Méthode du point matériel

La méthode des points matériels ( MPM ) est une technique numérique utilisée pour simuler le comportement des solides , des liquides , des gaz et de tout autre matériau continu . Il s'agit en particulier d'une méthode de discrétisation spatiale robuste pour simuler les interactions multiphasiques (solide-fluide-gaz). Dans la MPM, un corps continu est décrit par un certain nombre de petits éléments lagrangiens appelés « points matériels ». Ces points matériels sont entourés d'un maillage/grille d'arrière-plan qui est utilisé pour calculer des termes tels que le gradient de déformation. Contrairement à d'autres méthodes basées sur le maillage comme la méthode des éléments finis , la méthode des volumes finis ou la méthode des différences finies , la MPM n'est pas une méthode basée sur le maillage et est plutôt classée comme une méthode de particules sans maillage/sans maillage ou basée sur le continuum, dont des exemples sont l'hydrodynamique des particules lissées et la péridynamique . Malgré la présence d'un maillage d'arrière-plan, la MPM ne rencontre pas les inconvénients des méthodes basées sur le maillage (enchevêtrement de déformation élevé, erreurs d'advection, etc.), ce qui en fait un outil prometteur et puissant en mécanique computationnelle .

Le MPM a été proposé à l'origine, comme une extension d'une méthode similaire connue sous le nom de FLIP (une extension supplémentaire d'une méthode appelée PIC ) à la dynamique computationnelle des solides, au début des années 1990 par les professeurs Deborah L. Sulsky, Zhen Chen et Howard L. Schreyer de l'Université du Nouveau-Mexique. Après ce développement initial, le MPM a été développé davantage dans les laboratoires nationaux ainsi qu'à l' Université du Nouveau-Mexique , à l'Université d'État de l'Oregon , à l'Université de l'Utah et dans d'autres pays aux États-Unis et dans le monde. Récemment, le nombre d'institutions effectuant des recherches sur le MPM a augmenté, avec une popularité et une notoriété accrues provenant de diverses sources telles que l'utilisation du MPM dans le film Disney Frozen .

Une simulation MPM comprend les étapes suivantes :

(Avant la phase d'intégration temporelle)

1. Initialisation des points de grille et de matériel.
   1. Une géométrie est discrétisée en un ensemble de points matériels, chacun ayant ses propres propriétés matérielles et conditions initiales (vitesse, contrainte, température, etc.).
   2. La grille, utilisée uniquement pour fournir un espace pour les calculs de gradient, est normalement conçue pour couvrir une zone suffisamment grande pour remplir l'étendue attendue du domaine de calcul nécessaire à la simulation.

(Pendant la phase d'intégration temporelle - formulation explicite )

1. Les quantités de points matériels sont extrapolées aux nœuds de la grille.
   1. La masse ponctuelle matérielle ( ), les moments ( ), les contraintes ( ) et les forces externes ( ) sont extrapolées aux nœuds situés aux coins des cellules dans lesquelles se trouvent les points matériels. Cette opération est généralement réalisée à l'aide de fonctions de forme linéaires standard ( ), les mêmes que celles utilisées dans la méthode des éléments finis.
   2. La grille utilise les valeurs des points matériels pour créer les masses ( ), les vitesses ( ), les vecteurs de force internes et externes ( , ) pour les nœuds :
2. Les équations du mouvement sont résolues sur la grille.
   1. La deuxième loi de Newton est résolue pour obtenir l'accélération nodale ( )
   2. De nouvelles vitesses nodales sont trouvées ( ).
3. Les termes dérivés sont extrapolés aux points matériels
   1. L'accélération ponctuelle matérielle ( ), le gradient de déformation ( ) (ou le taux de déformation ( ) selon la théorie de déformation utilisée) sont extrapolés à partir des nœuds environnants en utilisant des fonctions de forme similaires à celles précédentes ( ).
   2. Les variables sur les points matériels : positions, vitesses, déformations, contraintes etc. sont ensuite mises à jour avec ces taux en fonction du schéma d'intégration choisi et d'un modèle constitutif adapté .
4. Réinitialisation de la grille.

   Maintenant que les points matériels sont entièrement mis à jour à l'étape suivante, la grille est réinitialisée pour permettre le début de l'étape suivante.

