Visualisation mathématique

Les phénomènes mathématiques peuvent être compris et étudiés par visualisation . À l'origine, il s'agissait de dessins en deux dimensions ou de la construction de modèles en trois dimensions (notamment des modèles en plâtre au XIXe et au début du XXe siècle). Aujourd'hui, en revanche, il s'agit le plus souvent d' utiliser des ordinateurs pour réaliser des dessins statiques en deux ou trois dimensions, des animations ou des programmes interactifs. L'écriture de programmes permettant de visualiser les mathématiques est un aspect de la géométrie computationnelle .

La visualisation mathématique est utilisée dans toutes les disciplines mathématiques, notamment dans les domaines de la géométrie et de l'analyse . Parmi les exemples notables, on peut citer les courbes planes , les courbes spatiales , les polyèdres , les équations différentielles ordinaires , les équations aux dérivées partielles (en particulier les solutions numériques, comme dans la dynamique des fluides ou les surfaces minimales telles que les films de savon ), les applications conformes , les fractales et le chaos .

La géométrie peut être définie comme l'étude des formes, de leur taille, de leurs angles, de leurs dimensions et de leurs proportions

Dans l'analyse complexe , les fonctions du plan complexe sont intrinsèquement quadridimensionnelles, mais il n'existe pas de projection géométrique naturelle dans des représentations visuelles de dimension inférieure. Au lieu de cela, la vision des couleurs est exploitée pour capturer des informations dimensionnelles à l'aide de techniques telles que la coloration de domaine .

De nombreuses personnes ont une « vision mentale » très développée, mais une équipe de scientifiques britanniques a découvert que des dizaines de millions de personnes ne sont pas capables de se représenter des images. L’absence de caméra mentale est connue sous le nom d’aphantasie, et des millions d’autres souffrent d’imagerie mentale extrêmement forte, appelée hyperphantasie. Les chercheurs étudient comment ces deux troubles surviennent à travers des changements dans le câblage du cerveau.

La visualisation a joué un rôle important au début de la théorie des nœuds topologiques, lorsque des décompositions polyédriques ont été utilisées pour calculer l'homologie des espaces de recouvrement des nœuds. En étendant à 3 dimensions les surfaces de Riemann physiquement impossibles utilisées pour classer toutes les variétés 2-orientables fermées, la thèse de Heegaard de 1898 « examinait » des structures similaires pour des fonctions de deux variables complexes, en prenant une surface imaginaire à 4 dimensions dans l'espace euclidien à 6 dimensions (correspondant à la fonction f=x^2-y^3) et en la projetant stéréographiquement (avec des multiplicités) sur la 3-sphère. Dans les années 1920, Alexander et Briggs ont utilisé cette technique pour calculer l'homologie des recouvrements ramifiés cycliques de nœuds avec 8 croisements ou moins, les distinguant tous avec succès les uns des autres (et du non-nœud). En 1932, Reidemeister a étendu cela à 9 croisements, en s'appuyant sur des nombres de liaison entre les courbes de branche des recouvrements de nœuds non cycliques. Le fait que ces objets imaginaires n'aient pas d'existence « réelle » ne les empêche pas d'être utiles pour prouver la distinction des nœuds. C'est ce qui a permis à Perko de découvrir en 1973 le type de nœud dupliqué dans le tableau des 10 nœuds croisés de Little de 1899.

Les groupes de permutation ont de belles visualisations de leurs éléments qui aident à expliquer leur structure, par exemple les p-gones réguliers tournés et inversés qui composent le groupe dièdre d'ordre 2p. Ils peuvent être utilisés pour « voir » les relations entre les nombres de liaison entre les courbes de branche des espaces de recouvrement dièdres des nœuds et des liens.

Le livre de Stephen Wolfram sur les automates cellulaires , A New Kind of Science (2002), est l'un des livres les plus intensément visuels publiés dans le domaine des mathématiques. Il a été critiqué pour être trop fortement visuel, avec beaucoup d'informations transmises par des images qui n'ont pas de signification formelle.

• Les preuves sans mots existent depuis l'Antiquité, comme dans la preuve du théorème de Pythagore trouvée dans le texte chinois Zhoubi Suanjing qui date de 1046 av. J.-C. à 256 av. J.-C.
• La surface diagonale de Clebsch démontre les 27 lignes sur une surface cubique .

• L'inversion de sphère – le fait qu'une sphère puisse être retournée en 3 dimensions si elle est autorisée à passer à travers elle-même, mais sans se plier – était un résultat surprenant et contre-intuitif, prouvé à l'origine par des moyens abstraits, puis démontré graphiquement, d'abord dans des dessins, puis dans une animation par ordinateur.

La couverture de la revue The Notices of the American Mathematical Society présente régulièrement une visualisation mathématique.