Péridynamique

La péridynamique est une formulation non locale de la mécanique des milieux continus qui est orientée vers les déformations avec discontinuités, en particulier les fractures . A l'origine, la péridynamique basée sur les liaisons a été introduite, dans laquelle les forces d'interaction internes entre un point matériel et tous les autres avec lesquels il peut interagir sont modélisées comme un champ de forces central . Ce type de champs de force peut être imaginé comme un maillage de liaisons reliant chaque point du corps à tous les autres points en interaction dans une certaine distance qui dépend de la propriété du matériau, appelée horizon péridynamique . Plus tard, pour surmonter les limitations du cadre basé sur les liaisons pour le coefficient de Poisson du matériau ( pour les contraintes planes et pour les déformations planes dans des configurations bidimensionnelles ; pour les configurations tridimensionnelles), la péridynamique basée sur les états a été formulée. Sa caractéristique est que la force échangée entre un point et un autre est influencée par l'état de déformation de toutes les autres liaisons par rapport à sa zone d'interaction.

La caractéristique de la péridynamique, qui la différencie de la mécanique locale classique, est la présence d'une liaison à portée finie entre deux points quelconques du corps matériel : c'est une caractéristique qui rapproche de telles formulations des théories discrètes de la matière à méso-échelle.

Le terme péridynamique , en tant qu'adjectif, a été proposé en 2000 et vient du préfixe peri- , qui signifie tout autour , près ou entourant ; et de la racine dyna , qui signifie force ou puissance . Le terme péridynamique , en tant que nom, est une forme abrégée de l'expression modèle péridynamique de la mécanique des solides.

Une fracture est une singularité mathématique à laquelle les équations classiques de la mécanique des milieux continus ne peuvent pas être appliquées directement. La théorie péridynamique a été proposée dans le but de modéliser mathématiquement la formation et la dynamique des fractures dans les matériaux élastiques. Elle est fondée sur des équations intégrales , contrairement à la mécanique des milieux continus classique, qui est basée sur des équations aux dérivées partielles . Étant donné que les dérivées partielles n'existent pas sur les surfaces de fissures et d'autres singularités géométriques , les équations classiques de la mécanique des milieux continus ne peuvent pas être appliquées directement lorsque de telles caractéristiques sont présentes dans une déformation . Les équations intégrales de la théorie péridynamique sont également valables pour les singularités et peuvent être appliquées directement, car elles ne nécessitent pas de dérivées partielles. La possibilité d'appliquer les mêmes équations directement à tous les points d'un modèle mathématique d'une structure déformante permet à l'approche péridynamique d'éviter le recours à des techniques spéciales de mécanique de la fracture comme xFEM . Par exemple, en péridynamique, il n'est pas nécessaire d'avoir une loi de croissance de fissure distincte basée sur un facteur d'intensité de contrainte .

Dans le contexte de la théorie péridynamique, les corps physiques sont considérés comme constitués d'un maillage continu de points pouvant échanger des forces d'interaction mutuelle à longue portée, dans un rayon maximal et bien établi : le rayon de l'horizon péridynamique . Cette perspective se rapproche beaucoup plus de la dynamique moléculaire que des corps macroscopiques , et par conséquent, ne se base pas sur le concept de tenseur de contraintes (qui est un concept local) et dérive vers la notion de force par paires qu'un point matériel échange dans son horizon péridynamique. Avec un point de vue lagrangien , adapté aux petits déplacements, l'horizon péridynamique est considéré comme fixé dans la configuration de référence et, alors, se déforme avec le corps. Considérons un corps matériel représenté par , où peut être soit 1, 2 ou 3. Le corps a une densité positive . Sa configuration de référence à l'instant initial est notée . Il est important de noter que la configuration de référence peut être soit la configuration sans contrainte , soit une configuration spécifique du corps choisi comme référence. Dans le contexte de la péridynamique, chaque point de interagit avec tous les points d'un certain voisinage défini par , où et représente une fonction de distance appropriée sur . Ce voisinage est souvent appelé dans la littérature. Il est communément appelé l' horizon ou la famille de . $0\delta >0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9">$0\delta >0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9">

La cinématique de est décrite en termes de son déplacement par rapport à la position de référence, notée . Par conséquent, la position de à un instant donné est déterminée par . De plus, pour chaque paire de points en interaction, l'évolution de la longueur de la liaison par rapport à la configuration initiale est suivie au fil du temps grâce à la déformation relative , qui peut être exprimée comme suit :

où désigne la norme euclidienne et .

L'interaction entre un élément et un autre est appelée liaison . Ces liaisons par paires ont des longueurs variables au fil du temps en réponse à la force par unité de volume au carré, notée

Cette force est communément appelée fonction de force par paires ou noyau péridynamique , et elle englobe toutes les propriétés constitutives (dépendantes du matériau). Elle décrit comment les forces internes dépendent de la déformation. Il convient de noter que la dépendance de a été omise ici pour des raisons de simplicité de notation. De plus, un terme de force externe, , est introduit, ce qui donne l'équation de mouvement suivante, représentant l'équation fondamentale de la péridynamique :

où le terme intégral est la somme de toutes les forces internes et externes par unité de volume agissant sur :

La fonction à valeur vectorielle est la densité de force qui s'exerce sur . Cette densité de force dépend des vecteurs de déplacement relatif et de position relative entre et . La dimension de est .

