Micro-paquet

En mathématiques , un microfibré est une généralisation du concept de fibré vectoriel , introduit par le mathématicien américain John Milnor en 1964. Il permet de créer des objets de type fibré dans des situations où on ne penserait pas qu'ils existent normalement. Par exemple, le fibré tangent est défini pour une variété lisse mais pas pour une variété topologique ; l'utilisation de microfibrés permet la définition d'un fibré tangent topologique .

Un microfaisceau (topologique) sur un espace topologique (l'« espace de base ») est constitué d'un triplet , où est un espace topologique (l'« espace total »), et sont des applications continues (respectivement, la « section zéro » et la « carte de projection ») telles que :

1. la composition est l'identité de ;
2. pour tout , il existe un voisinage de et un voisinage de tels que , , est homéomorphe à et les applications et commutent avec et .

Par analogie avec les fibrés vectoriels, l' entier est également appelé rang ou dimension de fibre du microfibré. De même, notez que la première condition suggère de considérer la section nulle d'un fibré vectoriel, tandis que la seconde imite la condition de trivialité locale sur un fibré. Une distinction importante ici est que la « trivialité locale » pour les microfibrés n'est valable que près d'un voisinage de la section nulle. L'espace pourrait sembler très sauvage loin de ce voisinage. De plus, les cartes collant ensemble des parties localement triviales du microfibré peuvent uniquement chevaucher les fibres.

La définition de microfibré peut être adaptée à d'autres catégories plus générales que la catégorie lisse , comme celle des variétés linéaires par morceaux , en remplaçant les espaces topologiques et les applications continues par des objets et des morphismes appropriés.

• Tout fibré vectoriel de rang possède un microfibré sous-jacent évident , où est la section zéro.
• Étant donné un espace topologique quelconque , le produit cartésien (avec la projection sur et la carte ) définit un -microfibré, appelé microfibré trivial standard de rang . De manière équivalente, il s'agit du microfibré sous-jacent du fibré vectoriel trivial de rang .
• Étant donnée une variété topologique de dimension , le produit cartésien ainsi que la projection sur la première composante et l' application diagonale définissent un -microfibré, appelé microfibré tangent de .
• Étant donné un -microfibré sur et une application continue , l'espace définit un -microfibré sur , appelé microfibré de retrait (ou induit) par , ainsi que la projection et la section nulle . Si est un fibré vectoriel, le microfibré de retrait de son microfibré sous-jacent est précisément le microfibré sous-jacent du fibré de retrait standard .
• Étant donné un -microbundle sur et un sous-espace , le microbundle restreint , également désigné par , est le microbundle de retrait par rapport à l'inclusion .

Deux -microfibrés et sur le même espace sont isomorphes (ou équivalents) s'il existe un voisinage de et un voisinage de , ainsi qu'un homéomorphisme commutant avec les projections et les sections nulles.

Plus généralement, un morphisme entre microfilets est constitué d'un germe d'applications continues entre les voisinages des sections nulles comme ci-dessus.

Un -microfaisceau est dit trivial s'il est isomorphe au microfaisceau trivial standard de rang . La condition de trivialité locale dans la définition du microfaisceau peut donc être reformulée comme suit : pour tout il existe un voisinage tel que la restriction soit triviale.

De manière analogue aux variétés lisses parallélisables , une variété topologique est dite topologiquement parallélisable si son microfibre tangent est trivial.

Un théorème de James Kister et Barry Mazur stipule qu'il existe un voisinage de la section nulle qui est en fait un faisceau de fibres avec un groupe de fibres et de structures , le groupe des homéomorphismes de fixation de l'origine. Ce voisinage est unique à isotopie près . Ainsi, chaque microfaisceau peut être raffiné en un faisceau de fibres réel d'une manière essentiellement unique.

En prenant le faisceau de fibres contenu dans le microfaisceau tangent, on obtient le faisceau tangent topologique . Intuitivement, ce faisceau est obtenu en prenant un système de petits diagrammes pour , en laissant chaque diagramme avoir une fibre sur chaque point du diagramme, et en collant ces faisceaux triviaux ensemble en superposant les fibres selon les cartes de transition.

La théorie des microfaisceaux fait partie intégrante du travail de Robion Kirby et Laurent C. Siebenmann sur les structures lisses et les structures PL sur les variétés de dimension supérieure .

• Gauld, David ; Greenwood, Sina (2000). « Microfaisceaux, variétés et métrisabilité ». Actes de l'American Mathematical Society . 128 (9) : 2801–2808. doi : 10.1090/s0002-9939-00-05343-0 . MR 1664358.
• Switzer, Robert M. (2002). Topologie algébrique – homotopie et homologie . Classiques en mathématiques. Berlin, New York : Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-42750-6. M. 1886843.Voir chapitre 14.