Système local

En mathématiques , un système local (ou un système de coefficients locaux ) sur un espace topologique X est un outil de topologie algébrique qui interpole entre la cohomologie à coefficients dans un groupe abélien fixe A et la cohomologie générale des faisceaux dans laquelle les coefficients varient d'un point à un autre. Les systèmes de coefficients locaux ont été introduits par Norman Steenrod en 1943.

Les systèmes locaux sont les éléments de base d’outils plus généraux, tels que les faisceaux constructibles et pervers .

Soit X un espace topologique . Un système local (de groupes abéliens / modules ...) sur X est un faisceau localement constant (de groupes abéliens / de modules ...) sur X . En d'autres termes, un faisceau est un système local si tout point possède un voisinage ouvert tel que le faisceau restreint soit isomorphe à la faisceauification d'un préfaisceau constant.

Si X est connexe par chemins , un système local de groupes abéliens a la même tige en tout point. Il existe une correspondance bijective entre les systèmes locaux sur X et les homomorphismes de groupes

et de même pour les systèmes locaux de modules. L'application donnant le système local est appelée représentation de monodromie de .

Ceci montre que (pour X chemin connexe) un système local est précisément un faisceau dont le retrait vers la couverture universelle de X est un faisceau constant.

Cette correspondance peut être valorisée en une équivalence de catégories entre la catégorie des systèmes locaux de groupes abéliens sur X et la catégorie des groupes abéliens munis d'une action de (équivalent, -modules).

Une définition non équivalente plus forte qui fonctionne pour X non connecté est la suivante : un système local est un foncteur covariant

du groupoïde fondamental de à la catégorie des modules sur un anneau commutatif , où typiquement . Il s'agit de manière équivalente des données d'une affectation à tout point d'un module ainsi que d'une représentation de groupe telle que les différents soient compatibles avec le changement de point de base et l'application induite sur les groupes fondamentaux .

• Faisceaux constants tels que . C'est un outil utile pour calculer la cohomologie car dans de bonnes situations, il existe un isomorphisme entre la cohomologie des faisceaux et la cohomologie singulière :

• Soit . Puisque , il existe une famille de systèmes locaux sur X correspondant aux applications :

• Sections horizontales de fibrés vectoriels avec une connexion plate. Si est un fibré vectoriel avec une connexion plate , alors il existe un système local donné par Par exemple, prenons et , le fibré trivial. Les sections de E sont des n -uplets de fonctions sur X , donc définit une connexion plate sur E , comme pour toute matrice de formes uniques sur X . Les sections horizontales sont alors

  Si s'étend à une forme unique sur ce qui précède définira également un système local sur , donc sera trivial puisque . Donc pour donner un exemple intéressant, choisissons-en un avec un pôle à 0 :

• Une carte de recouvrement à n nappes est un système local dont les fibres sont données par l'ensemble . De même, un faisceau de fibres à fibres discrètes est un système local, car chaque chemin se lève de manière unique vers une levée donnée de son point de base. (La définition s'ajuste pour inclure les systèmes locaux à valeurs d'ensemble de manière évidente).

• Un système local de k -espaces vectoriels sur X est équivalent à une représentation k -linéaire de .

• Si X est une variété, les systèmes locaux sont la même chose que les D-modules qui sont en plus des O_X -modules cohérents (voir modules O ).

• Si la connexion n'est pas plate (c'est-à-dire que sa courbure est non nulle), alors le transport parallèle d'une fibre F_x sur x autour d'une boucle contractile basée sur x _0 peut donner un automorphisme non trivial de F_x , donc des faisceaux localement constants ne peuvent pas nécessairement être définis pour des connexions non plates.

• La connexion Gauss-Manin est un exemple frappant d'une connexion dont les sections horizontales sont étudiées en relation avec la variation des structures de Hodge .

Il existe plusieurs façons de définir la cohomologie d'un système local, appelée cohomologie à coefficients locaux , qui deviennent équivalentes sous des hypothèses douces sur X.

• Étant donné un faisceau localement constant de groupes abéliens sur X , nous avons les groupes de cohomologie de faisceaux avec des coefficients dans .

• Étant donné un faisceau localement constant de groupes abéliens sur X , soit le groupe de toutes les fonctions f qui associent chaque n -simplexe singulier à une section globale du faisceau image inverse . Ces groupes peuvent être transformés en un complexe de cochaînes avec des différentielles construites comme dans la cohomologie singulière habituelle. Définir comme étant la cohomologie de ce complexe.

• Le groupe des n -chaînes singulières sur le revêtement universel de X a une action de par les transformations de pont . Explicitement, une transformation de pont prend un n -simplexe singulier en . Alors, étant donné un groupe abélien L muni d'une action de , on peut former un complexe de cochaînes à partir des groupes d' homomorphismes -équivariants comme ci-dessus. Définissons comme étant la cohomologie de ce complexe.

Si X est paracompacte et localement contractible , alors . Si est le système local correspondant à L , alors il existe une identification compatible avec les différentielles, donc .

Les systèmes locaux ont une généralisation modérée aux faisceaux constructibles - un faisceau constructible sur un espace topologique localement connecté au chemin est un faisceau tel qu'il existe une stratification de

où est un système local. Ceux-ci sont généralement trouvés en prenant la cohomologie du pushforward dérivé pour une application continue . Par exemple, si nous regardons les points complexes du morphisme

puis les fibres sur

sont les courbes planes données par , mais les fibres sur sont . Si nous prenons la poussée dérivée vers l'avant , nous obtenons un faisceau constructible. Sur nous avons les systèmes locaux

tandis que nous avons les systèmes locaux

où est le genre de la courbe plane (qui est ).

La cohomologie à coefficients locaux dans le module correspondant au revêtement d'orientation peut être utilisée pour formuler la dualité de Poincaré pour les variétés non orientables : voir Dualité de Poincaré torsadée .