effet Miller

En électronique , l' effet Miller (du nom de son découvreur John Milton Miller ) explique l'augmentation de la capacité d'entrée équivalente d'un amplificateur de tension inverseur due à l'amplification de l'effet de capacité entre les bornes d'entrée et de sortie de l'amplificateur, et est donné par ${\displaystyle C_{ ext{M}}=C(1+A_{v}), <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mtext>M</mtext></mrow></msub><mo>=</mo><mi>C</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{ ext{M}}=C(1+A_{v}),}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle -A_{v <semantics><mrow><mstyle><mo>−</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle -A_{v}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle A_{v <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{v}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle C <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C}</annotation></semantics></math><img src=$

Bien que le terme « effet Miller » se réfère généralement à la capacité, toute impédance connectée entre l'entrée et un autre nœud présentant un gain peut modifier l'impédance d'entrée de l'amplificateur par cet effet. Ces propriétés de l'effet Miller sont généralisées dans le théorème de Miller . La capacité de Miller, due à la capacité parasite indésirable entre la sortie et l'entrée de composants actifs tels que les transistors et les tubes à vide, constitue un facteur majeur limitant leur gain aux hautes fréquences.

Histoire

Lorsque Miller publia ses travaux en 1919, il travaillait sur les triodes à tubes à vide . La même analyse s'applique aux dispositifs modernes tels que les transistors bipolaires et les transistors à effet de champ .

Dérivation

Considérons un circuit d' amplificateur de tension inverseur idéal de gain ${\displaystyle -A_{v <semantics><mrow><mstyle><mo>−</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle -A_{v}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Z <semantics><mrow><mstyle><mi>Z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Z}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle V_{o}=-A_{v}V_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>V</mi><mrow><mi>o</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub><msub><mi>V</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle V_ {o} = -A_ {v} V_ {i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Z <semantics><mrow><mstyle><mi>Z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Z}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle I_{i}={\frac {V_{i}-V_{o}}{Z}}={\frac {V_{i}(1+A_{v})}{Z <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>je</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>o</mi></mrow></msub></mrow><mi>Z</mi></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mi>Z</mi></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle I_{i}={\frac {V_{i}-V_{o}}{Z}}={\frac {V_{i}(1+A_{v})}{Z}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

L'impédance d'entrée du circuit est

{\displaystyle Z_{in}={\frac {V_{i}}{I_{i}}}={\frac {Z}{1+A_{v <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>je</mi><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><msub><mi>V</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><msub><mi>je</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>Z</mi><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Z_{in}={\frac {V_{i}}{I_{i}}}={\frac {Z}{1+A_{v}}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Dans le domaine de Laplace (où ${\displaystyle s <semantics><mrow><mstyle><mi>s</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle s}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Z <semantics><mrow><mstyle><mi>Z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Z}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Z={\frac {1}{sC <semantics><mrow><mstyle><mi>Z</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>s</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Z={\frac {1}{sC}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle C_{M <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>M</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{M}}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle Z_{in}={\frac {1}{sC(1+A_{v})}}={\frac {1}{sC_{M}}}\quad \mathrm {where} \quad C_{M}=C(1+A_{v}) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>je</mi><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>s</mi><mi>C</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>s</mi><msub><mi>C</mi><mrow><mi>M</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mspace></mspace><mrow><mi>w</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mi>r</mi><mi>e</mi></mrow><mspace></mspace><msub><mi>C</mi><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>C</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Z_{in}={\frac {1}{sC(1+A_{v})}}={\frac {1}{sC_{M}}}\quad \mathrm {où} \quad C_{M}=C(1+A_{v})}</annotation></semantics></math></span><img src=

Cette capacité de Miller ${\displaystyle C_{M <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>M</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{M}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle C <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (1+A_{v}) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (1+A_{v})}</annotation></semantics></math><img src=$

Effets

La plupart des amplificateurs étant inverseurs ( ${\displaystyle A_{v <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{v}}</annotation></semantics></math><img src=$

Il est également important de noter que la capacité de Miller est la capacité vue à l'entrée. Si l'on recherche toutes les constantes de temps RC (pôles), il est important de prendre également en compte la capacité vue à la sortie. Cette dernière est souvent négligée car elle est considérée comme nulle. ${\displaystyle {C}({1+{ frac {1}{A_{v}}}}) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {C}({1+{ frac {1}{A_{v}}}})}</annotation></semantics></math><img src=$

L'effet Miller peut également être exploité pour synthétiser des condensateurs de plus grande capacité à partir de condensateurs de plus petite capacité. On peut citer en exemple la stabilisation des amplificateurs à contre-réaction , où la capacité requise peut être trop importante pour être intégrée au circuit. Ceci est particulièrement important dans la conception de circuits intégrés , où les condensateurs peuvent occuper une surface considérable, augmentant ainsi les coûts.

