Moyenne d'une fonction

En calcul , et en particulier en calcul multivariable , la moyenne d'une fonction est définie de manière approximative comme la valeur moyenne de la fonction sur son domaine .

Unidimensionnel

Dans un domaine unidimensionnel , la moyenne ${\displaystyle {\bar {f <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\bar {f}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>un</mi></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}</annotation></semantics></math><img src=$

Cette définition peut être justifiée comme suit. La valeur moyenne ${\displaystyle {\bar {y <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\bar {y}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>y</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, dots, y_ {n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n{\bar {y}}=y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mrow><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n{\bar {y}}=y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\bar {y <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\bar {y}}}</annotation></semantics></math><img src=$ constante qui, lorsqu'elle est ajoutée ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>y</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle y_ {1}, dots, y_ {n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\bar {f <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\bar {f}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle [a,b] <semantics><mrow><mstyle><mo>[</mo><mi>un</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>]</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle [a,b]}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}{\bar {f}}\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx. <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msubsup><mrow><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{a}^{b}{\bar {f}}\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\bar {f <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\bar {f}}}</annotation></semantics></math><img src=$ constante qui, lorsqu'elle est intégrée sur ${\displaystyle [a,b] <semantics><mrow><mstyle><mo>[</mo><mi>un</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>]</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle [a,b]}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f(x) <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(x)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle [a,b] <semantics><mrow><mstyle><mo>[</mo><mi>un</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>]</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle [a,b]}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\bar {f <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\bar {f}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}{\bar {f}}\,dx={\bar {f}}x{\bigr |}_{a}^{b}={\bar {f}}b-{\bar {f}}a=(b-a){\bar {f}}. <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msubsup><mrow><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mrow><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mi>x</mi><msubsup><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow><mrow><mi>un</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mrow><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mi>b</mi><mo>−</mo><mrow><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mi>un</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>un</mi><mo>)</mo><mrow><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{a}^{b}{\bar {f}}\,dx={\bar {f}}x{\bigr |}_{a}^{b}={\bar {f}}b-{\bar {f}}a=(ba){\bar {f}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Théorème de la valeur moyenne

{\displaystyle f </span referrerpolicy=

est une fonction continue sur

{\displaystyle [a,b] <semantics><mrow><mstyle><mo>[</mo><mi>un</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>]</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle [a,b]}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle c\in (a,b) <semantics><mrow><mstyle><mi>c</mi><mo>∈</mo><mo>(</mo><mi>un</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c\in (a,b)}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a). <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mi>un</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>un</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(ba).}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle {\bar {f <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\bar {f}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle c <semantics><mrow><mstyle><mi>c</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle {\bar {f}}=f(c) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\bar {f}}=f(c)}</annotation></semantics></math></span><img src=

Multidimensionnel

En plusieurs variables , la moyenne sur un domaine U relativement compact dans un espace euclidien est définie par

{\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}f\;dV <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mrow><mstyle><mtext>Vol</mtext></mstyle></mrow><mo>(</mo><mi>U</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><msub><mo>∫</mo><mrow><mi>U</mi></mrow></msub><mi>f</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>V</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}f\;dV}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle {\hbox{Vol}}(U) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mstyle><mtext>Vol</mtext></mstyle></mrow><mo>(</mo><mi>U</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\hbox{Vol}}(U)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle dV <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi><mi>V</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle dV}</annotation></semantics></math><img src=$

Non arithmétique

Ce qui précède généralise la moyenne arithmétique aux fonctions. Par ailleurs, il est également possible de généraliser la moyenne géométrique aux fonctions comme suit :

{\displaystyle \exp \left({\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}\log f ight). <semantics><mrow><mstyle><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mrow><mstyle><mtext>Vol</mtext></mstyle></mrow><mo>(</mo><mi>U</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><msub><mo>∫</mo><mrow><mi>U</mi></mrow></msub><mi>enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mi>f</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \exp \left({\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}\log f ight).}</annotation></semantics></math></span><img src=

Plus généralement, en théorie de la mesure et en théorie des probabilités , les deux types de moyenne jouent un rôle important. Dans ce contexte, l'inégalité de Jensen établit des estimations précises de la relation entre ces deux notions différentes de la moyenne d'une fonction.

Il existe également une moyenne harmonique des fonctions et une moyenne quadratique (ou racine carrée moyenne ) des fonctions.