Unité de réputation

En mathématiques récréatives , une repunit est un nombre comme 11, 111 ou 1111 qui ne contient que le chiffre 1 — un type plus spécifique de repdigit . Le terme signifie « unité répétée » et a été inventé en 1966 par Albert H. Beiler dans son livre Recreations in the Theory of Numbers .

Un nombre premier repunit est un nombre repunit qui est également un nombre premier . Les nombres premiers qui sont des nombres premiers en base 2 sont des nombres premiers de Mersenne . En octobre 2024, le plus grand nombre premier connu 2 ^{136 279 841} − 1 , le plus grand nombre premier probable R _{8 177 207} et le plus grand nombre premier prouvé par primalité sur courbe elliptique R _{86 453} sont tous des nombres premiers dans diverses bases.

Définition

Les unités de base b sont définies comme (ce b peut être positif ou négatif)

{\displaystyle R_{n}^{(b)}\equiv 1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}={b^{n}-1 \over {b-1}}\qquad {\mbox{for }}|b|\geq 2,n\geq 1. <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>≡</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace></mspace> <mrow> <mstyle> <mtext>pour </mtext> </mstyle> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≥</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R_{n}^{(b)}\equiv 1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}={b^{n}-1 \over {b-1}}\qquad {\mbox{pour }}|b|\geq 2,n\geq 1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ainsi, le nombre R _n^{( b )} est constitué de n copies du chiffre 1 en représentation en base b . Les deux premières unités en base b pour n = 1 et n = 2 sont

{\displaystyle R_{1}^{(b)}={b-1 \over {b-1}}=1\qquad { ext{and}}\qquad R_{2}^{(b)}={b^{2}-1 \over {b-1}}=b+1\qquad { ext{for}}\ |b|\geq 2. <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mtext>et</mtext> </mrow> <mspace></mspace> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mtext>pour</mtext> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≥</mo> <mn>2.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R_{1}^{(b)}={b-1 \over {b-1}}=1\qquad { ext{et}}\qquad R_{2}^{(b)}={b^{2}-1 \over {b-1}}=b+1\qquad { ext{pour}}\ |b|\geq 2.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

En particulier, les unités décimales (base 10 ) qui sont souvent appelées simplement unités décimales sont définies comme

{\displaystyle R_{n}\equiv R_{n}^{(10)}={10^{n}-1 \over {10-1}}={10^{n}-1 \over 9}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>≡</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mn>10</mn> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>10</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mn>10</mn> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>9</mn> </mfrac> </mrow> <mspace></mspace> <mrow> <mstyle> <mtext>pour </mtext> </mstyle> </mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R_{n}\equiv R_{n}^{(10)}={10^{n}-1 \over {10-1}}={10^{n}-1 \over 9}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ainsi, le nombre R _n = R _n⁽¹⁰⁾ est constitué de n copies du chiffre 1 en représentation en base 10. La séquence de repunits en base 10 commence par

1 , 11 , 111 , 1111, 11111, 111111, ... (séquence A002275 dans l' OEIS ).

De même, les repunits base-2 sont définies comme

{\displaystyle R_{n}^{(2)}={2^{n}-1 \over {2-1}}={2^{n}-1}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1. <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mspace></mspace> <mrow> <mstyle> <mtext>for </mtext> </mstyle> </mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R_{n}^{(2)}={2^{n}-1 \over {2-1}}={2^{n}-1}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ainsi, le nombre R _n⁽²⁾ est constitué de n copies du chiffre 1 en représentation en base 2. En fait, les repunits en base 2 sont les nombres de Mersenne bien connus M _n = 2 ⁿ − 1, ils commencent par

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ... (séquence A000225 dans l' OEIS ).

Propriétés

Toute unité de référence dans une base quelconque ayant un nombre composé de chiffres est nécessairement composée. Par exemple,
R ₃₅^{( b )} = 111111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001,

puisque 35 = 7 × 5 = 5 × 7. Cette factorisation repunit ne dépend pas de la base b dans laquelle la repunit est exprimée.

Seules les unités repunit (dans n'importe quelle base) ayant un nombre premier de chiffres peuvent être premières. C'est une condition nécessaire mais non suffisante . Par exemple,

R ₁₁⁽²⁾ = 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89.