Atténuation

L'effet Miller peut s'avérer indésirable dans de nombreux cas, et des solutions peuvent être envisagées pour en atténuer l'impact. Plusieurs de ces techniques sont utilisées dans la conception des amplificateurs.

Un étage tampon de courant peut être ajouté en sortie pour réduire le gain. ${\displaystyle A_{v <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{v}}</annotation></semantics></math><img src=$

Une autre solution consiste à utiliser un tampon de tension avant l'entrée de l'amplificateur, réduisant ainsi l'impédance de source effective vue par les bornes d'entrée. Cela diminue la ${\displaystyle RC <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle RC}</annotation></semantics></math><img src=$

L'effet Miller peut être atténué par neutralisation . Ceci est réalisé en réinjectant un signal additionnel en opposition de phase avec celui présent à la sortie de l'étage. En réinjectant ce signal via un condensateur approprié, l'effet Miller peut, en théorie du moins, être totalement éliminé. En pratique, les variations de capacité des différents amplificateurs, combinées à d'autres capacités parasites, rendent difficile la conception d'un circuit permettant une annulation complète. Historiquement, il n'était pas rare que le condensateur de neutralisation soit sélectionné lors des essais pour correspondre à l'amplificateur, notamment avec les premiers transistors à faible bande passante. La génération du signal en opposition de phase nécessite généralement un composant inductif, tel qu'une self de choc ou un transformateur inter-étages.

Dans les tubes électroniques , une grille supplémentaire (la grille écran ) pouvait être insérée entre la grille de commande et l'anode. Ceci permettait de blinder l'anode contre la grille et de réduire considérablement la capacité entre elles. Bien que cette technique ait initialement rencontré un certain succès, d'autres facteurs en ont limité l'intérêt à mesure que la bande passante des tubes s'améliorait. Les tubes ultérieurs ont dû utiliser des grilles très petites (la grille de cadre) afin de réduire la capacité et permettre ainsi au dispositif de fonctionner à des fréquences impossibles à atteindre avec la grille écran.

Impact sur la réponse en fréquence

La figure 2A illustre un exemple de la figure 1 où l'impédance couplant l'entrée à la sortie est le condensateur de couplage ${\displaystyle C_{C <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>C</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{C}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle V_{A <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>V</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V_{A}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R_{A <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>R</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R_{A}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle V_{o}=-A_{v}V_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>V</mi><mrow><mi>o</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub><msub><mi>V</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle V_ {o} = -A_ {v} V_ {i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Z_{L <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>L</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Z_{L}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${ extstyle j\omega C_{C}(V_{i}-V_{o}) <semantics><mrow><mstyle><mi>j</mi><mi>ω</mi><msub><mi>C</mi><mrow><mi>C</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>o</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ extstyle j\omega C_{C}(V_{i}-V_{o})}</annotation></semantics></math><img src=$

La figure 2B représente un circuit électriquement identique à celui de la figure 2A, utilisant le théorème de Miller. Le condensateur de couplage est remplacé, côté entrée du circuit, par la capacité de Miller. ${\displaystyle C_{M <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>M</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{M}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle C_{Mo <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>M</mi><mi>o</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{Mo}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle C_{Mo}=(1+{\frac {1}{A_{v}}})C_{C}. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>M</mi><mi>o</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mfrac></mrow><mo>)</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mi>C</mi></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{Mo}=(1+{\frac {1}{A_{v}}})C_{C}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour que la capacité de Miller absorbe le même courant dans la figure 2B que le condensateur de couplage dans la figure 2A, la transformation de Miller est utilisée pour établir la relation. ${\displaystyle C_{M <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>M</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{M}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle C_{C <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>C</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{C}}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \ j\omega C_{C}(V_{i}-V_{O})=j\omega C_{M}V_{i}, <semantics><mrow><mstyle><mtext> </mtext><mi>j</mi><mi>ω</mi><msub><mi>C</mi><mrow><mi>C</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>O</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>j</mi><mi>ω</mi><msub><mi>C</mi><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><msub><mi>V</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \ j\omega C_{C}(V_{i}-V_{O})=j\omega C_{M}V_{i},}</annotation></semantics></math></span><img src=

ou, en réarrangeant cette équation

{\displaystyle C_{M}=C_{C}\left(1-{\frac {V_{o}}{V_{i}}} ight)=C_{C}(1+A_{v}). <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mi>C</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><msub><mi>V</mi><mrow><mi>o</mi></mrow></msub><msub><mi>V</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mi>C</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{M}=C_{C}\left(1-{\frac {V_{o}}{V_{i}}} ight)=C_{C}(1+A_{v}).}</annotation></semantics></math></span><img src=