Dans cette formulation de la péridynamique, le noyau est déterminé par la nature des forces internes et des contraintes physiques qui régissent l'interaction entre seulement deux points matériels. Par souci de concision, les quantités suivantes sont définies et de telle sorte que

Pour tout et appartenant au voisinage , la relation suivante est vraie : . Cette expression reflète le principe d'action et de réaction, communément appelé troisième loi de Newton. Elle garantit la conservation de l'impulsion linéaire dans un système composé de particules en interaction mutuelle.

Pour tout et appartenant au voisinage , la condition suivante est vérifiée : . Cette condition résulte de la considération du rayon- vecteur déformé relatif reliant et comme . La condition est satisfaite si et seulement si le vecteur de densité de force par paire a la même direction que le rayon-vecteur déformé relatif. En d'autres termes, pour tout et , où est une fonction à valeur scalaire.

Un matériau hyperélastique est un matériau dont la relation constitutive est telle que :

ou, de manière équivalente, par le théorème de Stokes

et donc,

Dans l'équation ci-dessus se trouve la fonction de potentiel à valeur scalaire dans . En raison de la nécessité de satisfaire la conservation du moment angulaire , la condition ci-dessous sur la fonction à valeur scalaire suit

où est une fonction à valeur scalaire. En intégrant les deux côtés de l'équation, on obtient la condition suivante sur

pour une fonction à valeur scalaire. La nature élastique de est évidente : la force d'interaction ne dépend que de la position relative initiale entre les points et et du module de leur position relative, , dans la configuration déformée à l'instant . En appliquant l' hypothèse d'isotropie , la dépendance au vecteur peut être remplacée par une dépendance à son module ,

Les forces de liaison peuvent donc être considérées comme modélisant un réseau à ressort qui relie chaque point par paires avec .

Si , le noyau péridynamique peut être linéarisé autour de :

alors, un tenseur de micro-module du second ordre peut être défini comme

où et est le tenseur d'identité. Après application de l'équilibre de l'impulsion linéaire, de l'élasticité et de la condition d'isotropie, le tenseur de micro-module peut être exprimé sous cette forme

Par conséquent, pour un matériau hyperélastique linéarisé, son noyau péridynamique possède la structure suivante

Le noyau péridynamique est une fonction polyvalente qui caractérise le comportement constitutif des matériaux dans le cadre de la théorie péridynamique. Une formulation couramment utilisée du noyau est utilisée pour décrire une classe de matériaux connus sous le nom de matériaux micro-élastiques fragiles prototypes (PMB). Dans le cas des matériaux PMB isotropes, la force par paire est supposée être linéairement proportionnelle à l'étirement fini subi par le matériau, défini comme

de sorte que

où

et où la fonction scalaire est définie comme suit

La constante est appelée constante de micromodule et la fonction sert à indiquer si, à un moment donné , l'étirement de la liaison associée à la paire a dépassé la valeur critique . Si la valeur critique est dépassée, la liaison est considérée comme rompue et une force par paire de zéro est attribuée à toutes les paires .

Après une comparaison entre la valeur de la densité d'énergie de déformation obtenue sous extension isotrope en utilisant respectivement la péridynamique et le cadre de la théorie classique du continuum, la valeur cohérente physique du micro-module peut être trouvée

où est le module d'élasticité du matériau.

En suivant la même approche la constante de micro-module peut être étendue à , où est maintenant une fonction de micro-module . Cette fonction fournit une description plus détaillée de la manière dont l'intensité des forces par paires est distribuée sur l'horizon péridynamique . Intuitivement, l'intensité des forces diminue à mesure que la distance entre et augmente, mais la manière spécifique dont cette diminution se produit peut varier.

La fonction micro-module est exprimée comme

où la constante est obtenue en comparant la densité de contrainte péridynamique avec les théories mécaniques classiques ; est une fonction définie sur avec les propriétés suivantes (étant donné les restrictions de conservation de l'impulsion et d'isotropie)

où est la fonction Delta de Dirac .

L'expression la plus simple pour la fonction micro-module est

où : est la fonction indicatrice du sous-ensemble , définie comme

Elle est caractérisée par le fait d'être une fonction linéaire

Si l'on veut refléter le fait que la plupart des systèmes physiques discrets courants sont caractérisés par une distribution de Maxwell-Boltzmann , afin d'inclure ce comportement dans la péridynamique, l'expression suivante pour peut être utilisée

Dans la littérature, on peut également trouver l'expression suivante pour la fonction

Globalement, en fonction de la propriété spécifique du matériau à modéliser, il existe une large gamme d'expressions pour le micromodule et, en général, pour le noyau péridynamique. La liste ci-dessus n'est donc pas exhaustive.

