*-algèbre

En mathématiques , un *-anneau est un anneau avec une application * : A → A qui est un antiautomorphisme et une involution .

Plus précisément, * doit satisfaire les propriétés suivantes :

• ( x + y )* = x * + y *
• ( x y )* = y *  x *
• 1* = 1
• ( x *)* = x

pour tous x ,  y dans A .

On l'appelle aussi anneau involutif , anneau involutif et anneau avec involution . Le troisième axiome est impliqué par les deuxième et quatrième axiomes, ce qui le rend redondant.

Les éléments tels que x * = x sont appelés auto-adjoints .

Les exemples archétypiques d'un *-anneau sont les corps de nombres complexes et les nombres algébriques avec une conjugaison complexe comme involution. On peut définir une forme sesquilinéaire sur tout *-anneau.

De plus, on peut définir des *-versions d'objets algébriques, tels que l'idéal et le sous-anneau , avec l'exigence d'être * -invariants : x ∈ I ⇒ x * ∈ I et ainsi de suite.

Les anneaux * ne sont pas liés aux demi-anneaux en étoile dans la théorie du calcul.

Une *-algèbre A est un *-anneau, avec involution * qui est une algèbre associative sur un *-anneau commutatif R avec involution ′ , tel que ( r x )* = r ′  x * ∀ r ∈ R , x ∈ A .

L'anneau de base * R représente souvent les nombres complexes (avec ′ agissant comme conjugaison complexe).

Il résulte des axiomes que * sur A est conjugué-linéaire dans R , ce qui signifie

( λ x + μ  y )* = λ ′  x * + μ ′  y *

pour λ ,  μ ∈ R , x ,  y ∈ A .

Un *-homomorphisme f : A → B est un homomorphisme d'algèbre compatible avec les involutions de A et B , c'est-à-dire,

• f ( a *) = f ( a )* pour tout a dans A .

L'opération * sur un anneau * est analogue à la conjugaison complexe sur les nombres complexes. L'opération * sur une algèbre * est analogue à la prise d'adjoints dans les algèbres matricielles complexes .

L'involution * est une opération unaire écrite avec un glyphe étoile postfixé centré au-dessus ou près de la ligne moyenne :

x ↦ x * , ou

x ↦ x ^∗ ( TeX :x^*),

mais pas comme « x ∗ » ; voir l' article astérisque pour plus de détails.

• Tout anneau commutatif devient un *-anneau avec l'involution triviale ( identique ).
• L'exemple le plus connu d'un *-anneau et d'une *-algèbre sur les réels est le corps des nombres complexes C où * est simplement une conjugaison complexe .
• Plus généralement, une extension de corps réalisée par adjonction d'une racine carrée (telle que l' unité imaginaire √ −1 ) est une *-algèbre sur le corps d'origine, considéré comme un anneau trivialement *. Le * inverse le signe de cette racine carrée.
• Un anneau d'entiers quadratiques (pour un certain D ) est un anneau * commutatif avec le * défini de manière similaire ; les corps quadratiques sont des *-algèbres sur des anneaux d'entiers quadratiques appropriés.
• Les quaternions , les nombres complexes fractionnés , les nombres duaux et éventuellement d'autres systèmes de nombres hypercomplexes forment des *-anneaux (avec leur opération de conjugaison intégrée) et des *-algèbres sur les nombres réels (où * est trivial). Aucun des trois n'est une algèbre complexe.
• Les quaternions de Hurwitz forment un anneau * non commutatif avec la conjugaison des quaternions.
• L' algèbre matricielle des matrices n  ×  n sur R avec * donnée par la transposition .
• L'algèbre matricielle des matrices n  ×  n sur C avec * donnée par la transposée conjuguée .
• Sa généralisation, l' adjoint hermitien dans l'algèbre des opérateurs linéaires bornés sur un espace de Hilbert définit également une *-algèbre.
• L' anneau de polynômes R [ x ] sur un anneau trivialement* commutatif R est une *-algèbre sur R avec P  *( x ) = P  (− x ) .
• Si ( A , +, ×, *) est simultanément un *-anneau, une algèbre sur un anneau R (commutative), et ( r x )* = r  ( x *) ∀ r ∈ R , x ∈ A , alors A est une *-algèbre sur R (où * est trivial).
  • En tant que cas partiel, tout *-anneau est une *-algèbre sur les entiers .
• Tout *-anneau commutatif est une *-algèbre sur lui-même et, plus généralement, sur tout son *-sous-anneau.
• Pour un *-anneau commutatif R , son quotient par un de ses *-idéal est une *-algèbre sur R .
  • Par exemple, tout anneau trivialement* commutatif est une *-algèbre sur son anneau de nombres duals , un *-anneau avec * non trivial , car le quotient par ε = 0 constitue l'anneau d'origine.
  • Il en est de même pour un anneau commutatif K et son anneau polynomial K [ x ] : le quotient par x = 0 restaure K .
• En algèbre de Hecke , une involution est importante pour le polynôme de Kazhdan – Lusztig .
• L' anneau d'endomorphismes d'une courbe elliptique devient une *-algèbre sur les entiers, où l'involution est donnée en prenant l' isogénie duale . Une construction similaire fonctionne pour les variétés abéliennes avec une polarisation , auquel cas elle est appelée l' involution de Rosati (voir les notes de cours de Milne sur les variétés abéliennes).

Les algèbres de Hopf involutives sont des exemples importants d'algèbres * (avec la structure supplémentaire d'une comultiplication compatible ) ; l'exemple le plus connu étant :

• L' algèbre de Hopf en groupe : un anneau de groupe , avec involution donnée par g ↦ g ⁻¹ .

Toutes les algèbres n’admettent pas une involution :

Considérons les matrices 2×2 sur les nombres complexes. Considérons la sous-algèbre suivante :

Tout antiautomorphisme non trivial a nécessairement la forme : pour tout nombre complexe .

Il s’ensuit que tout antiautomorphisme non trivial ne parvient pas à être involutif :

Concluant que la sous-algèbre n’admet aucune involution.

De nombreuses propriétés de la transposée sont valables pour les *-algèbres générales :

• Les éléments hermitiens forment une algèbre de Jordan ;
• Les éléments hermitiens obliques forment une algèbre de Lie ;
• Si 2 est inversible dans l'anneau *, alors les opérateurs ⁠1/2⁠ (1 + *) et ⁠1/2⁠ (1 − *) sont des idempotents orthogonaux , appelés symétrisants et antisymétrisants , donc l'algèbre se décompose en une somme directe de modules ( espaces vectoriels si l'anneau * est un corps) d'éléments symétriques et antisymétriques (hermitiens et hermitiens antisymétriques). Ces espaces ne forment généralement pas d'algèbres associatives, car les idempotents sont des opérateurs et non des éléments de l'algèbre.

Étant donné un *-anneau, il existe aussi l'application −* : x ↦ − x * . Elle ne définit pas de structure *-anneau (à moins que la caractéristique soit 2, auquel cas −* est identique à l'original *), car 1 ↦ −1 , elle n'est pas non plus antimultiplicative, mais elle satisfait les autres axiomes (linéaire, involution) et est donc assez similaire à l'*-algèbre où x ↦ x * .

Les éléments fixés par cette application (c'est-à-dire tels que a = − a * ) sont appelés hermitiens obliques .

Pour les nombres complexes avec conjugaison complexe, les nombres réels sont les éléments hermitiens et les nombres imaginaires sont les éléments hermitiens obliques.