Matrice carrée

Le déterminant d' une matrice carrée est un nombre qui encode certaines propriétés de la matrice. Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Sa valeur absolue est égale à l'aire (en pouces carrés ) ou au volume (en pouces cubes ) de l'image du carré (ou du cube) unité, tandis que son signe correspond à l'orientation de l'application linéaire correspondante : le déterminant est positif si et seulement si l'orientation est conservée.

Le déterminant des matrices 2×2 est donné par : Le déterminant des matrices 3×3 fait intervenir 6 termes ( règle de Sarrus ). La formule de Leibniz, plus longue, généralise ces deux formules à toutes les dimensions.

Le déterminant d'un produit de matrices carrées est égal au produit de leurs déterminants : L'addition d'un multiple d'une ligne à une autre, ou d'un multiple d'une colonne à une autre, ne modifie pas le déterminant. L'échange de deux lignes ou de deux colonnes modifie le déterminant en le multipliant par −1. Grâce à ces opérations, toute matrice peut être transformée en une matrice triangulaire inférieure (ou supérieure), et pour de telles matrices, le déterminant est égal au produit des éléments de la diagonale principale ; ceci fournit une méthode pour calculer le déterminant de toute matrice. Enfin, le développement de Laplace exprime le déterminant en fonction des mineurs , c'est-à-dire des déterminants de matrices plus petites. Ce développement permet une définition récursive des déterminants (en prenant comme cas initial le déterminant d'une matrice 1×1, qui est son unique élément, ou même le déterminant d'une matrice 0×0, qui est égal à 1), qui s'avère équivalente à la formule de Leibniz. Les déterminants peuvent être utilisés pour résoudre des systèmes linéaires à l'aide de la règle de Cramer , où le produit des déterminants de deux matrices carrées liées est égal à la valeur de chacune des variables du système.