Formule de masse semi-empirique

En physique nucléaire , la formule de masse semi-empirique ( FSEM ) (parfois aussi appelée formule de Weizsäcker , formule de Bethe-Weizsäcker ou formule de masse de Bethe-Weizsäcker pour la distinguer du processus de Bethe-Weizsäcker ) est utilisée pour estimer la masse d'un noyau atomique à partir de son nombre de protons et de neutrons . Comme son nom l'indique, elle est basée en partie sur la théorie et en partie sur des mesures empiriques . La formule représente le modèle de la goutte liquide proposé par George Gamow , qui peut rendre compte de la plupart des termes de la formule et donne des estimations approximatives des valeurs des coefficients. Elle a été formulée pour la première fois en 1935 par le physicien allemand Carl Friedrich von Weizsäcker , et bien que des améliorations aient été apportées aux coefficients au fil des ans, la structure de la formule reste la même aujourd'hui.

La formule donne une bonne approximation des masses atomiques et donc d'autres effets. Cependant, elle ne parvient pas à expliquer l'existence de lignes d' énergie de liaison plus élevée pour un certain nombre de protons et de neutrons. Ces nombres, appelés nombres magiques , sont à la base du modèle de couche nucléaire .

Le modèle de la goutte de liquide a été proposé pour la première fois par George Gamow et développé par Niels Bohr , John Archibald Wheeler et Lise Meitner . Il traite le noyau comme une goutte de fluide incompressible de très haute densité, maintenue par la force nucléaire (un effet résiduel de la force forte ), il y a une similitude avec la structure d'une goutte de liquide sphérique. Bien qu'il s'agisse d'un modèle brut, le modèle de la goutte de liquide tient compte de la forme sphérique de la plupart des noyaux et fait une prédiction approximative de l'énergie de liaison.

La formule de masse correspondante est définie uniquement en fonction du nombre de protons et de neutrons qu'elle contient. La formule originale de Weizsäcker définit cinq termes :

• Énergie volumique : lorsqu'un ensemble de nucléons de même taille est regroupé dans le plus petit volume, chaque nucléon intérieur a un certain nombre d'autres nucléons en contact avec lui. Ainsi, cette énergie nucléaire est proportionnelle au volume.
• L'énergie de surface corrige l'hypothèse précédente selon laquelle chaque nucléon interagit avec le même nombre d'autres nucléons. Ce terme est négatif et proportionnel à la surface, et est donc à peu près équivalent à la tension superficielle du liquide .
• Énergie de Coulomb , l'énergie potentielle de chaque paire de protons. Comme il s'agit d'une force de répulsion, l'énergie de liaison est réduite.
• L'énergie d'asymétrie (également appelée énergie de Pauli ) explique le principe d'exclusion de Pauli . Un nombre inégal de neutrons et de protons implique que les niveaux d'énergie les plus élevés sont comblés pour un type de particule, tout en laissant vacants les niveaux d'énergie les plus faibles pour l'autre type.
• Énergie de couplage , qui explique la tendance des paires de protons et de neutrons à se former. Un nombre pair de particules est plus stable qu'un nombre impair en raison du couplage de spin .

La masse d'un noyau atomique, pour les neutrons , les protons et donc les nucléons , est donnée par

où et sont respectivement la masse au repos d'un proton et d'un neutron, et est l' énergie de liaison du noyau. La formule de masse semi-empirique indique que l'énergie de liaison est

Le terme est soit nul, soit , selon la parité de et , où pour un exposant . Notez que comme , le numérateur du terme peut être réécrit comme .

Chacun des termes de cette formule a une base théorique. Les coefficients , , , et sont déterminés empiriquement ; bien qu'ils puissent être dérivés de l'expérience, ils sont généralement dérivés de l'ajustement par les moindres carrés aux données contemporaines. Bien qu'ils soient généralement exprimés par ses cinq termes de base, d'autres termes existent pour expliquer des phénomènes supplémentaires. De la même manière que la modification d'un ajustement polynomial modifiera ses coefficients, l'interaction entre ces coefficients lorsque de nouveaux phénomènes sont introduits est complexe ; certains termes s'influencent mutuellement, tandis que le terme est largement indépendant.

Le terme est connu sous le nom de terme de volume . Le volume du noyau est proportionnel à A , donc ce terme est proportionnel au volume, d'où son nom.

La base de ce terme est la force nucléaire forte . La force forte affecte à la fois les protons et les neutrons et, comme prévu, ce terme est indépendant de Z. Étant donné que le nombre de paires pouvant être extraites de particules A est , on pourrait s'attendre à un terme proportionnel à . Cependant, la force forte a une portée très limitée et un nucléon donné ne peut interagir fortement qu'avec ses voisins les plus proches et ses voisins les plus proches. Par conséquent, le nombre de paires de particules qui interagissent réellement est à peu près proportionnel à A , ce qui donne au terme de volume sa forme.