Ce résultat est le même que ${\displaystyle C_{M <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>M</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{M}}</annotation></semantics></math><img src=$ section Dérivation .

L'exemple actuel avec ${\displaystyle A_{v <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{v}}</annotation></semantics></math><img src=$ L'indépendance de la fréquence montre les implications de l'effet Miller, et donc de ${\displaystyle C_{C <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>C</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{C}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle C_{C <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>C</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{C}}</annotation></semantics></math><img src=$ si 0, la tension de sortie du circuit est simplement ${\displaystyle A_{v}v_{A <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub><msub><mi>v</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{v}v_{A}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle C_{C <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>C</mi><mrow><mi>C</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C_{C}}</annotation></semantics></math><img src=$ n'étant pas nulle, la figure 2B montre l'apparition d'une importante capacité de Miller à l'entrée du circuit. La tension de sortie du circuit devient alors

{\displaystyle V_{o}=-A_{v}V_{i}=-A_{v}{\frac {V_{A}}{1+j\omega C_{M}R_{A}}}, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>V</mi><mrow><mi>o</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub><msub><mi>V</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub><mrow><mfrac><msub><mi>V</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow></msub><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>j</mi><mi>ω</mi><msub><mi>C</mi><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><msub><mi>R</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V_{o}=-A_{v}V_{i}=-A_{v}{\frac {V_{A}}{1+j\omega C_{M}R_{A}}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

_La réponse en fréquence s'atténue lorsque la fréquence est suffisamment élevée pour que ω CMRA _≥ 1. Il s'agit d'un filtre passe-bas . Dans les amplificateurs analogiques, cette limitation de la réponse en fréquence est une conséquence majeure de l'effet Miller. Dans cet exemple, la fréquence ω _3dB_telle que ω _3dB_ CMRA = 1 marque la fin de la plage de basses fréquences et définit la bande passante, ou fréquence de coupure, de l'amplificateur.

L'influence de C _M sur la bande passante de l'amplificateur est fortement réduite pour les circuits d'attaque à faible impédance ( C _M/R _A est faible si R _A est faible). Par conséquent, une solution pour minimiser l'effet Miller sur la bande passante consiste à utiliser un circuit d'attaque à faible impédance, par exemple en interposant un étage suiveur de tension entre le circuit d'attaque et l'amplificateur, ce qui réduit l'impédance apparente du circuit d'attaque vue par l'amplificateur.

La tension de sortie de ce circuit simple est toujours A _v = vi _ . Cependant, les amplificateurs réels présentent une résistance de sortie. Si cette résistance est prise en compte dans l'analyse, la tension de sortie présente une réponse en fréquence plus complexe et l'influence de la source de courant dépendant de la fréquence côté sortie doit être considérée. Généralement, ces effets n'apparaissent qu'à des fréquences bien supérieures à la fréquence de coupure due à la capacité de Miller. L'analyse présentée ici est donc suffisante pour déterminer la plage de fréquences utile d'un amplificateur dominé par l'effet Miller.

Approximation de Miller

Cet exemple suppose également que A _v est indépendant de la fréquence, mais plus généralement, la dépendance en fréquence de l'amplificateur est implicitement présente dans A _v . Cette dépendance en fréquence de A _v rend également la capacité de Miller dépendante de la fréquence, ce qui complique l'interprétation de C _M comme une capacité. Cependant, en règle générale, toute dépendance en fréquence de A _v n'apparaît qu'à des fréquences bien supérieures à la fréquence de coupure due à l'effet Miller. Ainsi, pour les fréquences inférieures à cette fréquence de coupure, A _v est correctement approché par sa valeur à basse fréquence. La détermination de C _M à partir de A _v aux basses fréquences est appelée approximation de Miller . Grâce à cette approximation, C _M devient indépendant de la fréquence et son interprétation comme une capacité aux basses fréquences est valide.