Si p est un nombre premier impair, alors tout nombre premier q qui divise R _p^{( b )} doit être soit 1 plus un multiple de 2 p, soit un facteur de b − 1. Par exemple, un facteur premier de R ₂₉ est 62003 = 1 + 2·29·1069. La raison est que le nombre premier p est le plus petit exposant supérieur à 1 tel que q divise b ^p − 1, car p est premier. Par conséquent, à moins que q ne divise b − 1, p divise la fonction de Carmichael de q , qui est paire et égale à q − 1.
Tout multiple positif de l'unité répunitive R _n^{( b )} contient au moins n chiffres non nuls en base b .
Tout nombre x est une unité à deux chiffres en base x − 1.
Les seuls nombres connus qui sont des repunits avec au moins 3 chiffres dans plus d'une base simultanément sont 31 (111 en base 5, 11111 en base 2) et 8191 (111 en base 90, 1111111111111 en base 2). La conjecture de Goormaghtigh dit qu'il n'y a que ces deux cas.
En utilisant le principe des casiers, on peut facilement montrer que pour des nombres naturels relativement premiers n et b , il existe une unité de base b qui est un multiple de n . Pour le voir, considérons les unités de base R ₁^{( b )} ,..., R _n^{( b )} . Comme il y a n unités de base mais seulement n −1 résidus non nuls modulo n, il existe deux unités de base R _i^{( b )} et R _j^{( b )} avec 1 ≤ i < j ≤ n telles que R _i^{( b )} et R _j^{( b )} aient le même résidu modulo n . Il s'ensuit que R _j^{( b )} − R _i^{( b )} a un résidu de 0 modulo n , c'est-à-dire qu'il est divisible par n . Étant donné que R _j^{( b )} − R _i^{( b )} est constitué de j − i uns suivis de i zéros, R _j^{( b )} − R _i^{( b )} = R _{j − i}^{( b )} × b ⁱ . Maintenant, n divise le côté gauche de cette équation, donc il divise aussi le côté droit, mais comme n et b sont premiers entre eux, n doit diviser R _{j − i}^{( b )} .
La conjecture de Feit-Thompson est que R _q^{( p )} ne divise jamais R _p^{( q )} pour deux nombres premiers distincts p et q .
En utilisant l' algorithme d'Euclide pour la définition des repunits : R ₁^{( b )} = 1 ; R _n^{( b )} = R _{n −1}^{( b )} × b + 1, toutes les repunits consécutives R _{n −1}^{( b )} et R _n^{( b )} sont relativement premières dans toute base b pour tout n .
Si m et n ont un diviseur commun d , R _m^{( b )} et R _n^{( b )} ont pour diviseur commun R _d^{( b )} dans toute base b pour tout m et n . Autrement dit, les repunits d'une base fixe forment une suite de divisibilité forte . Par conséquent, si m et n sont premiers entre eux, R _m^{( b )} et R _n^{( b )} sont premiers entre eux. L'algorithme d'Euclide est basé sur pgcd ( m , n ) = pgcd ( m − n , n ) pour m > n . De même, en utilisant R _m^{( b )} − R _n^{( b )} × b ^{m − n} = R _{m − n}^{( b )} , il peut être facilement démontré que pgcd ( R _m^{( b )} , R _n^{( b )} ) = pgcd ( R _{m − n}^{( b )} , R _n^{( b )} ) pour m > n . Par conséquent, si pgcd ( m , n ) = d , alors pgcd ( R _m^{( b )} , R _n^{( b )} ) = R _d^{( b )} .

Factorisation des unités décimales

(Les facteurs premiers colorés en rouge signifient « nouveaux facteurs », c'est-à-dire que le facteur premier divise R _n mais ne divise pas R _k pour tout k < n ) (séquence A102380 dans l' OEIS )

R ₁ =	1
R ₂ =	11
R ₃ =	3 · 37
R ₄ =	11 · 101
R ₅ =	41 · 271
R ₆ =	3 · 7 · 11 · 13 · 37
R ₇ =	239 · 4649
R ₈ =	11 · 73 · 101 · 137
R ₉ =	3 ² · 37 · 333667
R ₁₀ =	11 · 41 · 271 · 9091

R ₁₁ =	21649 · 513239
R ₁₂ =	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901
R ₁₃ =	53 · 79 · 265371653
R ₁₄ =	11 · 239 · 4649 · 909091
R ₁₅ =	3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161
R ₁₆ =	11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
R ₁₇ =	2071723 · 5363222357
R ₁₈ =	3 ² · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667
R ₁₉ =	1111111111111111111
R ₂₀ =	11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961

