Algèbre des opérateurs

En analyse fonctionnelle , une branche des mathématiques , une algèbre d'opérateurs est une algèbre d' opérateurs linéaires continus sur un espace vectoriel topologique , avec la multiplication donnée par la composition des applications .

Les résultats obtenus dans l'étude des algèbres d'opérateurs sont souvent formulés en termes algébriques , tandis que les techniques utilisées sont souvent hautement analytiques . Bien que l'étude des algèbres d'opérateurs soit généralement classée comme une branche de l'analyse fonctionnelle, elle a des applications directes à la théorie des représentations , à la géométrie différentielle , à la mécanique statistique quantique , à l'information quantique et à la théorie quantique des champs .

Les algèbres d'opérateurs peuvent être utilisées pour étudier simultanément des ensembles arbitraires d'opérateurs ayant peu de relations algébriques . De ce point de vue, les algèbres d'opérateurs peuvent être considérées comme une généralisation de la théorie spectrale d'un opérateur unique. En général, les algèbres d'opérateurs sont des anneaux non commutatifs .

Une algèbre d'opérateurs doit généralement être fermée dans une topologie d'opérateurs spécifiée à l'intérieur de l'algèbre entière d'opérateurs linéaires continus. En particulier, il s'agit d'un ensemble d'opérateurs possédant à la fois des propriétés de fermeture algébrique et topologique. Dans certaines disciplines, de telles propriétés sont axiomatisées et les algèbres ayant une certaine structure topologique deviennent l'objet de la recherche.

Bien que les algèbres d'opérateurs soient étudiées dans des contextes variés (par exemple, les algèbres d' opérateurs pseudo-différentiels agissant sur des espaces de distributions ), le terme algèbre d'opérateurs est généralement utilisé en référence aux algèbres d' opérateurs bornés sur un espace de Banach ou, plus spécialement encore, en référence aux algèbres d'opérateurs sur un espace de Hilbert séparable , doté de la topologie de norme d'opérateur .

Dans le cas d'opérateurs sur un espace de Hilbert, l' application adjointe hermitienne sur les opérateurs donne une involution naturelle , qui fournit une structure algébrique supplémentaire qui peut être imposée à l'algèbre. Dans ce contexte, les exemples les mieux étudiés sont les algèbres d'opérateurs auto-adjointes , ce qui signifie qu'elles sont fermées en prenant des adjoints. Il s'agit notamment des algèbres C* , des algèbres de von Neumann et des algèbres AW* . Les algèbres C* peuvent être facilement caractérisées de manière abstraite par une condition reliant la norme, l'involution et la multiplication. De telles algèbres C* définies de manière abstraite peuvent être identifiées à une certaine sous-algèbre fermée de l'algèbre des opérateurs linéaires continus sur un espace de Hilbert approprié. Un résultat similaire est valable pour les algèbres de von Neumann.

Les algèbres d'opérateurs commutatives auto-adjointes peuvent être considérées comme l'algèbre des fonctions continues à valeurs complexes sur un espace localement compact , ou celle des fonctions mesurables sur un espace mesurable standard . Ainsi, les algèbres d'opérateurs générales sont souvent considérées comme des généralisations non commutatives de ces algèbres, ou de la structure de l' espace de base sur lequel les fonctions sont définies. Ce point de vue est élaboré comme la philosophie de la géométrie non commutative , qui tente d'étudier divers objets non classiques et/ou pathologiques par des algèbres d'opérateurs non commutatives.

Voici des exemples d’algèbres d’opérateurs qui ne sont pas auto-adjointes :

• algèbres imbriquées ,
• de nombreuses algèbres commutatives de réseaux de sous-espaces,
• de nombreuses algèbres limites.