Optimisation des scénarios

L' approche par scénario ou approche par optimisation par scénario est une technique permettant d'obtenir des solutions à des problèmes d'optimisation robuste et d'optimisation sous contraintes aléatoires à partir d'un échantillon des contraintes . Elle est également liée au raisonnement inductif dans la modélisation et la prise de décision. Cette technique existe depuis des décennies en tant qu'approche heuristique et a récemment reçu une base théorique systématique.

En optimisation , les caractéristiques de robustesse se traduisent par des contraintes paramétrées par les éléments incertains du problème. Dans la méthode des scénarios, une solution est obtenue en examinant uniquement un échantillon aléatoire de contraintes ( approche heuristique ) appelées scénarios et une théorie profondément ancrée indique à l'utilisateur dans quelle mesure la solution correspondante est « robuste » par rapport aux autres contraintes. Cette théorie justifie l'utilisation de la randomisation dans l'optimisation robuste et contrainte par le hasard.

Parfois, les scénarios sont obtenus sous forme d'extractions aléatoires à partir d'un modèle. Le plus souvent, cependant, les scénarios sont des exemples de contraintes incertaines obtenues sous forme d'observations ( science pilotée par les données ). Dans ce dernier cas, aucun modèle d'incertitude n'est nécessaire pour générer des scénarios. De plus, ce qui est le plus remarquable, c'est que dans ce cas également, l'optimisation des scénarios s'accompagne d'une théorie à part entière, car tous les résultats d'optimisation des scénarios sont sans distribution et peuvent donc être appliqués même lorsqu'un modèle d'incertitude n'est pas disponible.

Pour les contraintes convexes (par exemple dans les problèmes semi-définis , impliquant des LMI (Linear Matrix Inequalities) ), une analyse théorique approfondie a été établie qui montre que la probabilité qu'une nouvelle contrainte ne soit pas satisfaite suit une distribution dominée par une distribution Beta . Ce résultat est précis car il est exact pour toute une classe de problèmes convexes. Plus généralement, il a été montré que divers niveaux empiriques suivent une distribution de Dirichlet , dont les marginales sont une distribution bêta. L'approche par scénario avec régularisation a également été envisagée, et des algorithmes pratiques avec une complexité de calcul réduite sont disponibles. Les extensions à des configurations plus complexes, non convexes, font toujours l'objet d'investigations actives.

L'approche par scénarios permet également de rechercher un compromis risque-rendement. De plus, une méthode à part entière peut être utilisée pour appliquer cette approche au contrôle. Les contraintes sont d'abord échantillonnées, puis l'utilisateur commence à supprimer certaines contraintes successivement. Cela peut être fait de différentes manières, même selon des algorithmes gloutons. Après l'élimination d'une contrainte supplémentaire, la solution optimale est mise à jour et la valeur optimale correspondante est déterminée. Au fur et à mesure que cette procédure avance, l'utilisateur construit une « courbe de valeurs » empirique, c'est-à-dire la courbe représentant la valeur obtenue après la suppression d'un nombre croissant de contraintes. La théorie des scénarios fournit des évaluations précises de la robustesse des différentes solutions.

Une avancée remarquable dans la théorie a été établie par la récente approche wait-and-judge : on évalue la complexité de la solution (telle que précisément définie dans l'article référencé) et à partir de sa valeur on formule des évaluations précises sur la robustesse de la solution. Ces résultats mettent en lumière des liens profondément ancrés entre les concepts de complexité et de risque. Une approche connexe, appelée « conception de scénarios répétitifs », vise à réduire la complexité de l'échantillon de la solution en alternant de manière répétée une phase de conception de scénario (avec un nombre réduit d'échantillons) avec une vérification aléatoire de la faisabilité de la solution qui en résulte.

Considérons une fonction qui représente le rendement d'un investissement ; il dépend de notre vecteur de choix d'investissement et de l'état du marché qui sera vécu à la fin de la période d'investissement.

A partir d'un modèle stochastique des conditions de marché, nous envisageons les états possibles (randomisation de l'incertitude). Alternativement, les scénarios peuvent être obtenus à partir d'un enregistrement d'observations.

Nous avons entrepris de résoudre le programme d'optimisation de scénario

Cela correspond au choix d'un vecteur de portefeuille x de manière à obtenir le meilleur rendement possible dans le pire des cas.

Après avoir résolu (1), une stratégie d'investissement optimale est obtenue ainsi que le rendement optimal correspondant . Bien que la solution ait été obtenue en examinant uniquement les états de marché possibles, la théorie des scénarios nous indique que la solution est robuste jusqu'à un certain niveau , c'est-à-dire que le rendement sera atteint avec probabilité pour d'autres états de marché.

En finance quantitative, l’approche du pire des cas peut être trop conservatrice. Une alternative consiste à écarter certaines situations inhabituelles pour réduire le pessimisme ; de plus, l’optimisation des scénarios peut être appliquée à d’autres mesures de risque, notamment la CVaR (Conditional Value at Risk), ce qui ajoute à la flexibilité de son utilisation.

Les domaines d'application comprennent : la prédiction , la théorie des systèmes , l'analyse de régression ( en particulier les modèles de prédiction d'intervalle ), la science actuarielle , le contrôle optimal , les mathématiques financières , l'apprentissage automatique , la prise de décision , la chaîne d'approvisionnement et la gestion .