Les dommages sont intégrés dans la fonction de force par paires en permettant aux liaisons de se rompre lorsque leur allongement dépasse une valeur prescrite. Après la rupture d'une liaison, elle ne supporte plus aucune force et les points d'extrémité sont effectivement déconnectés les uns des autres. Lorsqu'une liaison se rompt, la force qu'elle supportait est redistribuée à d'autres liaisons qui ne se sont pas encore rompues. Cette charge accrue augmente la probabilité que ces autres liaisons se rompent. Le processus de rupture de liaison et de redistribution de la charge, conduisant à de nouvelles ruptures, est la façon dont les fissures se développent dans le modèle péridynamique.

Analytiquement, le freinage de liaison est spécifié à l'intérieur de l'expression du noyau péridynamique, par la fonction

Si l'on trace le graphique de l'étirement de la liaison en fonction de l'élasticité , l'action de la fonction de freinage de la liaison dans la formation de fractures est claire. Cependant, non seulement la fracture abrupte peut être modélisée dans le cadre péridynamique, mais une expression plus générale peut également être utilisée.

La théorie décrite ci-dessus suppose que chaque liaison péridynamique réagit indépendamment de toutes les autres. Il s'agit d'une simplification excessive pour la plupart des matériaux et elle conduit à des restrictions sur les types de matériaux qui peuvent être modélisés. En particulier, cette hypothèse implique que tout solide élastique linéaire isotrope est limité à un coefficient de Poisson de 1/4.

Pour remédier à ce manque de généralité, l'idée d' états péridynamiques a été introduite. Cela permet à la densité de force dans chaque liaison de dépendre des étirements de toutes les liaisons connectées à ses extrémités, en plus de son propre étirement. Par exemple, la force dans une liaison pourrait dépendre des variations de volume nettes aux extrémités. L'effet de ce changement de volume, par rapport à l'effet de l'étirement de la liaison, détermine le coefficient de Poisson . Avec les états péridynamiques, tout matériau qui peut être modélisé dans le cadre de la théorie standard de la mécanique des milieux continus peut être modélisé comme un matériau péridynamique, tout en conservant les avantages de la théorie péridynamique pour la fracture.

Mathématiquement, l'équation du terme de force interne et externe

utilisé dans les formulations à base de liaison est remplacé par

où est le champ d'état du vecteur force.

Un état général d'ordre m est un objet mathématique similaire à un tenseur , à l'exception du fait qu'il est

• en général non linéaire ;
• en général non continu ;
• n'est pas de dimension finie.

Les états vectoriels sont des états d'ordre égal à 2. Pour un matériau dit simple , on définit comme

où est une fonction intégrable de Riemann sur , et est appelée champ d'état de vecteur de déformation et est définie par la relation suivante

c'est donc l'image de la liaison sous la déformation

tel que

ce qui signifie que deux particules distinctes n'occupent jamais le même point au fur et à mesure que la déformation progresse.

Il peut être prouvé que l'équilibre de l'impulsion linéaire découle de la définition de , tandis que, si la relation constitutive est telle que

le champ d'état du vecteur de force satisfait l'équilibre du moment angulaire.

L'intérêt croissant pour la péridynamique vient de sa capacité à combler le fossé entre les théories atomistiques de la matière et la mécanique classique du continuum local. Elle est appliquée efficacement aux phénomènes à micro-échelle, tels que la formation et la propagation de fissures , la dispersion des ondes , la fracture intragranulaire. Ces phénomènes peuvent être décrits par un ajustement approprié du rayon de l'horizon péridynamique, qui est directement lié à l'étendue des interactions non locales entre les points au sein du matériau.

En plus des domaines de recherche mentionnés ci-dessus, l'approche non locale de la péridynamique des discontinuités a trouvé des applications dans divers autres domaines. En géomécanique , elle a été utilisée pour étudier les fissures du sol induites par l'eau, la rupture des géomatériaux , la fragmentation des roches, , etc. En biologie , la péridynamique a été utilisée pour modéliser les interactions à longue portée dans les tissus vivants , les ruptures cellulaires, la fissuration des biomembranes , et plus encore. De plus, la péridynamique a été étendue à la théorie de la diffusion thermique , permettant la modélisation de la conduction thermique dans les matériaux présentant des discontinuités, des défauts, des inhomogénéités et des fissures. Elle a également été appliquée à l'étude des phénomènes d'advection-diffusion dans les fluides multiphasiques et à la construction de modèles pour les problèmes d'advection-diffusion transitoires. Grâce à sa polyvalence, la péridynamique a été utilisée dans diverses analyses multiphysiques , notamment l'analyse microstructurelle , la fatigue et la conduction thermique dans les matériaux composites, la corrosion galvanique dans les métaux, les fissures induites par l'électricité dans les matériaux diélectriques et plus encore.