Le coefficient est plus petit que l'énergie de liaison possédée par les nucléons par rapport à leurs voisins ( ), qui est de l'ordre de 40 MeV . Cela est dû au fait que plus le nombre de nucléons dans le noyau est grand, plus leur énergie cinétique est grande, en raison du principe d'exclusion de Pauli . Si l'on traite le noyau comme une boule de Fermi de nucléons , avec un nombre égal de protons et de neutrons, alors l'énergie cinétique totale est , avec l' énergie de Fermi , qui est estimée à 38 MeV . Ainsi, la valeur attendue de dans ce modèle n'est pas loin de la valeur mesurée.

Le terme est connu sous le nom de terme de surface . Ce terme, également basé sur la force forte, est une correction du terme de volume.

Le terme de volume suggère que chaque nucléon interagit avec un nombre constant de nucléons, indépendamment de A . Bien que cela soit presque vrai pour les nucléons situés en profondeur dans le noyau, les nucléons situés à la surface du noyau ont moins de voisins proches, ce qui justifie cette correction. Cela peut également être considéré comme un terme de tension superficielle, et en effet un mécanisme similaire crée une tension superficielle dans les liquides.

Si le volume du noyau est proportionnel à A , alors le rayon doit être proportionnel à et l'aire de surface à . Ceci explique pourquoi le terme de surface est proportionnel à . On peut également en déduire que devrait avoir un ordre de grandeur similaire à .

Le terme ou est connu sous le nom de terme coulombien ou électrostatique .

La base de ce terme est la répulsion électrostatique entre les protons. Dans une approximation très grossière, le noyau peut être considéré comme une sphère de densité de charge uniforme . L' énergie potentielle d'une telle distribution de charge peut être montrée comme étant

où Q est la charge totale et R le rayon de la sphère. La valeur de peut être calculée approximativement en utilisant cette équation pour calculer l'énergie potentielle, en utilisant un rayon nucléaire empirique de et Q = Ze . Cependant, comme la répulsion électrostatique n'existe que pour plus d'un proton, devient :

où se trouve maintenant la constante de Coulomb électrostatique

En utilisant la constante de structure fine , nous pouvons réécrire la valeur de comme

où est la constante de structure fine, et est le rayon d'un noyau , ce qui donne environ 1,25 femtomètre . est la longueur d'onde Compton réduite du proton , et est la masse du proton. Cela donne une valeur théorique approximative de 0,691 MeV , pas très éloignée de la valeur mesurée.

Le terme est connu sous le nom de terme d'asymétrie (ou terme de Pauli ).

La justification théorique de ce terme est plus complexe. Le principe d'exclusion de Pauli stipule qu'aucun fermion identique ne peut occuper exactement le même état quantique dans un atome. À un niveau d'énergie donné, il n'existe qu'un nombre fini d'états quantiques disponibles pour les particules. Cela signifie que dans le noyau, à mesure que davantage de particules sont « ajoutées », ces particules doivent occuper des niveaux d'énergie plus élevés, augmentant l'énergie totale du noyau (et diminuant l'énergie de liaison). Notez que cet effet n'est basé sur aucune des forces fondamentales ( gravitationnelle , électromagnétique, etc.), uniquement sur le principe d'exclusion de Pauli.

Les protons et les neutrons, qui sont des types de particules distincts, occupent des états quantiques différents. On peut imaginer deux « pools » d’états différents : un pour les protons et un pour les neutrons. Par exemple, s’il y a beaucoup plus de neutrons que de protons dans un noyau, certains de ces neutrons auront une énergie plus élevée que les états disponibles dans le pool de protons. Si nous pouvions déplacer certaines particules du pool de neutrons vers le pool de protons, autrement dit, transformer certains neutrons en protons, nous diminuerions considérablement l’énergie. Le déséquilibre entre le nombre de protons et de neutrons fait que l’énergie est plus élevée que nécessaire pour un nombre donné de nucléons . C’est la base du terme d’asymétrie.

La forme réelle du terme d'asymétrie peut être à nouveau dérivée en modélisant le noyau comme une boule de Fermi de protons et de neutrons. Son énergie cinétique totale est

où et sont les énergies de Fermi des protons et des neutrons. Comme elles sont proportionnelles à et respectivement, on obtient

C .

Les termes principaux dans le développement de la différence sont alors

À l'ordre zéro dans l'expansion, l'énergie cinétique est simplement l' énergie de Fermi globale multipliée par . Ainsi, nous obtenons

Le premier terme contribue au terme de volume dans la formule de masse semi-empirique, et le deuxième terme est moins le terme d'asymétrie (rappelez-vous, l'énergie cinétique contribue à l'énergie de liaison totale avec un signe négatif ).

