Caractéristique (algèbre)

En mathématiques , la caractéristique d'un anneau , souvent notée , est définie comme le plus petit nombre positif d'éléments de l' élément neutre multiplicatif ( ). Si un tel nombre n'existe pas, on dit que l'anneau est de caractéristique nulle.

C'est-à-dire que est le plus petit nombre positif tel que :

{\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{ ext{ summands}}}=0 <semantics><mrow><mstyle><munder><mrow><munder><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mo>⏟</mo></munder></mrow><mrow><mi>n</mi><mrow><mtext> assignations</mtext></mrow></mrow></munder><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{ ext{ summands}}}=0}</annotation></semantics></math></span><img src=

si un tel nombre existe, et tel que :

{\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{ ext{ summands}}}=0 <semantics><mrow><mstyle><munder><mrow><munder><mrow><mi>un</mi><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><mi>un</mi></mrow><mo>⏟</mo></munder></mrow><mrow><mi>n</mi><mrow><mtext> assignations</mtext></mrow></mrow></munder><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{ ext{ sommands}}}=0}</annotation></semantics></math></span><img src=

Pour tout élément de l'anneau (si existe ; sinon, zéro). Cette définition est équivalente pour un anneau, du fait de la distributivité . Pour les anneaux non unitaires, la première définition n'a pas de sens, et la seconde est généralement utilisée.

Les entiers , les nombres rationnels et les nombres réels ont pour caractéristique 0.

Les entiers modulo n ont pour caractéristique n .

Chaque anneau booléen possède la caractéristique 2.

La caractéristique d'un corps est soit 0, soit un nombre premier .

Caractérisations équivalentes

La caractéristique d'un anneau est le nombre naturel ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mrow><mi>Z</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n\mathbb {Z} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Z} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>Z</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation></semantics></math><img src=$
La caractéristique est le nombre naturel ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>n</mi><mrow><mi>Z</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle mathbb {Z} / n mathbb {Z}}</annotation></semantics></math><img src=$
Lorsque les entiers non négatifs est le plus petit et telle que 1 = 0. Si aucune valeur « plus petite » (dans cet ordre) que Cet ordre partiel est approprié car, entre autres, char et , et aucun homomorphisme d'anneaux n'existe sauf si divise
La caractéristique d'un anneau est si et seulement si l'énoncé pour tout implique que est un multiple de .

Étui à bagues

Si et sont des anneaux et qu'il existe un homomorphisme d'anneaux , alors la caractéristique de divise celle de Ceci permet parfois d'exclure la possibilité de certains homomorphismes d'anneaux. Le seul anneau de caractéristique Si un anneau non trivial ne possède aucun diviseur de zéro non trivial , alors sa caractéristique est soit ${ displaystyle mathbb {Z} / n mathbb {Z </span referrerpolicy=$ L'ensemble des entiers modulo a pour caractéristique . Si est un sous-anneau de , alors et ont la même caractéristique. Par exemple, si est premier et est un polynôme irréductible à coefficients dans le corps ${\displaystyle \mathbb {F} _{p <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]/(q(X)) <mrow><mstyle><mrow><mi>C</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Z} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>Z</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {C} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>C</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${ displaystyle mathbb {Z} / n mathbb {Z </span referrerpolicy=$ Une -algèbre est équivalente à un anneau dont la caractéristique divise . Ceci est dû au fait que pour tout anneau il existe un homomorphisme d'anneaux. ${\displaystyle \mathbb {Z} o R <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>Z</mi></mrow><mo>→</mo><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle mathbb {Z} to R}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>n</mi><mrow><mi>Z</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle mathbb {Z} / n mathbb {Z}}</annotation></semantics></math><img src=$

Si un anneau commutatif tous éléments et , souvent ^erronée , « de » valable définit alors homomorphisme → R de Frobenius . Si est également un anneau intègre , l'homomorphisme est injectif .

Cas des champs

Comme mentionné précédemment, la caractéristique de tout corps est soit lorsque la caractéristique est possède un unique sous-corps minimal , également appelé corps premier . Ce sous-corps est isomorphe au corps des nombres rationnels. ${\displaystyle \mathbb {Q} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>Q</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}</annotation></semantics></math><img src=$

Corps de caractéristique zéro

Les corps de caractéristique zéro sont ceux qui possèdent un sous-corps isomorphe au corps ${\displaystyle \mathbb {Q} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>Q</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation></semantics></math><img src=$ des nombres rationnels . Les plus courants de ces corps sont les sous-corps du ${\displaystyle \mathbb {C} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>C</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation></semantics></math><img src=$ des nombres complexes ; cela inclut les réels ${\displaystyle \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$

Parmi les autres corps de caractéristique zéro, on trouve les corps p-adiques , largement utilisés en théorie des nombres.

Les corps des fractions rationnelles sur les entiers ou un corps de caractéristique nulle sont d'autres exemples courants.

Les corps ordonnés ont toujours une caractéristique nulle ; ils comprennent ${\displaystyle \mathbb {Q} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>Q</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} . <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} .}</annotation></semantics></math><img src=$

Champs de caractéristique première

Le corps fini a pour caractéristique .

Il existe des corps infinis de caractéristique première. Par exemple, le corps de toutes les fonctions rationnelles sur ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>p</mi><mrow><mi>Z</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>p</mi><mrow><mi>Z</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((T)) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>p</mi><mrow><mi>Z</mi></mrow><mo>(</mo><mo>(</mo><mi>T</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((T))}</annotation></semantics></math><img src=$

La taille de tout anneau fini de caractéristique première est une puissance de . Puisque dans ce cas, il contient ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>p</mi><mrow><mi>Z</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }</annotation></semantics></math><img src=$ ^''n'')^''m'' {{=}} ''p''^''nm''}}."}},"i":0}}] [ b ]