limite inverse

En mathématiques , une limite inverse (ou limite projective ) est une construction qui permet de relier plusieurs objets liés , le processus de liaison précis étant spécifié par des morphismes entre ces objets. Les limites inverses peuvent être définies dans toute catégorie , bien que leur existence dépende de la catégorie considérée. Elles constituent un cas particulier du concept de limite en théorie des catégories.

En travaillant dans la catégorie duale — c’est-à-dire en inversant les flèches —, une limite inverse devient une limite directe ou une limite inductive , et une limite devient une colimite .

Définition formelle

objets algébriques

Nous commençons par la définition d'un système inverse (ou système projectif) de groupes et d'homomorphismes . ${\displaystyle (I,\leq ) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>je</mi><mo>,</mo><mo>≤</mo><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (I,\leq )}</annotation></semantics></math><img src=$ I soit dirigé). ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><msub><mo>)</mo><mrow><mi>je</mi><mo>∈</mo><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f_{ij}:A_{j} o A_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>:</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>→</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{ij}:A_{j} o A_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle i\leq j <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi><mo>≤</mo><mi>j</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle i\leq j}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle f_{ii <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{ii}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle A_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$
${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>∘</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle f_ {ik} = f_ {ij} circ f_ {jk}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle i\leq j\leq k. <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>≤</mo><mi>k</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle i\leq j\leq k.}</annotation></semantics></math><img src=$

Puis la paire ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I}) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mo>(</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><msub><mo>)</mo><mrow><mi>je</mi><mo>∈</mo><mi>je</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mo>(</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mo>)</mo><mrow><mi>je</mi><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}</annotation></semantics></math><img src=$ système inverse de groupes et de morphismes sur ${\displaystyle I <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Je}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f_{ij <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{ij}}</annotation></semantics></math><img src=$

La limite inverse du système inverse ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I}) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mo>(</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><msub><mo>)</mo><mrow><mi>je</mi><mo>∈</mo><mi>je</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mo>(</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mo>)</mo><mrow><mi>je</mi><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>∈</mo><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle A_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠ 's défini comme

{\displaystyle A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\;\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\; ight|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){ ext{ for all }}i\leq j{ ext{ in }}I\; ight\}. <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>=</mo><munder><mrow><munder><mi>limite</mi><mo>←</mo></munder></mrow><mrow><mi>je</mi><mo>∈</mo><mi>je</mi></mrow></munder><mo>⁡</mo><mrow><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>{</mo><mrow><mspace></mspace><mrow><mo></mo><mrow><mrow><mrow><mover><mi>un</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mrow><mo>∈</mo><munder><mo>∏</mo><mrow><mi>je</mi><mo>∈</mo><mi>je</mi></mrow></munder><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mspace></mspace></mrow><mo>|</mo></mrow><mspace></mspace><msub><mi>un</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mrow><mtext> pour tous </mtext></mrow><mi>je</mi><mo>≤</mo><mi>j</mi><mrow><mtext> dans </mtext></mrow><mi>je</mi><mspace></mspace></mrow><mo>}</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\;\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\; ight|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){ ext{ pour tout }}i\leq j{ ext{ dans }}I\; ight\}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

La définition ci-dessus d'un système inverse implique que ${\displaystyle A <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle f_{ij}(a_{j}\cdot b_{j})=f_{ij}(a_{j})\cdot f_{ij}(b_{j})=a_{i}\cdot b_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>⋅</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>un</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{ij}(a_{j}\cdot b_{j})=f_{ij}(a_{j})\cdot f_{ij}(b_{j})=a_{i}\cdot b_{i}}</annotation></semantics></math></span><img src=

pour ${\displaystyle i<j <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi><mo><</mo><mi>j</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle i<j}</annotation></semantics></math><img src=$ et chaque ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in A <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>un</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mrow><mo>,</mo><mrow><mrow><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mrow><mo>∈</mo><mi>UN</mi></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle { vec {a}}, { vec {b}} in A}</annotation></semantics></math><img src=$ ⁠

La limite inverse ${\displaystyle A <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A}</annotation></semantics></math><img src=$ projections naturelles _i : A → A _i qui sélectionnent le -ème composant du produit direct pour chaque ${\displaystyle i <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle i}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle I <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Je}</annotation></semantics></math><img src=$

Cette même construction peut être réalisée si le ${\displaystyle A_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle A_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ appartiennent à une variété au sens de l'algèbre universelle , c'est-à-dire à un type de structures algébriques dont les axiomes sont inconditionnels ( les corps ne forment pas une algèbre, puisque zéro n'a pas d' inverse multiplicatif ).