On peut aussi comprendre intuitivement le terme d'asymétrie comme suit. Il doit dépendre de la différence absolue et la forme est simple et différentiable , ce qui est important pour certaines applications de la formule. De plus, les petites différences entre Z et N n'ont pas un coût énergétique élevé. Le A au dénominateur reflète le fait qu'une différence donnée est moins significative pour des valeurs plus grandes de A.

Le terme est connu sous le nom de terme d'appariement (peut-être aussi connu sous le nom d'interaction par paires). Ce terme capture l'effet du couplage de spin . Il est donné par

où se trouve empiriquement avoir une valeur d'environ 1000 keV, diminuant lentement avec le nombre de masse A. L'énergie de liaison peut être augmentée en convertissant l'un des protons ou neutrons impairs en neutron ou proton, de sorte que le nucléon impair peut former une paire avec son voisin impair formant et pair Z , N . Les paires ont des fonctions d'onde qui se chevauchent et sont très proches les unes des autres avec une liaison plus forte que toute autre configuration. Lorsque le terme d'appariement est substitué dans l'équation d'énergie de liaison, pour un Z , N pair , le terme d'appariement ajoute de l'énergie de liaison, et pour un Z , N impair , le terme d'appariement supprime l'énergie de liaison.

La dépendance au nombre de masse est généralement paramétrée comme

La valeur de l'exposant k _P est déterminée à partir de données expérimentales sur l'énergie de liaison. Dans le passé, on supposait souvent que sa valeur était de −3/4, mais les données expérimentales modernes indiquent qu'une valeur de −1/2 est plus proche de la réalité :

En raison du principe d'exclusion de Pauli, le noyau aurait une énergie plus faible si le nombre de protons avec spin up était égal au nombre de protons avec spin down. Ceci est également vrai pour les neutrons. Ce n'est que si Z et N sont tous deux pairs que les protons et les neutrons peuvent avoir un nombre égal de particules avec spin up et spin down. Il s'agit d'un effet similaire au terme d'asymétrie.

Le facteur n'est pas facilement explicable théoriquement. Le calcul de la boule de Fermi que nous avons utilisé ci-dessus, basé sur le modèle de la goutte liquide mais négligeant les interactions, donnera une dépendance, comme dans le terme d'asymétrie. Cela signifie que l'effet réel pour les gros noyaux sera plus important que prévu par ce modèle. Cela devrait s'expliquer par les interactions entre nucléons. Par exemple, dans le modèle de couche , deux protons avec les mêmes nombres quantiques (autres que le spin ) auront des fonctions d'onde qui se chevauchent complètement et auront donc une plus grande interaction forte entre eux et une énergie de liaison plus forte. Cela rend énergétiquement favorable (c'est-à-dire ayant une énergie plus faible) pour les protons de former des paires de spins opposés. Il en va de même pour les neutrons.

Les coefficients sont calculés en s'adaptant aux masses de noyaux mesurées expérimentalement. Leurs valeurs peuvent varier en fonction de la manière dont elles sont ajustées aux données et de l'unité utilisée pour exprimer la masse. Plusieurs exemples sont présentés ci-dessous.

La formule ne tient pas compte de la structure de la coque interne du noyau.

La formule de masse semi-empirique permet donc une bonne adaptation aux noyaux plus lourds, et une mauvaise adaptation aux noyaux très légers, en particulier ⁴ He . Pour les noyaux légers, il est généralement préférable d'utiliser un modèle qui prend en compte cette structure de couche.

En maximisant E _b ( A , Z ) par rapport à Z , on trouverait le meilleur rapport neutron–proton N / Z pour un poids atomique A donné . On obtient

Ce rapport est d'environ 1 pour les noyaux légers, mais pour les noyaux lourds, il croît en bon accord avec l'expérience .

En remplaçant la valeur Z ci-dessus dans E _b , on obtient l'énergie de liaison en fonction du poids atomique, E _b ( A ) . En maximisant E _b ( A )/ A par rapport à A, on obtient le noyau qui est le plus fortement lié, c'est-à-dire le plus stable. La valeur que l'on obtient est A = 63 ( cuivre ), proche des valeurs mesurées de A = 62 ( nickel ) et A = 58 ( fer ).

Le modèle de la goutte liquide permet également de calculer les barrières de fission pour les noyaux, qui déterminent la stabilité d'un noyau contre la fission spontanée . On a d'abord émis l'hypothèse que les éléments au-delà du numéro atomique 104 ne pouvaient pas exister, car ils subiraient une fission avec des demi-vies très courtes, bien que cette formule ne prenne pas en compte les effets stabilisateurs des couches nucléaires fermées . Une formule modifiée prenant en compte les effets de couche reproduit les données connues et l' îlot de stabilité prédit (dans lequel les barrières de fission et les demi-vies devraient augmenter, atteignant un maximum à la fermeture des couches), mais suggère également une limite possible à l'existence de noyaux superlourds au-delà de Z = 120 et N = 184.