Fonction de taux

En théorie des grandes déviations , une fonction de taux est une fonction utilisée pour quantifier les probabilités d'événements rares. Ces fonctions servent à formuler les principes des grandes déviations . Un principe des grandes déviations quantifie la probabilité asymptotique d'événements rares pour une suite de probabilités.

Une fonction de taux est également appelée fonction de Cramér , d'après le probabiliste suédois Harald Cramér .

Définitions

Fonction de taux Une fonction étendue à valeurs réelles ${\displaystyle I:X o [0,+\infty ] <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi><mo>:</mo><mi>X</mi><mo>→</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>+</mo><mi>∞</mi><mo>]</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle I:X o [0,+\infty ]}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ fonction de taux si elle n'est pas identiquement ${\displaystyle +\infty <semantics><mrow><mstyle><mo>+</mo><mi>∞</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle +\infini}</annotation></semantics></math><img src=$ , c'est-à-dire que tous les sous-ensembles de niveau

{\displaystyle \{x\in X\mid I(x)\leq c\}{\mbox{ for }}c\geq 0 <semantics><mrow><mstyle><mo>{</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>X</mi><mo>∣</mo><mi>je</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≤</mo><mi>c</mi><mo>}</mo><mrow><mstyle><mtext> pour </mtext></mstyle></mrow><mi>c</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \{x\in X\mid I(x)\leq c\}{\mbox{ pour }}c\geq 0}</annotation></semantics></math></span><img src=

sont fermés ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle I <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Je}</annotation></semantics></math><img src=$ bonne fonction de taux .

Une famille de mesures de probabilité $0 (μ_{δ})_{δ > 0}$ 0 sur ${\displaystyle X <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X}</annotation></semantics></math><img src=$ principe des grandes déviations avec une fonction de taux ${\displaystyle I:X o [0,+\infty ) <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi><mo>:</mo><mi>X</mi><mo>→</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>+</mo><mi>∞</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle I:X o [0,+\infty )}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 1/\delta <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1/\delta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle F\subseteq X <semantics><mrow><mstyle><mi>F</mi><mo>⊆</mo><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F\subseteq X}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G\subseteq X <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>⊆</mo><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G\subseteq X}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(F)\leq -\inf _{x\in F}I(x),\quad {\mbox{(U) <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>lim sup</mo><mrow><mi>δ</mi><mo>↓</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mi>δ</mi><mi>enregistrer</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>μ</mi><mrow><mi>δ</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>F</mi><mo>)</mo><mo>≤</mo><mo>−</mo><munder><mo>inf</mo><mrow><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>F</mi></mrow></munder><mi>je</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mspace></mspace><mrow><mstyle><mtext>(U)</mtext></mstyle></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(F)\leq -\inf _{x\in F}I(x),\quad {\mbox{(U)}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(G)\geq -\inf _{x\in G}I(x).\quad {\mbox{(L) <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>limite inf</mo><mrow><mi>δ</mi><mo>↓</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mi>δ</mi><mi>enregistrer</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>μ</mi><mrow><mi>δ</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>G</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><mo>−</mo><munder><mo>inf</mo><mrow><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>G</mi></mrow></munder><mi>je</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo><mspace></mspace><mrow><mstyle><mtext>(L)</mtext></mstyle></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(G)\geq -\inf _{x\in G}I(x).\quad {\mbox{(L)}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Si la borne supérieure (U) n'est valable que pour les ensembles compacts (au lieu des ensembles fermés), alors… ${\displaystyle F <semantics><mrow><mstyle><mi>F</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F}</annotation></semantics></math><img src=$ $0 (μ_{δ})_{δ > 0}$ 0 On dit qu'elle satisfait au principe des grandes déviations faibles (avec un taux ${\displaystyle 1/\delta <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>δ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1/\delta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle I <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle I}</annotation></semantics></math><img src=$

Remarques

Le rôle des ensembles ouverts et fermés dans le principe des grandes déviations est similaire à leur rôle dans la convergence faible des mesures de probabilité : rappelons que $0 (μ_{δ})_{δ > 0}$ 0 on dit qu'elle converge faiblement vers ${\displaystyle \mu <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle F\subseteq X <semantics><mrow><mstyle><mi>F</mi><mo>⊆</mo><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F\subseteq X}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle G\subseteq X <semantics><mrow><mstyle><mi>G</mi><mo>⊆</mo><mi>X</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle G\subseteq X}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(F)\leq \mu (F), <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>lim sup</mo><mrow><mi>δ</mi><mo>↓</mo><mn>0</mn></mrow></munder><msub><mi>μ</mi><mrow><mi>δ</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>F</mi><mo>)</mo><mo>≤</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>F</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(F)\leq \mu (F),}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(G)\geq \mu (G). <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>limite inf</mo><mrow><mi>δ</mi><mo>↓</mo><mn>0</mn></mrow></munder><msub><mi>μ</mi><mrow><mi>δ</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>G</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>G</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(G)\geq \mu (G).}</annotation></semantics></math></span><img src=

La nomenclature employée dans la littérature présente quelques variations : par exemple, den Hollander (2000) utilise simplement « fonction de taux », tandis que cet article – suivant Dembo et Zeitouni (1998) – emploie « bonne fonction de taux » et « fonction de taux faible ». Rassoul-Agha et Seppäläinen (2015) utilisent le terme « fonction de taux serrée » au lieu de « bonne fonction de taux » en raison du lien avec la compacité exponentielle d’une famille de mesures. Quelle que soit la nomenclature utilisée pour les fonctions de taux, l’examen du fait que l’inégalité de la borne supérieure (U) est censée être vérifiée pour des ensembles fermés ou compacts permet de déterminer si le principe des grandes déviations utilisé est fort ou faible.

