Algèbre modale

En algèbre et en logique , une algèbre modale est une structure telle que ${\displaystyle \langle A,\land ,\lor ,-,0,1,\Box angle <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⟨</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mo>∧</mo> <mo>,</mo> <mo>∨</mo> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>◻</mi> <mo>⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \langle A,\land ,\lor ,-,0,1,\Box angle }</annotation> </semantics> </math><img src=$

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${\displaystyle \Box <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>◻</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Box }</annotation> </semantics> </math><img src=$ A satisfaisant et pour tout x , y dans A . ${\displaystyle \Box 1=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>◻</mi> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Box 1=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Box (x\land y)=\Box x\land \Box y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>◻</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>∧</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>◻</mi> <mi>x</mi> <mo>∧</mo> <mi>◻</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Box (x\land y)=\Box x\land \Box y}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les algèbres modales fournissent des modèles de logiques modales propositionnelles de la même manière que les algèbres booléennes sont des modèles de logique classique . En particulier, la variété de toutes les algèbres modales est la sémantique algébrique équivalente de la logique modale K au sens de la logique algébrique abstraite , et le treillis de ses sous-variétés est dualement isomorphe au treillis des logiques modales normales .

Le théorème de représentation de Stone peut être généralisé à la dualité de Jónsson-Tarski , qui garantit que chaque algèbre modale peut être représentée comme l'algèbre des ensembles admissibles dans un cadre général modal .

Une algèbre de Magari (ou algèbre diagonalisable ) est une algèbre modale satisfaisant . Les algèbres de Magari correspondent à la logique de prouvabilité . ${\displaystyle \Box (-\Box x\lor x)=\Box x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>◻</mi> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>◻</mi> <mi>x</mi> <mo>∨</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>◻</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Box (-\Box x\lor x)=\Box x}</annotation> </semantics> </math><img src=$