R ₂₁ =	3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
R ₂₂ =	11 ² · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239
R ₂₃ =	11111111111111111111111
R ₂₄ =	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
R ₂₅ =	41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001
R ₂₆ =	11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
R ₂₇ =	3 ³ · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
R ₂₈ =	11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
R ₂₉ =	3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
R ₃₀ =	3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161 Le plus petit facteur premier de R _n pour n > 1 est 11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 11111111111111111111111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, ... (séquence A067063 dans l' OEIS ) Nombres premiers repunit La définition des repunits a été motivée par des mathématiciens amateurs à la recherche de facteurs premiers de tels nombres. Il est facile de montrer que si n est divisible par a , alors R _n^{( b )} est divisible par R _a^{( b )} : ${\displaystyle R_{n}^{(b)}={\frac {1}{b-1}}\prod _{d\|n}\Phi _{d}(b), <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <munder> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>Φ</mi> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R_{n}^{(b)}={\frac {1}{b-1}}\prod _{d\|n}\Phi _{d}(b),}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ où est le polynôme cyclotomique et d s'étend sur les diviseurs de n . Pour p premier, ${\displaystyle \Phi _{d}(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Φ</mi> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Phi _{d}(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle d^{\mathrm {th} <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d^{\mathrm {th} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle \Phi _{p}(x)=\sum _{i=0}^{p-1}x^{i}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Φ</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Phi _{p}(x)=\sum _{i=0}^{p-1}x^{i},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ qui a la forme attendue d'une repunit lorsque x est substitué par b . Par exemple, 9 est divisible par 3, et donc R ₉ est divisible par R ₃ — en fait, 111111111 = 111 · 1001001. Les polynômes cyclotomiques correspondants et sont respectivement et . Ainsi, pour que R _n soit premier, n doit nécessairement être premier, mais il ne suffit pas que n soit premier. Par exemple, R ₃ = 111 = 3 · 37 n'est pas premier. Sauf dans ce cas de R ₃ , p ne peut diviser R _n pour n premier que si p = 2 kn + 1 pour un certain k . ${\displaystyle \Phi _{3}(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Φ</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Phi _{3}(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle \Phi _{9}(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Φ</mi> <mrow> <mn>9</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Phi _{9}(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle x^{2}+x+1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x^{2}+x+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle x^{6}+x^{3}+1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x^{6}+x^{3}+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ Nombres premiers décimaux repunit R _n est premier pour n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453 ... (séquence A004023 dans OEIS ). Le 3 avril 2007 Harvey Dubner (qui a également trouvé R ₄₉₀₈₁ ) a annoncé que R ₁₀₉₂₉₇ est un nombre premier probable. Le 15 juillet 2007, Maksym Voznyy a annoncé que R ₂₇₀₃₄₃ était probablement premier. Serge Batalov et Ryan Propper ont trouvé R _5794777 et R _8177207 comme étant des nombres premiers probables le 20 avril et le 8 mai 2021, respectivement. Au moment de leur découverte, chacun était le plus grand nombre premier probable connu. Le 22 mars 2022, le nombre premier probable R ₄₉₀₈₁ s'est finalement avéré être un nombre premier. Le 15 mai 2023, le nombre premier probable R ₈₆₄₅₃ s'est finalement avéré être un nombre premier. Il a été émis l'hypothèse qu'il existe une infinité de nombres premiers repunit et qu'ils semblent se produire à peu près aussi souvent que le prédirait le théorème des nombres premiers : l'exposant du N ième nombre premier repunit est généralement autour d'un multiple fixe de l'exposant du ( N −1) ième. Les nombres premiers sont un sous-ensemble trivial des nombres premiers permutables , c'est-à-dire des nombres premiers qui restent premiers après toute permutation de leurs chiffres. Les propriétés particulières sont Le reste de R _n modulo 3 est égal au reste de n modulo 3. En utilisant 10 ^a ≡ 1 (mod 3) pour tout a ≥ 0, n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 0 (mod R ₃ ), n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R _n ≡ R ₁ ≡ 1 (mod R ₃ ), n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R _n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R _n ≡ R ₂ ≡ 11 (mod R ₃ ). Par conséquent, 3 \| n ⇔ 3 \| R _n ⇔ R ₃ \| R _n . Le reste de R _n modulo 9 est égal au reste de n modulo 9. En utilisant 10 ^a ≡ 1 (mod 9) pour tout a ≥ 0, n ≡ r (mod 9) ⇔ R _n ≡ r (mod 9) ⇔ R _n ≡ R _r (mod R ₉ ), pour 0 ≤ r < 9. Par conséquent, 9 \| n ⇔ 9 \| R _n ⇔ R ₉ \| R _n . Factorisation algébrique des nombres repunit généralisés Si b est une puissance parfaite (qui peut s'écrire m ⁿ , avec m , n entiers, n > 1) différente de 1, alors il y a au plus une unité de base en base b . Si n est une puissance première (qui peut s'écrire p ^r , avec p premier, r entier, p , r > 0), alors toutes les unités de base en base b ne sont pas premières à l'exception de R _p et R ₂ . R _p peut être premier ou composé, les premiers exemples étant b = −216, −128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256, etc., les