Catégorie opposée

En théorie des catégories , une branche des mathématiques , la catégorie opposée ou catégorie duale C ^op d'une catégorie donnée C est formée en inversant les morphismes , c'est-à-dire en intervertissant la source et la cible de chaque morphisme. En effectuant l'inversion deux fois, on obtient la catégorie d'origine, donc l'opposé d'une catégorie opposée est la catégorie d'origine elle-même. Dans les symboles, .

• Un exemple vient de l'inversion du sens des inégalités dans un ordre partiel . Ainsi, si X est un ensemble et ≤ une relation d'ordre partiel, nous pouvons définir une nouvelle relation d'ordre partiel ≤ ^op par

x ≤ ^op y si et seulement si y ≤ x .

Le nouvel ordre est communément appelé ordre dual de ≤, et est généralement noté ≥. Par conséquent, la dualité joue un rôle important dans la théorie de l'ordre et chaque concept purement théorique de l'ordre a un dual. Par exemple, il existe des paires opposées enfant/parent, descendant/ancêtre, infimum / supremum , down-set / up-set , idéal / filtre , etc. Cette dualité théorique de l'ordre est à son tour un cas particulier de construction de catégories opposées car chaque ensemble ordonné peut être compris comme une catégorie.

• Étant donné un semi-groupe ( S , ·), on définit généralement le semi-groupe opposé comme ( S , ·) ^op = ( S , *) où x * y ≔ y · x pour tout x , y dans S . Il existe donc également pour les semi-groupes un principe de dualité fort. De toute évidence, la même construction fonctionne également pour les groupes et est également connue dans la théorie des anneaux , où elle est appliquée au semi-groupe multiplicatif de l'anneau pour donner l'anneau opposé. Là encore, ce processus peut être décrit en complétant un semi-groupe en un monoïde, en prenant la catégorie opposée correspondante , puis en retirant éventuellement l'unité de ce monoïde.
• La catégorie des algèbres booléennes et des homomorphismes booléens est équivalente à l'opposé de la catégorie des espaces de Stone et des fonctions continues .
• La catégorie des schémas affines est équivalente à l'opposé de la catégorie des anneaux commutatifs .
• La dualité de Pontryagin se restreint à une équivalence entre la catégorie des groupes topologiques abéliens compacts de Hausdorff et l'opposé de la catégorie des groupes abéliens (discrets).
• D'après le théorème de Gelfand–Naimark, la catégorie des espaces mesurables localisables (avec des applications mesurables ) est équivalente à la catégorie des algèbres de Von Neumann commutatives (avec des homomorphismes unitaires normaux de *-algèbres ).

Produits en conserve opposés :

L'opposé préserve les foncteurs :

Ci-contre conserves tranches :