Le PIC a été conçu à l'origine pour résoudre des problèmes de dynamique des fluides et développé par Harlow au Laboratoire national de Los Alamos en 1957. L'un des premiers codes PIC était le programme Fluid-Implicit Particle (FLIP), créé par Brackbill en 1986 et en développement constant depuis. Jusqu'aux années 1990, la méthode PIC était principalement utilisée en dynamique des fluides.

Motivés par la nécessité de mieux simuler les problèmes de pénétration dans la dynamique des solides, Sulsky, Chen et Schreyer ont commencé en 1993 à reformuler le PIC et à développer le MPM, avec un financement des Sandia National Laboratories. Le MPM original a ensuite été étendu par Bardenhagen et al. . pour inclure le contact par frottement, qui a permis la simulation de l'écoulement granulaire, et par Nairn pour inclure les fissures explicites et la propagation des fissures (connue sous le nom de CRAMP).

Récemment, une implémentation MPM basée sur un continuum Cosserat micropolaire a été utilisée pour simuler un écoulement granulaire à cisaillement élevé, tel que le déversement d'un silo. Les utilisations du MPM ont été étendues à l'ingénierie géotechnique avec le développement récent d'un solveur MPM implicite quasi-statique qui fournit des analyses numériquement stables des problèmes de déformation importante en mécanique des sols .

Des ateliers annuels sur l'utilisation du MPM sont organisés à divers endroits aux États-Unis. Le cinquième atelier MPM s'est tenu à l'Université d'État de l'Oregon , à Corvallis, Oregon , les 2 et 3 avril 2009.

Les applications de la méthode PIC ou MPM peuvent être divisées en deux grandes catégories : d'une part, il existe de nombreuses applications impliquant la dynamique des fluides, la physique des plasmas, la magnétohydrodynamique et les applications multiphasiques. La deuxième catégorie d'applications comprend les problèmes de mécanique des solides.

La méthode PIC a été utilisée pour simuler une large gamme d'interactions fluide-solide, y compris la dynamique de la glace de mer, la pénétration des tissus mous biologiques, la fragmentation des conteneurs remplis de gaz, la dispersion des polluants atmosphériques, des simulations multi-échelles couplant la dynamique moléculaire avec MPM, et les interactions fluide-membrane. De plus, le code FLIP basé sur PIC a été appliqué dans les outils de magnétohydrodynamique et de traitement du plasma, ainsi que dans les simulations en astrophysique et en écoulement à surface libre.

Grâce à un effort conjoint entre le département de mathématiques de l'UCLA et Walt Disney Animation Studios , MPM a été utilisé avec succès pour simuler la neige dans le film d'animation Frozen de 2013.

Le MPM a également été largement utilisé en mécanique des solides, pour simuler l'impact, la pénétration, la collision et le rebond, ainsi que la propagation des fissures. Le MPM est également devenu une méthode largement utilisée dans le domaine de la mécanique des sols : il a été utilisé pour simuler l'écoulement granulaire, le test de rapidité des argiles sensibles, les glissements de terrain, le déchargement de silos, le battage de pieux, le test du cône de chute, le remplissage de seaux et la rupture de matériaux ; et pour modéliser la distribution des contraintes du sol, le compactage et le durcissement. Il est maintenant utilisé dans les problèmes de mécanique du bois tels que les simulations de compression transversale au niveau cellulaire, y compris le contact avec les parois cellulaires. Le travail a également reçu le prix George Marra pour le papier de l'année de la Society of Wood Science and Technology.

Les méthodes sans maillage constituent un sous-ensemble des méthodes numériques . Elles sont définies comme des méthodes pour lesquelles « un maillage prédéfini n'est pas nécessaire, du moins dans l'interpolation des variables de champ ». Idéalement, une méthode sans maillage n'utilise pas de maillage « tout au long du processus de résolution du problème régi par des équations aux dérivées partielles, sur un domaine arbitraire donné, sous réserve de toutes sortes de conditions aux limites », bien que les méthodes existantes ne soient pas idéales et échouent dans au moins un de ces domaines. Les méthodes sans maillage, qui sont aussi parfois appelées méthodes particulaires, partagent une « caractéristique commune selon laquelle l'histoire des variables d'état est tracée à des points (particules) qui ne sont connectés à aucun maillage d'élément, dont la distorsion est une source de difficultés numériques ». Comme le montrent ces différentes interprétations, certains scientifiques considèrent que la méthode MPM est une méthode sans maillage, tandis que d'autres ne le pensent pas. Tous conviennent cependant que la méthode MPM est une méthode particulaire.