seconds exemples étant b = −243, −125, −64, −32, −27, −8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289, etc., et R ₂ peut être premier (lorsque p diffère de 2) seulement si b est négatif, une puissance de −2, par exemple, b = −8, −32, −128, −8192, etc., en fait, le R ₂ peut aussi être composé, par exemple, b = −512, −2048, −32768, etc. Si n n'est pas une puissance première, alors aucun nombre premier repunit de base b n'existe, par exemple, b = 64, 729 (avec n = 6), b = 1024 (avec n = 10), et b = −1 ou 0 (avec n un nombre naturel quelconque). Une autre situation particulière est b = −4 k ⁴ , avec k entier positif, qui a la factorisation aurifeuilleenne , par exemple, b = −4 (avec k = 1, alors R ₂ et R ₃ sont premiers), et b = −64, −324, −1024, −2500, −5184, ... (avec k = 2, 3, 4, 5, 6, ...), alors il n'existe aucun nombre premier repunit en base b . On conjecture également que lorsque b n'est ni une puissance parfaite ni −4 k ⁴ avec k entier positif, alors il existe une infinité de nombres premiers repunit en base b . La conjecture repunit généralisée Une conjecture liée aux nombres premiers repunit généralisés : (la conjecture prédit où se trouve le prochain nombre premier de Mersenne généralisé , si la conjecture est vraie, alors il existe une infinité de nombres premiers repunit pour toutes les bases ) ${\displaystyle b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ Pour tout entier , qui satisfait les conditions : ${\displaystyle b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ $1 \| b \| > 1$ 1}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87838d1a2091562cfe8bdead8d53039d460518a9">. ${\displaystyle b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle r <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle r <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle r <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle -4k^{4 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>k</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle -4k^{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ a généralisé les nombres premiers repunit de la forme ${\displaystyle R_{p}(b)={\frac {b^{p}-1}{b-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R_{p}(b)={\frac {b^{p}-1}{b-1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ pour un nombre premier , les nombres premiers seront distribués près de la ligne de meilleur ajustement ${\displaystyle p <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle Y=G\cdot \log _{\|b\|}\left(\log _{\|b\|}\left(R_{(b)}(n) ight) ight)+C, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <mi>G</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>log</mi> <mrow> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y=G\cdot \log _{\|b\|}\left(\log _{\|b\|}\left(R_{(b)}(n) ight) ight)+C,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ où limite , ${\displaystyle n ightarrow \infty <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>→</mo> <mi>∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n ightarrow \infty }</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle G={\frac {1}{e^{\gamma }}}=0.561459483566... <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0.561459483566...</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle G={\frac {1}{e^{\gamma }}}=0.561459483566...}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ et il y a environ ${\displaystyle \left(\log _{e}(N)+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{e}{\big (}\log _{e}(N){\big )}+{\frac {1}{\sqrt {N}}}-\delta ight)\cdot {\frac {e^{\gamma }}{\log _{e}(\|b\|) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>log</mi> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>N</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>log</mi> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>N</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mi>N</mi> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>δ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <mrow> <msub> <mi>log</mi> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \left(\log _{e}(N)+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{e}{\big (}\log _{e}(N){\big )}+{\frac {1}{\sqrt {N}}}-\delta ight)\cdot {\frac {e^{\gamma }}{\log _{e}(\|b\|)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ base -b repunit premiers inférieurs à N . ${\displaystyle e <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle \gamma <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle \log _{\|b\| <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>log</mi> <mrow> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \log _{\|b\|}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle \|b\| <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \|b\|}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle R_{(b)}(n) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R_{(b)}(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ b (avec premier p ) ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle C <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle \delta =1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>δ</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta =1}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ $0 b > 0$ 0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94436473a90bd55191a79c59474cb5456dcbec00"> ${\displaystyle \delta =1.6 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>δ</mi> <mo>=</mo> <mn>1.6</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta =1.6}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle b<0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b<0}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle m <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle -b <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle -b}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle 2^{m-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 2^{m-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ Nous avons également les 3 propriétés suivantes : Le nombre de nombres premiers de la forme (avec premier ) inférieur ou égal à est d'environ . ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle p <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{\|b\|}{\big (}\log _{\|b\|}(n){\big ) <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>log</mi> <mrow> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{\|b\|}{\big (}\log _{\|b\|}(n){\big )}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ Le nombre attendu de nombres premiers de la forme avec premier compris entre et est d'environ . ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle p <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle \|b\|\cdot n <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \|b\|\cdot n}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle e^{\gamma <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle e^{\gamma }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ La probabilité que le nombre de la forme soit premier (pour premier ) est d'environ . ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle p <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle {\frac {e^{\gamma }}{p\cdot \log _{e}(\|b\|) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>p</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mrow> <mo>\|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {e^{\gamma }}{p\cdot \log _{e}(\|b\|)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ Histoire Bien qu'elles n'étaient pas connues sous ce nom à l'époque, les unités répétitives en base 10 ont été étudiées par de nombreux mathématiciens au cours du XIXe siècle dans le but de déterminer et de prédire les modèles cycliques de décimales répétitives . Il a été découvert très tôt que pour tout nombre premier p supérieur à 5, la période du développement décimal de 1/ p est égale à la longueur du plus petit nombre repunit divisible par p . Des tables de la période de l'inverse des nombres premiers jusqu'à 60 000 avaient été publiées en 1860 et permettaient à des mathématiciens comme Reuschle de factoriser tous les nombres repunit jusqu'à R ₁₆ et de nombreux nombres plus grands. En 1880, même R ₁₇ à R ₃₆ avaient été factorisés et il est curieux que, bien qu'Édouard Lucas ait montré qu'aucun nombre premier inférieur à trois millions n'avait de période dix-neuf , aucune tentative n'ait été faite pour tester la primalité d'un nombre repunit avant le début du XXe siècle. Le mathématicien américain Oscar Hoppe a prouvé que R ₁₉ était premier en 1916 et Lehmer et Kraitchik ont indépendamment trouvé que R ₂₃ était premier en 1929. Les progrès dans l'étude des repunits n'ont pas eu lieu avant les années 1960, lorsque les ordinateurs ont permis de trouver de nombreux nouveaux facteurs de repunits et de corriger les lacunes dans les tables antérieures de périodes premières. R ₃₁₇ a été trouvé comme premier probable vers 1966 et a été prouvé premier onze ans plus tard, lorsque R ₁₀₃₁ s'est avéré être le seul autre nombre premier possible avec moins de dix mille chiffres. Il a été prouvé premier en 1986, mais les recherches d'autres nombres premiers au cours de la décennie suivante ont systématiquement échoué. Cependant, il y a eu un développement parallèle majeur dans le domaine des repunits généralisées, qui a produit un grand nombre de nouveaux nombres premiers et nombres premiers probables. Depuis 1999, quatre autres unités probablement premières ont été découvertes, mais il est peu probable que l'une d'entre elles soit prouvée comme étant première dans un avenir prévisible en raison de leur taille énorme. Le projet Cunningham s'efforce de documenter les factorisations entières (entre autres nombres) des repunits en base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 et 12. Numéros de Demlo DR Kaprekar a défini les nombres Demlo comme une concaténation d'une partie gauche, médiane et droite, où la partie gauche et droite doivent être de la même longueur (jusqu'à un éventuel zéro initial à gauche) et doivent s'additionner pour former un nombre répété, et la partie médiane peut contenir n'importe quel nombre supplémentaire de ce chiffre répété. Ils doivent leur nom à la gare de Demlo (maintenant appelée Dombivili ) à 30 miles de Bombay sur le chemin de fer GIP d'alors , où Kaprekar a commencé à les étudier. Il appelle nombres de Demlo merveilleux ceux de la forme 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321. Le fait que ce soient les carrés des repunits a conduit certains auteurs à appeler nombres de Demlo la suite infinie de ceux-ci, 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (séquence A002477 dans l' OEIS ), bien que l'on puisse vérifier qu'il ne s'agit pas de nombres de Demlo pour p = 10, 19, 28, ... Plus d articles de Worldlex Wiki Revenez a l index pour explorer davantage de pages sur l histoire, la science, la culture, la geographie et la societe en francais. Explorer l index ${\displaystyle R_{n}^{(b)}\equiv 1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}={b^{n}-1 \over {b-1}}\qquad {\mbox{pour }}\|b\|\geq 2,n\geq 1. </span referrerpolicy=$ Unité de réputation Source Worldlex Wiki Langue Francais Acces Gratuit Worldlex Wiki Encyclopedie et articles de reference en francais A propos Conditions Confidentialite Contact

Définition

Propriétés

Factorisation des unités décimales

Nombres premiers repunit

Nombres premiers décimaux repunit

Factorisation algébrique des nombres repunit généralisés

La conjecture repunit généralisée

Histoire

Numéros de Demlo