Définition générale

La limite inverse peut être définie abstraitement dans une catégorie arbitraire au moyen d'une propriété universelle . Soit ${ extstyle (X_{i},f_{ij}) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>X</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ extstyle (X_{i},f_{ij})}</annotation></semantics></math><img src=$ C (même définition que ci-dessus). La limite inverse de ce système est un objet X dans C muni de morphismes _i = ${\displaystyle f_{ij <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{ij}}</annotation></semantics></math><img src=$ _i ) doit être universelle au sens où pour toute autre paire de ce type ( Y , ψ _i ), il existe un unique morphisme u : Y → X tel que le diagramme

commute pour tout i ≤ j . La limite inverse est souvent notée

{\displaystyle X=\varprojlim X_{i <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>=</mo><mrow><munder><mi>limite</mi><mo>←</mo></munder></mrow><mo>⁡</mo><msub><mi>X</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}</annotation></semantics></math></span><img src=

avec le système inverse ${ extstyle (X_{i},f_{ij}) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>X</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ extstyle (X_{i},f_{ij})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \pi _{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>π</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \pi _{i}}</annotation></semantics></math><img src=$

Dans certaines catégories, la limite inverse de certains systèmes inverses n'existe pas. Si elle existe, elle est cependant unique au sens strict : étant donné deux limites inverses quelconques X et X' d'un système inverse, il existe un unique isomorphisme X ' → X commutant avec les applications de projection.

Les systèmes inverses et les limites inverses dans une catégorie C admettent une description alternative en termes de foncteurs . Tout ensemble partiellement ordonné I peut être considéré comme une petite catégorie où les morphismes sont constitués de flèches i → j si et seulement si i ≤ j . Un système inverse est alors simplement un foncteur contravariant I → C. ${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>C</mi><mrow><msup><mi>je</mi><mrow><mrow><mi>o</mi><mi>p</mi></mrow></mrow></msup></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}}</annotation></semantics></math><img src=$ X de C peut être considéré comme un système inverse trivial, où tous les objets sont égaux à X et toutes les flèches sont l'élément neutre de X. Ceci définit un « foncteur trivial » de C vers C. ${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>C</mi><mrow><msup><mi>je</mi><mrow><mrow><mi>o</mi><mi>p</mi></mrow></mrow></msup></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Exemples

