Analyse de la matrice de transfert de rayons

L'analyse matricielle de transfert de rayons (également appelée analyse matricielle ABCD ) est une forme mathématique permettant d'effectuer des calculs de traçage de rayons dans des problèmes suffisamment simples qui peuvent être résolus en considérant uniquement les rayons paraxiaux. Chaque élément optique (surface, interface, miroir ou trajet du faisceau) est décrit par une matrice de transfert de rayons 2 × 2 qui opère sur un vecteur décrivant un rayon lumineux entrant pour calculer le rayon sortant. La multiplication des matrices successives donne ainsi une matrice de transfert de rayons concise décrivant l'ensemble du système optique. Les mêmes mathématiques sont également utilisées en physique des accélérateurs pour suivre les particules à travers les installations magnétiques d'un accélérateur de particules , voir optique électronique .

Cette technique, telle que décrite ci-dessous, est dérivée de l' approximation paraxiale , qui nécessite que toutes les directions des rayons (directions normales aux fronts d'onde) soient à de petits angles θ par rapport à l' axe optique du système, de sorte que l'approximation sin θ ≈ θ reste valide. Un petit θ implique en outre que l'étendue transversale des faisceaux de rayons ( x et y ) est petite par rapport à la longueur du système optique (donc « paraxiale »). Étant donné qu'un système d'imagerie décent où ce n'est pas le cas pour tous les rayons doit toujours focaliser correctement les rayons paraxiales, cette méthode matricielle décrira correctement les positions des plans focaux et des grossissements, mais les aberrations doivent toujours être évaluées à l'aide de techniques de traçage de rayons complètes .

La technique du lancer de rayons repose sur deux plans de référence, appelés plans d'entrée et de sortie , chacun perpendiculaire à l'axe optique du système. En tout point le long du train optique, un axe optique est défini correspondant à un rayon central ; ce rayon central est propagé pour définir l'axe optique plus loin dans le train optique qui n'a pas besoin d'être dans la même direction physique (comme lorsqu'il est courbé par un prisme ou un miroir). Les directions transversales x et y (ci-dessous, nous ne considérons que la direction x ) sont alors définies comme étant orthogonales aux axes optiques applicables. Un rayon lumineux entre dans un composant traversant son plan d'entrée à une distance x ₁ de l'axe optique, se déplaçant dans une direction qui fait un angle θ ₁ avec l'axe optique. Après propagation vers le plan de sortie, ce rayon se trouve à une distance x ₂ de l'axe optique et à un angle θ ₂ par rapport à celui-ci. n ₁ et n ₂ sont les indices de réfraction des milieux dans le plan d'entrée et de sortie, respectivement.

La matrice ABCD représentant un composant ou un système relie le rayon de sortie à l'entrée selon où les valeurs des 4 éléments de la matrice sont ainsi données par et

Cette matrice de transfert de rayons (RTM) relie les vecteurs de rayons aux plans d'entrée et de sortie par la matrice de transfert de rayons ( RTM ) M , qui représente le composant ou le système optique présent entre les deux plans de référence. Un argument thermodynamique basé sur le rayonnement du corps noir peut être utilisé pour montrer que le déterminant d'une RTM est le rapport des indices de réfraction :

Par conséquent, si les plans d'entrée et de sortie sont situés dans le même milieu, ou dans deux milieux différents qui ont des indices de réfraction identiques, alors le déterminant de M est simplement égal à 1.

Une convention différente peut être utilisée pour les vecteurs de rayons. Au lieu d'utiliser θ ≈ sin θ , le deuxième élément du vecteur de rayons est n  sin θ , qui est proportionnel non pas à l'angle de rayon en soi mais à la composante transversale du vecteur d'onde . Cela modifie les matrices ABCD données dans le tableau ci-dessous lorsque la réfraction à une interface est impliquée.

L'utilisation de matrices de transfert de cette manière est parallèle à laMatrices 2 × 2 décrivant des réseaux électroniques à deux ports , en particulier diverses matrices dites ABCD qui peuvent également être multipliées pour résoudre des systèmes en cascade.

A titre d'exemple, s'il y a un espace libre entre les deux plans, la matrice de transfert de rayons est donnée par : où d est la distance de séparation (mesurée le long de l'axe optique) entre les deux plans de référence. L'équation de transfert de rayons devient alors : et cela relie les paramètres des deux rayons comme suit :

Un autre exemple simple est celui d'une lentille mince . Son RTM est donné par : où f est la distance focale de la lentille. Pour décrire des combinaisons de composants optiques, les matrices de transfert de rayons peuvent être multipliées ensemble pour obtenir un RTM global pour le système optique composé. Pour l'exemple d'espace libre de longueur d suivi d'une lentille de distance focale f :

Notez que, puisque la multiplication des matrices n'est pas commutative , ce n'est pas le même RTM que celui d'une lentille suivie d'un espace libre :

Les matrices doivent donc être ordonnées de manière appropriée, la dernière matrice prémultipliant l'avant-dernière, et ainsi de suite jusqu'à ce que la première matrice soit prémultipliée par la seconde. D'autres matrices peuvent être construites pour représenter des interfaces avec des milieux d' indices de réfraction différents , la réflexion sur des miroirs , etc.

Une matrice de transfert de rayons peut être considérée comme une transformation canonique linéaire . Selon les valeurs propres du système optique, le système peut être classé en plusieurs classes. Supposons que la matrice ABCD représentant un système relie le rayon de sortie à l'entrée selon

Nous calculons les valeurs propres de la matrice qui satisfont l'équation propre en calculant le déterminant

Soit , et nous avons des valeurs propres .