Les méthodes ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) constituent un autre sous-ensemble de méthodes numériques qui inclut MPM. Les méthodes purement lagrangiennes utilisent un cadre dans lequel un espace est discrétisé en sous-volumes initiaux, dont les trajectoires d'écoulement sont ensuite tracées au fil du temps. Les méthodes purement eulériennes , en revanche, utilisent un cadre dans lequel le mouvement de la matière est décrit par rapport à un maillage qui reste fixe dans l'espace tout au long du calcul. Comme leur nom l'indique, les méthodes ALE combinent les référentiels lagrangiens et eulériens.

Les méthodes PIC peuvent être basées soit sur la forme forte, soit sur une discrétisation sous forme faible de l' équation aux dérivées partielles (EDP) sous-jacente. Celles basées sur la forme forte sont correctement appelées méthodes PIC à volumes finis. Celles basées sur la discrétisation sous forme faible des EDP peuvent être appelées PIC ou MPM.

Les solveurs MPM peuvent modéliser des problèmes en une, deux ou trois dimensions spatiales, et peuvent également modéliser des problèmes axisymétriques . MPM peut être mis en œuvre pour résoudre des équations de mouvement quasi-statiques ou dynamiques , selon le type de problème à modéliser. Plusieurs versions de MPM incluent la méthode d'interpolation généralisée des points matériels ; la méthode d'interpolation du domaine des particules convectées ; la méthode d'interpolation des moindres carrés des particules convectées.

L'intégration temporelle utilisée pour MPM peut être explicite ou implicite . L'avantage de l'intégration implicite est la stabilité garantie, même pour les grands pas de temps. En revanche, l'intégration explicite est beaucoup plus rapide et plus facile à mettre en œuvre.

Contrairement à la méthode des éléments finis , la méthode MPM ne nécessite pas d'étapes périodiques de remaillage ni de remappage des variables d'état, et est donc mieux adaptée à la modélisation de grandes déformations de matériaux. Dans la méthode MPM, ce sont les particules et non les points du maillage qui stockent toutes les informations sur l'état du calcul. Par conséquent, aucune erreur numérique ne résulte du retour du maillage à sa position d'origine après chaque cycle de calcul, et aucun algorithme de remaillage n'est requis.

La base particulaire du MPM lui permet de traiter la propagation des fissures et d'autres discontinuités mieux que la méthode des éléments finis, qui est connue pour imposer l'orientation du maillage à la propagation des fissures dans un matériau. De plus, les méthodes particulaires sont plus efficaces pour gérer les modèles constitutifs dépendants de l'historique.

Étant donné que dans MPM les nœuds restent fixés sur une grille régulière, le calcul des gradients est trivial.

Dans les simulations avec deux phases ou plus, il est assez facile de détecter le contact entre les entités, car les particules peuvent interagir via la grille avec d'autres particules dans le même corps, avec d'autres corps solides et avec des fluides.

Le MPM est plus coûteux en termes de stockage que les autres méthodes, car il utilise des données de maillage et de particules. Le MPM est plus coûteux en termes de calcul que la méthode des éléments finis, car la grille doit être réinitialisée à la fin de chaque étape de calcul du MPM et réinitialisée au début de l'étape suivante. Des oscillations parasites peuvent se produire lorsque les particules franchissent les limites du maillage dans le MPM, bien que cet effet puisse être minimisé en utilisant des méthodes d'interpolation généralisée (GIMP). Dans le MPM comme dans la méthode des éléments finis, la taille et l'orientation du maillage peuvent avoir un impact sur les résultats d'un calcul : par exemple, dans le MPM, la localisation des contraintes est connue pour être particulièrement sensible au raffinement du maillage. Un problème de stabilité dans le MPM qui ne se produit pas dans la méthode des éléments finis est celui des erreurs de croisement de cellules et des erreurs d'espace nul car le nombre de points d'intégration (points matériels) ne reste pas constant dans une cellule.