Propriétés

Unicité

Une question naturelle à se poser, étant donné le cadre quelque peu abstrait du cadre général ci-dessus, est de savoir si la fonction de taux est unique. Il s'avère que c'est le cas : étant donné une suite de mesures de probabilité ( μ _δ ) _{δ > 0} sur X satisfaisant le principe des grandes déviations pour deux fonctions de taux I et J , il s'ensuit que I ( x ) = J ( x ) pour tout x ∈ X .

étanchéité exponentielle

Il est possible de transformer un principe de grandes déviations faible en un principe fort si les mesures convergent suffisamment vite. Si la borne supérieure est vérifiée pour les ensembles compacts F et si la suite de mesures ( μ, _δ ) _{δ > 0} est exponentiellement serrée , alors la borne supérieure est également vérifiée pour les ensembles fermés F. Autrement dit, la convergence exponentielle permet de transformer un principe de grandes déviations faible en un principe fort.

Continuité

De manière naïve, on pourrait essayer de remplacer les deux inégalités (U) et (L) par la seule exigence que, pour tous les ensembles boréliens S ⊆ X ,

{\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(S)=-\inf _{x\in S}I(x).\quad {\mbox{(E) <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>limite</mo><mrow><mi>δ</mi><mo>↓</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mi>δ</mi><mi>enregistrer</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>μ</mi><mrow><mi>δ</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>S</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><munder><mo>inf</mo><mrow><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>S</mi></mrow></munder><mi>je</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo><mspace></mspace><mrow><mstyle><mtext>(E)</mtext></mstyle></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(S)=-\inf _{x\in S}I(x).\quad {\mbox{(E)}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

L'égalité (E) est beaucoup trop restrictive, car de nombreux exemples intéressants satisfont (U) et (L) mais pas (E). Par exemple, la mesure μδ peut être non atomique pour tout δ , de sorte _que l'égalité (E) ne serait valable pour S = { x } que si I était identiquement +∞, ce qui n'est pas permis par définition. Cependant, les inégalités (U) et (L) impliquent bien l'égalité (E) pour les ensembles dits I -continus S ⊆ X , c'est-à-dire ceux pour lesquels

{\displaystyle I{\big (}{\stackrel {\circ }{S}}{\big )}=I{\big (}{\bar {S}}{\big )}, <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mrow><mrow><mover><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mo>∘</mo></mrow></mover></mrow></mrow><mrow><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>=</mo><mi>je</mi><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mrow><mrow><mover><mi>S</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle I{\big (}{\stackrel {\circ }{S}}{\big )}=I{\big (}{\bar {S}}{\big )},}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle {\stackrel {\circ }{S <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mo>∘</mo></mrow></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\stackrel {\circ }{S}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\bar {S <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>S</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\bar {S}}}</annotation></semantics></math><img src=$ S dans X respectivement. Dans de nombreux exemples, de nombreux ensembles/événements d'intérêt sont I -continus. Par exemple, si I est une fonction continue , alors tous les ensembles S tels que

{\displaystyle S\subseteq {\bar {\stackrel {\circ }{S <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi><mo>⊆</mo><mrow><mrow><mover><mrow><mover><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mo>∘</mo></mrow></mover></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S\subseteq {\bar {\stackrel {\circ }{S}}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

sont I -continues ; tous les ensembles ouverts, par exemple, satisfont cette propriété d'inclusion.

Transformation des principes de grandes déviations

Étant donné un principe de grandes déviations sur un espace, il est souvent intéressant de pouvoir en construire un sur un autre espace. Plusieurs résultats existent dans ce domaine :

le principe de contraction explique comment un principe de grande déviation sur un espace « pousse vers l’avant » (via l’ effet direct d’une mesure de probabilité) vers un principe de grande déviation sur un autre espace via une fonction continue ;
Le théorème de Dawson-Gärtner explique comment une suite de principes de grandes déviations sur une suite d'espaces passe à la limite projective .
Le principe des grandes déviations inclinées donne un principe des grandes déviations pour les intégrales de fonctionnelles exponentielles .
Les mesures exponentiellement équivalentes ont les mêmes principes de grande déviation.

Histoire et développement fondamental

La notion de fonction de taux a émergé dans les années 1930 avec l'étude par le mathématicien suédois Harald Cramér d'une suite de variables aléatoires iid ( Z _i ) _{i∈ ${\displaystyle \mathbb {N} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>N</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation></semantics></math><img src=$}Notamment, parmi certaines considérations d'échelle, Cramér a étudié le comportement de la distribution de la moyenne ${ extstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>X</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>n</mi></mfrac></mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{ extstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ n → ∞. Il a constaté que les queues de la distribution de X _n décroissent exponentiellement comme e ^{− nλ ( x )} où le facteur λ ( x ) dans l'exposant est la transformée de Legendre-Fenchel (aussi appelée conjuguée convexe ) de la fonction génératrice des cumulants ${\displaystyle \Psi _{Z}(t)=\log \operatorname {E} e^{tZ}. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Ψ</mi><mrow><mi>Z</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mi>E</mi><mo>⁡</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>t</mi><mi>Z</mi></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Psi _{Z}(t)=\log \operatorname {E} e^{tZ}.}</annotation></semantics></math><img src=$ λ ( x ) est parfois appelée fonction de Cramér . La fonction de taux définie plus haut dans cet article est une généralisation plus large de cette notion de Cramér, définie de manière plus abstraite sur un espace de probabilité plutôt que sur l’ espace d’états d’une variable aléatoire.