Selon les valeurs de et , plusieurs cas sont possibles. Par exemple :

1. Une paire de valeurs propres réelles : et , où . Ce cas représente une loupe
4. Une paire de deux valeurs propres conjuguées complexes unimodulaires et . Ce cas est similaire à une transformée de Fourier fractionnaire séparable .

La théorie de la transformation canonique linéaire implique la relation entre la matrice de transfert de rayons ( optique géométrique ) et l'optique ondulatoire.

Il existe une infinité de façons de décomposer une matrice de transfert de rayons en une concaténation de plusieurs matrices de transfert. Par exemple dans le cas particulier où :

L'analyse RTM est particulièrement utile lors de la modélisation du comportement de la lumière dans les résonateurs optiques , tels que ceux utilisés dans les lasers. Dans sa forme la plus simple, un résonateur optique est constitué de deux miroirs identiques se faisant face, de réflectivité à 100 % et de rayon de courbure R , séparés par une certaine distance d . Aux fins du traçage de rayons, cela équivaut à une série de lentilles minces identiques de longueur focale f = R /2 , chacune séparée de la suivante par une longueur d . Cette construction est connue sous le nom de conduit équivalent à une lentille ou de guide d'ondes équivalent à une lentille . Le RTM de chaque section du guide d'ondes est, comme ci-dessus,

L'analyse RTM peut maintenant être utilisée pour déterminer la stabilité du guide d'ondes (et de manière équivalente, du résonateur). C'est-à-dire qu'il est possible de déterminer dans quelles conditions la lumière voyageant dans le guide d'ondes sera périodiquement refocalisée et restera dans le guide d'ondes. Pour ce faire, nous pouvons trouver tous les « rayons propres » du système : le vecteur de rayons d'entrée à chacune des sections mentionnées du guide d'ondes multiplié par un facteur réel ou complexe λ est égal à celui de sortie. Cela donne : qui est une équation de valeur propre : où est le2 × 2 .

On procède au calcul des valeurs propres de la matrice de transfert : conduisant à l' équation caractéristique où est la trace du RTM , et est le déterminant du RTM . Après une substitution courante on a : où est le paramètre de stabilité . Les valeurs propres sont les solutions de l'équation caractéristique. A partir de la formule quadratique on trouve

Considérons maintenant un rayon après que N ait traversé le système :

Si le guide d'onde est stable, aucun rayon ne doit s'éloigner arbitrairement de l'axe principal, c'est-à-dire que λ ^N ne doit pas croître sans limite. Supposons . Alors les deux valeurs propres sont réelles. Puisque , l'une d'elles doit être supérieure à 1 (en valeur absolue), ce qui implique que le rayon qui correspond à ce vecteur propre ne convergerait pas. Par conséquent, dans un guide d'onde stable, , et les valeurs propres peuvent être représentées par des nombres complexes : avec la substitution g = cos( ϕ ) . $1g^2>1$1}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6311ac445cc342e8bcec70a9d2beae42040af9">

Pour que soient et les vecteurs propres par rapport aux valeurs propres et respectivement, qui couvrent tout l'espace vectoriel car ils sont orthogonaux, ce dernier étant dû à . Le vecteur d'entrée peut donc s'écrire comme pour certaines constantes et .

Après N secteurs de guide d'ondes, la sortie lit ce qui représente une fonction périodique.

Les mêmes matrices peuvent également être utilisées pour calculer l'évolution des faisceaux gaussiens se propageant à travers des composants optiques décrits par les mêmes matrices de transmission. Si nous avons un faisceau gaussien de longueur d'onde , de rayon de courbure R (positif pour divergent, négatif pour convergent), de taille de spot w et d'indice de réfraction n , il est possible de définir un paramètre de faisceau complexe q par :

( R , w et q sont des fonctions de position.) Si l'axe du faisceau est dans la direction z , avec une taille à z ₀ et une portée de Rayleigh z _R , cela peut être écrit de manière équivalente comme

Ce faisceau peut être propagé à travers un système optique avec une matrice de transfert de rayons donnée en utilisant l'équation : où k est une constante de normalisation choisie pour maintenir la deuxième composante du vecteur de rayons égale à 1. En utilisant la multiplication matricielle , cette équation se développe comme

En divisant la première équation par la seconde, on élimine la constante de normalisation :

Il est souvent pratique d'exprimer cette dernière équation sous forme réciproque :

Considérons un faisceau parcourant une distance d dans l'espace libre, la matrice de transfert de rayons est et donc cohérente avec l'expression ci-dessus pour la propagation d'un faisceau gaussien ordinaire, c'est-à-dire . Au fur et à mesure que le faisceau se propage, le rayon et la taille changent.

Considérons un faisceau traversant une lentille mince de distance focale f . La matrice de transfert de rayons est et donc seule la partie réelle de 1/ q est affectée : la courbure du front d'onde 1/ R est réduite de la puissance de la lentille 1/ f , tandis que la taille latérale du faisceau w reste inchangée à la sortie de la lentille mince.

Méthodes utilisant des matrices de transfert de dimensionnalité supérieure, c'est-à-dire3 × 3 ,4 × 4 , et6 × 6 , sont également utilisés dans l'analyse optique. En particulier,Les matrices de propagation 4 × 4 sont utilisées dans la conception et l'analyse de séquences de prismes pour la compression d'impulsions dans les lasers femtosecondes .