Représentation réelle

Dans le domaine mathématique de la théorie des représentations, une représentation réelle est généralement une représentation sur un espace vectoriel réel U , mais elle peut également signifier une représentation sur un espace vectoriel complexe V avec une structure réelle invariante , c'est-à-dire une application équivariante antilinéaire .

qui satisfait

Les deux points de vue sont équivalents car si U est un espace vectoriel réel sur lequel agit un groupe G (par exemple), alors V = U ⊗ C est une représentation sur un espace vectoriel complexe avec une application équivariante antilinéaire donnée par la conjugaison complexe . Inversement, si V est une telle représentation complexe, alors U peut être récupéré comme l' ensemble de points fixes de j (l' espace propre avec la valeur propre 1).

En physique , où les représentations sont souvent envisagées concrètement en termes de matrices, une représentation réelle est une représentation dans laquelle les éléments des matrices représentant les éléments du groupe sont des nombres réels. Ces matrices peuvent agir sur des vecteurs colonnes réels ou complexes.

Une représentation réelle sur un espace vectoriel complexe est isomorphe à sa représentation complexe conjuguée , mais la réciproque n'est pas vraie : une représentation qui est isomorphe à sa représentation complexe conjuguée mais qui n'est pas réelle est appelée représentation pseudo-réelle . Une représentation pseudo-réelle irréductible V est nécessairement une représentation quaternionique : elle admet une structure quaternionique invariante , c'est-à-dire une application équivariante antilinéaire

qui satisfait

Une somme directe de représentations réelles et quaternioniques n'est ni réelle ni quaternionique en général.

Une représentation sur un espace vectoriel complexe peut aussi être isomorphe à la représentation duale de son conjugué complexe. Cela se produit précisément lorsque la représentation admet une forme sesquilinéaire invariante non dégénérée , par exemple une forme hermitienne . De telles représentations sont parfois dites complexes ou (pseudo-)hermitiennes.

Un critère (pour les groupes compacts G ) pour la réalité des représentations irréductibles en termes de théorie des caractères est basé sur l' indicateur de Frobenius-Schur défini par

où χ est le caractère de la représentation et μ est la mesure de Haar avec μ( G ) = 1. Pour un groupe fini, ceci est donné par

L'indicateur peut prendre les valeurs 1, 0 ou −1. Si l'indicateur est 1, alors la représentation est réelle. Si l'indicateur est nul, la représentation est complexe (hermitienne), et si l'indicateur est −1, la représentation est quaternionique.

Toutes les représentations des groupes symétriques sont réelles (et en fait rationnelles), puisque nous pouvons construire un ensemble complet de représentations irréductibles en utilisant des tableaux de Young .

Toutes les représentations des groupes de rotation sur les espaces de dimension impaire sont réelles, car elles apparaissent toutes comme des sous-représentations de produits tensoriels de copies de la représentation fondamentale, qui est réelle.

D'autres exemples de représentations réelles sont les représentations de spin des groupes de spin en dimensions 8 k −1, 8 k et 8 k +1 pour k = 1, 2, 3 ... Cette périodicité modulo 8 est connue en mathématiques non seulement dans la théorie des algèbres de Clifford , mais aussi en topologie algébrique , en théorie KO ; voir représentation de spin et périodicité de Bott .

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Théorie des représentations. Un premier cours . Textes de troisième cycle en mathématiques . Lectures en mathématiques. Vol. 129. New York : Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. M. 1153249. OCLC 246650103..
• Serre, Jean-Pierre (1977), Représentations linéaires de groupes finis , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9.