L'anneau des entiers p -adiques est la limite inverse des anneaux ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mrow><mi>Z</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (n_{1},n_{2},\dots ) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (n_{1},n_{2},\dots )}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n_{i}\equiv n_{j}{\mbox{ mod }}p^{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>n</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>≡</mo><msub><mi>n</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mrow><mstyle><mtext> mod </mtext></mstyle></mrow><msup><mi>p</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n_{i}\equiv n_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle i<j. <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi><mo><</mo><mi>j</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle i<j.}</annotation></semantics></math><img src=$ p -adiques est celle sous-entendue ici, à savoir la topologie produit avec les ensembles cylindriques comme ensembles ouverts.
Le solénoïde p -adique est la limite inverse des groupes topologiques ${\displaystyle \mathbb {R} /p^{n}\mathbb {Z} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mrow><mi>Z</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} /p^{n}\mathbb {Z} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ) <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}{\mbox{ mod }}p^{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>x</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>≡</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mrow><mstyle><mtext> mod </mtext></mstyle></mrow><msup><mi>p</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle i<j. <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi><mo><</mo><mi>j</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle i<j.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n+r <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>r</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n+r}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ p -adique, et ${\displaystyle r\in [0,1) <semantics><mrow><mstyle><mi>r</mi><mo>∈</mo><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle r\in [0,1)}</annotation></semantics></math><img src=$
La bague ${\displaystyle extstyle R[[t]] <semantics><mrow><mstyle><mstyle><mi>R</mi><mo>[</mo><mo>[</mo><mi>t</mi><mo>]</mo><mo>]</mo></mstyle></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle extstyle R[[t]]}</annotation></semantics></math><img src=$ R peuvent être vues comme la limite inverse des anneaux ${\displaystyle extstyle R[t]/t^{n}R[t] <semantics><mrow><mstyle><mstyle><mi>R</mi><mo>[</mo><mi>t</mi><mo>]</mo><mrow><mo>/</mo></mrow><msup><mi>t</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>R</mi><mo>[</mo><mi>t</mi><mo>]</mo></mstyle></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle extstyle R[t]/t^{n}R[t]}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle extstyle R[t]/t^{n+j}R[t] <semantics><mrow><mstyle><mstyle><mi>R</mi><mo>[</mo><mi>t</mi><mo>]</mo><mrow><mo>/</mo></mrow><msup><mi>t</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>j</mi></mrow></msup><mi>R</mi><mo>[</mo><mi>t</mi><mo>]</mo></mstyle></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle extstyle R[t]/t^{n+j}R[t]}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle extstyle R[t]/t^{n}R[t] <semantics><mrow><mstyle><mstyle><mi>R</mi><mo>[</mo><mi>t</mi><mo>]</mo><mrow><mo>/</mo></mrow><msup><mi>t</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>R</mi><mo>[</mo><mi>t</mi><mo>]</mo></mstyle></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle extstyle R[t]/t^{n}R[t]}</annotation></semantics></math><img src=$
Les groupes profinis sont définis comme les limites inverses des groupes finis (discrets).
Soit l'ensemble d'indices I d'un système inverse ( X _i ,
) ont un plus grand élément m . Alors la projection naturelle
est exact à gauche . Si I est ordonné (et non simplement partiellement ordonné) et dénombrable , et si C est la catégorie Ab des groupes abéliens, la condition de Mittag-Leffler est une condition sur les morphismes de transition f _ij qui assure l'exactitude de ${\displaystyle \varprojlim <semantics><mrow><mstyle><mrow><munder><mi>limite</mi><mo>←</mo></munder></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varprojlim }</annotation></semantics></math><img src=$
${\displaystyle \varprojlim {}^{1}:\operatorname {Ab} ^{I} ightarrow \operatorname {Ab} <semantics><mrow><mstyle><mrow><munder><mi>limite</mi><mo>←</mo></munder></mrow><mo>⁡</mo><msup><mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>:</mo><msup><mi>Ab</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msup><mo>→</mo><mi>Ab</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varprojlim {}^{1}:\operatorname {Ab} ^{I} ightarrow \operatorname {Ab} }</annotation></semantics></math><img src=$
(prononcé « lim un ») tel que si ( A _i , f _ij ), ( B _i , g _ij ) et ( C _i , h _ij ) sont trois systèmes inverses de groupes abéliens, et
${\displaystyle 0 ightarrow A_{i} ightarrow B_{i} ightarrow C_{i} ightarrow 0 <semantics><mrow><mstyle><mn>0</mn><mo>→</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>→</mo><msub><mi>B</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>→</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>→</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 0 ightarrow A_{i} ightarrow B_{i} ightarrow C_{i} ightarrow 0}</annotation></semantics></math><img src=$
est une courte séquence exacte de systèmes inverses, alors
