Instabilité modulatrice

Dans les domaines de l'optique non linéaire et de la dynamique des fluides , l'instabilité de modulation ou l'instabilité de bande latérale est un phénomène par lequel les écarts par rapport à une forme d'onde périodique sont renforcés par la non-linéarité, conduisant à la génération de bandes latérales spectrales et à la rupture éventuelle de la forme d'onde en un train d' impulsions .

Il est largement admis que le phénomène a été découvert pour la première fois – et modélisé – pour les ondes de gravité périodiques de surface ( ondes de Stokes ) en eau profonde par T. Brooke Benjamin et Jim E. Feir, en 1967. Par conséquent, on l'appelle également instabilité Benjamin-Feir . Cependant, l'instabilité de modulation spatiale des lasers de haute puissance dans les solvants organiques a été observée par les scientifiques russes NF Piliptetskii et AR Rustamov en 1965, et la dérivation mathématique de l'instabilité de modulation a été publiée par VI Bespalov et VI Talanov en 1966. L'instabilité de modulation est un mécanisme possible pour la génération d' ondes scélérates .

L'instabilité de modulation ne se produit que dans certaines circonstances. La condition la plus importante est la dispersion anormale de la vitesse de groupe , dans laquelle les impulsions de longueurs d'onde plus courtes se déplacent avec une vitesse de groupe plus élevée que les impulsions de longueurs d'onde plus longues. (Cette condition suppose une non-linéarité de focalisation Kerr , dans laquelle l'indice de réfraction augmente avec l'intensité optique.)

L'instabilité dépend fortement de la fréquence de la perturbation. À certaines fréquences, une perturbation aura peu d'effet, tandis qu'à d'autres fréquences, elle augmentera de manière exponentielle . Le spectre de gain global peut être dérivé de manière analytique , comme indiqué ci-dessous. Les perturbations aléatoires contiennent généralement une large gamme de composantes de fréquence et provoquent donc la génération de bandes latérales spectrales qui reflètent le spectre de gain sous-jacent.

La tendance d'un signal perturbateur à croître fait de l'instabilité de modulation une forme d' amplification . En accordant un signal d'entrée à un pic du spectre de gain, il est possible de créer un amplificateur optique .

Le spectre de gain peut être dérivé en commençant par un modèle d'instabilité de modulation basé sur l' équation de Schrödinger non linéaire

qui décrit l'évolution d'une enveloppe à valeurs complexes variant lentement avec le temps et la distance de propagation . L' unité imaginaire satisfait Le modèle inclut la dispersion de vitesse de groupe décrite par le paramètre et la non-linéarité de Kerr avec l'amplitude On suppose une forme d'onde périodique de puissance constante . Ceci est donné par la solution

où le facteur de phase oscillatoire représente la différence entre l' indice de réfraction linéaire et l' indice de réfraction modifié , tel qu'il est augmenté par l'effet Kerr. Le début de l'instabilité peut être étudié en perturbant cette solution comme

où est le terme de perturbation (qui, pour des raisons de commodité mathématique, a été multiplié par le même facteur de phase que ). En le substituant dans l'équation de Schrödinger non linéaire, on obtient une équation de perturbation de la forme

où la perturbation a été supposée faible, de sorte que le conjugué complexe de est noté comme L'instabilité peut maintenant être découverte en recherchant des solutions de l'équation de perturbation qui croissent de manière exponentielle. Cela peut être fait en utilisant une fonction d'essai de la forme générale

où et sont le nombre d'onde et la fréquence angulaire (à valeur réelle) d'une perturbation, et et sont des constantes. L'équation de Schrödinger non linéaire est construite en supprimant l' onde porteuse de la lumière modélisée, et donc la fréquence de la lumière perturbée est formellement nulle. Par conséquent, et ne représentent pas des fréquences et des nombres d'onde absolus, mais la différence entre ceux-ci et ceux du faisceau lumineux initial. On peut montrer que la fonction d'essai est valide, à condition et sous réserve de la condition

Cette relation de dispersion dépend essentiellement du signe du terme dans la racine carrée, car si elle est positive, le nombre d'onde sera réel , correspondant à de simples oscillations autour de la solution non perturbée, tandis que si elle est négative, le nombre d'onde deviendra imaginaire , correspondant à une croissance exponentielle et donc à une instabilité. Par conséquent, l'instabilité se produira lorsque

c'est pour

Cette condition décrit l'exigence d'une dispersion anormale (telle que négative). Le spectre de gain peut être décrit en définissant un paramètre de gain comme de sorte que la puissance d'un signal perturbateur augmente avec la distance comme Le gain est donc donné par

où, comme indiqué ci-dessus, est la différence entre la fréquence de la perturbation et la fréquence de la lumière initiale. Le taux de croissance est maximal pour

L'instabilité de modulation des champs optiques a été observée dans les systèmes photochimiques, à savoir les milieux photopolymérisables. L'instabilité de modulation se produit en raison de la non-linéarité optique inhérente des systèmes due aux changements de l'indice de réfraction induits par la photoréaction. L'instabilité de modulation de la lumière spatialement et temporellement incohérente est possible en raison de la réponse non instantanée des systèmes photoréactifs, qui répond par conséquent à l'intensité moyenne temporelle de la lumière, dans laquelle les fluctuations femtosecondes s'annulent.