dans ce cas, le krigeage est utilisé comme outil de métamodélisation , c'est-à-dire un modèle de boîte noire construit sur un ensemble conçu d' expériences informatiques . Dans de nombreux problèmes d'ingénierie pratiques, tels que la conception d'un processus de formage des métaux , une seule simulation FEM peut durer plusieurs heures, voire quelques jours. Il est donc plus efficace de concevoir et d'exécuter un nombre limité de simulations informatiques, puis d'utiliser un interpolateur de krigeage pour prédire rapidement la réponse à tout autre point de conception. Le krigeage est donc très souvent utilisé comme un modèle dit de substitution , implémenté dans des routines d'optimisation . Les modèles de substitution basés sur le krigeage peuvent également être utilisés dans le cas d'entrées entières mixtes.