${\displaystyle 0 ightarrow \varprojlim A_{i} ightarrow \varprojlim B_{i} ightarrow \varprojlim C_{i} ightarrow \varprojlim {}^{1}A_{i <semantics><mrow><mstyle><mn>0</mn><mo>→</mo><mrow><munder><mi>limite</mi><mo>←</mo></munder></mrow><mo>⁡</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>→</mo><mrow><munder><mi>limite</mi><mo>←</mo></munder></mrow><mo>⁡</mo><msub><mi>B</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>→</mo><mrow><munder><mi>limite</mi><mo>←</mo></munder></mrow><mo>⁡</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>→</mo><mrow><munder><mi>limite</mi><mo>←</mo></munder></mrow><mo>⁡</mo><msup><mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 0 ightarrow \varprojlim A_{i} ightarrow \varprojlim B_{i} ightarrow \varprojlim C_{i} ightarrow \varprojlim {}^{1}A_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$
est une séquence exacte dans Ab .
Condition de Mittag-Leffler
Si les images des morphismes d'un système inverse de groupes abéliens ( A _i , f _ij ) sont stationnaires , c'est-à-dire que pour tout k il existe j ≥ k tel que pour tout i ≥ j : ${\displaystyle f_{kj}(A_{j})=f_{ki}(A_{i}) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mi>k</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>k</mi><mi>je</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{kj}(A_{j})=f_{ki}(A_{i})}</annotation></semantics></math><img src=$ condition de Mittag-Leffler .
Le nom « Mittag-Leffler » donné à cette condition a été introduit par Bourbaki dans son chapitre sur les structures uniformes, pour un résultat similaire concernant les limites inverses des espaces uniformes complets de Hausdorff. Mittag-Leffler a utilisé un argument similaire dans la démonstration de son théorème .
Les situations suivantes sont des exemples où la condition de Mittag-Leffler est satisfaite :
- un système dans lequel les morphismes f _ij sont surjectifs
- un système d' espaces vectoriels de dimension finie ou de groupes abéliens finis ou de modules de longueur finie ou de modules artiniens .
Un exemple où ${\displaystyle \varprojlim {}^{1 <semantics><mrow><mstyle><mrow><munder><mi>limite</mi><mo>←</mo></munder></mrow><mo>⁡</mo><msup><mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varprojlim {}^{1}}</annotation></semantics></math><img src=$ I comme l' ensemble des entiers non négatifs , en posant A _i = p ⁱ Z , B _i = Z , et C _i = B _i / A _i = Z / p ⁱ Z .
${\displaystyle \varprojlim {}^{1}A_{i}=\mathbf {Z} _{p}/\mathbf {Z} <semantics><mrow><mstyle><mrow><munder><mi>limite</mi><mo>←</mo></munder></mrow><mo>⁡</mo><msup><mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mrow><mo>/</mo></mrow><mrow><mi>Z</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varprojlim {}^{1}A_{i}=\mathbf {Z} _{p}/\mathbf {Z} }</annotation></semantics></math><img src=$
où Z _p désigne les entiers p-adiques .
Résultats supplémentaires
Plus généralement, si C est une catégorie abélienne quelconque possédant suffisamment d'injectives , alors C ⊆ ^I en possède également , et les foncteurs dérivés à droite du foncteur limite inverse peuvent ainsi être définis. Le n -ième foncteur dérivé à droite est noté .
${\displaystyle R^{n}\varprojlim :C^{I} ightarrow C. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>R</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mrow><munder><mi>limite</mi><mo>←</mo></munder></mrow><mo>:</mo><msup><mi>C</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msup><mo>→</mo><mi>C</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R^{n}\varprojlim :C^{I} ightarrow C.}</annotation></semantics></math><img src=$
Dans le cas où C satisfait l'axiome de Grothendieck (AB4*) , Jan-Erik Roos a généralisé le foncteur lim ¹ sur Ab ^I en une série de foncteurs lim ⁿ tels que
${\displaystyle \varprojlim {}^{n}\cong R^{n}\varprojlim . <semantics><mrow><mstyle><mrow><munder><mi>limite</mi><mo>←</mo></munder></mrow><mo>⁡</mo><msup><mrow></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>≅</mo><msup><mi>R</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mrow><munder><mi>limite</mi><mo>←</mo></munder></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varprojlim {}^{n}\cong R^{n}\varprojlim .}</annotation></semantics></math><img src=$
Pendant près de 40 ans, on a cru que Roos avait démontré (dans « ») que lim ^A  _{i} = 0 pour ( A _i , f _ij ) un système inverse muni de morphismes de transition surjectifs et I l'ensemble des entiers non négatifs (de tels systèmes inverses sont souvent appelés « suites de Mittag-Leffler »). Cependant, en 2002, Amnon Neeman et Pierre Deligne ont construit un exemple d'un tel système dans une catégorie satisfaisant (AB4) (en plus de (AB4*)) avec lim ^A  _i ≠ 0. Roos a depuis montré (dans « Derived foncctors of inverse limits revisited ») que son résultat est correct si C possède un ensemble de générateurs (en plus de satisfaire (AB3) et (AB4*)).
Barry Mitchell a montré (dans « La dimension cohomologique d'un ensemble dirigé ») que si I a une cardinalité ${\displaystyle \aleph _{d <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>ℵ</mi><mrow><mi>d</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \aleph _{d}}</annotation></semantics></math><img src=$ d -ième cardinal infini ), alors R ⁿ lim est nul pour tout n ≥ d + 2. Ceci s'applique aux diagrammes indexés par I dans la catégorie des R -modules, avec R un anneau commutatif ; ce n'est pas nécessairement vrai dans une catégorie abélienne arbitraire (voir « Derived fonctors of inverse limits revisited » de Roos pour des exemples de catégories abéliennes dans lesquelles lim ⁿ , sur les diagrammes indexés par un ensemble dénombrable, est non nul pour n > 1).

Concepts et généralisations connexes

Le dual catégorique d'une limite inverse est une limite directe (ou limite inductive). Les concepts plus généraux sont les limites et les colimites de la théorie des catégories. La terminologie peut prêter à confusion : les limites inverses constituent une classe de limites, tandis que les limites directes constituent une classe de colimites.