Module semi-simple

En mathématiques , en particulier dans le domaine de l'algèbre abstraite connu sous le nom de théorie des modules , un module semi-simple ou module complètement réductible est un type de module qui peut être compris facilement à partir de ses parties. Un anneau qui est un module semi-simple sur lui-même est appelé anneau semi-simple artinien . Certains anneaux importants, tels que les anneaux de groupes finis sur des corps de caractéristique nulle , sont des anneaux semi-simples. Un anneau artinien est d'abord compris via son plus grand quotient semi-simple. La structure des anneaux semi-simples artiniens est bien comprise par le théorème d'Artin-Wedderburn , qui présente ces anneaux comme des produits directs finis d' anneaux matriciels .

Pour un analogue de la théorie des groupes de la même notion, voir Représentation semi-simple .

Un module sur un anneau (pas nécessairement commutatif) est dit semi-simple (ou complètement réductible ) s'il est la somme directe de sous-modules simples (irréductibles).

Pour un module M , les équivalents suivants sont :

1. M est semi-simple, c'est-à-dire une somme directe de modules irréductibles.
2. M est la somme de ses sous-modules irréductibles.
3. Tout sous-module de M est un sommande direct : pour tout sous-module N de M , il existe un complément P tel que M = N ⊕ P .

Pour la preuve des équivalences, voir Représentation semi-simple § Caractérisations équivalentes .

L'exemple le plus élémentaire d'un module semi-simple est un module sur un corps, c'est-à-dire un espace vectoriel . Par contre, l'anneau Z des entiers n'est pas un module semi-simple sur lui-même, puisque le sous-module 2 Z n'est pas une expression directe.

Semi-simple est plus fort que complètement décomposable , qui est une somme directe de sous-modules indécomposables .

Soit A une algèbre sur un corps K . Alors un module à gauche M sur A est dit absolument semi-simple si, pour toute extension de corps F de K , F ⊗ _K M est un module semi-simple sur F ⊗ _K A .

• Si M est semi-simple et N est un sous-module , alors N et M / N sont également semi-simples.
• Une somme directe arbitraire de modules semi-simples est semi-simple.
• Un module M est finiment généré et semi-simple si et seulement s'il est artinien et que son radical est nul.

• Un module semi-simple M sur un anneau R peut aussi être considéré comme un homomorphisme d'anneau de R dans l'anneau des endomorphismes du groupe abélien de M. L'image de cet homomorphisme est un anneau semi-primitif , et tout anneau semi-primitif est isomorphe à une telle image.
• L' anneau d'endomorphismes d'un module semi-simple n'est pas seulement semi-primitif, mais aussi régulier de von Neumann .

Un anneau est dit semi-simple (à gauche) s'il est semi-simple en tant que module gauche sur lui-même. Étonnamment, un anneau semi-simple à gauche est aussi semi-simple à droite et vice versa. La distinction gauche/droite est donc inutile, et on peut parler d'anneaux semi-simples sans ambiguïté.

Un anneau semi-simple peut être caractérisé en termes d' algèbre homologique : à savoir, un anneau R est semi-simple si et seulement si une séquence exacte courte de modules R gauches (ou droits) se décompose. C'est-à-dire, pour une séquence exacte courte

il existe s : C → B tel que la composition g ∘ s : C → C soit l'identité. L'application s est appelée section. Il en résulte que

ou en termes plus exacts

En particulier, tout module sur un anneau semi-simple est injectif et projectif . Comme « projectif » implique « plat », un anneau semi-simple est un anneau régulier de von Neumann .

Les anneaux semi-simples présentent un intérêt particulier pour les algébristes. Par exemple, si l'anneau de base R est semi-simple, alors tous les R -modules seront automatiquement semi-simples. De plus, tout R -module simple (gauche) est isomorphe à un idéal gauche minimal de R , c'est-à-dire que R est un anneau de Kasch gauche .

Les anneaux semi-simples sont à la fois artiniens et noéthériens . D'après les propriétés ci-dessus, un anneau est semi-simple si et seulement s'il est artinien et que son radical de Jacobson est nul.

Si un anneau semi-simple artinien contient un corps comme sous-anneau central , il est appelé algèbre semi-simple .

• Pour un anneau commutatif , les quatre propriétés suivantes sont équivalentes : être un anneau semi-simple ; être artinien et réduit ; être un anneau noethérien réduit de dimension Krull 0 ; et être isomorphe à un produit direct fini de corps.
• Si K est un corps et G un groupe fini d'ordre n , alors l' anneau de groupes K [ G ] est semi-simple si et seulement si la caractéristique de K ne divise pas n . C'est le théorème de Maschke , un résultat important en théorie des représentations de groupes .
• D'après le théorème de Wedderburn-Artin , un anneau unitaire R est semi-simple si et seulement s'il est (isomorphe à) M _{n 1} ( D ₁ ) × M _{n 2} ( D ₂ ) × ... × M _{n r} ( D _r ) , où chaque D _i est un anneau de division et chaque n _i est un entier positif, et M _n ( D ) désigne l'anneau des matrices n x n avec des entrées dans D .
• Un exemple d'anneau semi-simple non unitaire est M _∞ ( K ), les matrices finies en lignes, finies en colonnes et infinies sur un corps K .

Il faut se méfier du fait que malgré la terminologie, tous les anneaux simples ne sont pas semi-simples . Le problème est que l'anneau peut être « trop grand », c'est-à-dire pas artinien (gauche/droite). En fait, si R est un anneau simple avec un idéal gauche/droit minimal, alors R est semi-simple.

Des exemples classiques d'anneaux simples, mais pas semi-simples, sont les algèbres de Weyl , telles que la Q -algèbre

qui est un domaine non commutatif simple . Ces exemples et bien d'autres intéressants sont discutés plus en détail dans plusieurs textes sur la théorie des anneaux non commutatifs, y compris le chapitre 3 du texte de Lam, dans lequel ils sont décrits comme des anneaux simples non artiniens. La théorie des modules pour les algèbres de Weyl est bien étudiée et diffère considérablement de celle des anneaux semi-simples.

Un anneau est dit semi-simple de Jacobson (ou J-semi-simple ou semi-primitif ) si l'intersection des idéaux maximaux à gauche est nulle, c'est-à-dire si le radical de Jacobson est nul. Tout anneau semi-simple en tant que module sur lui-même a un radical de Jacobson nul, mais tout anneau ayant un radical de Jacobson nul n'est pas semi-simple en tant que module sur lui-même. Un anneau J-semi-simple est semi-simple si et seulement s'il est un anneau artinien , donc les anneaux semi-simples sont souvent appelés anneaux semi-simples artiniens pour éviter toute confusion.

Par exemple, l'anneau des entiers, Z , est J-semisimple, mais pas artinien semisimple.