Fonction Tau (systèmes intégrables)

Les fonctions tau sont un élément important de la théorie mathématique moderne des systèmes intégrables et ont de nombreuses applications dans de nombreux autres domaines. Elles ont été introduites à l'origine par Ryogo Hirota dans son approche par méthode directe des équations de solitons , basée sur leur expression sous une forme bilinéaire équivalente.

Le terme fonction tau , ou fonction -, a été utilisé pour la première fois de manière systématique par Mikio Sato et ses étudiants dans le contexte spécifique de l' équation de Kadomtsev–Petviashvili (ou KP) et des hiérarchies intégrables associées . C'est un ingrédient central de la théorie des solitons . Dans ce cadre, étant donné toute fonction - satisfaisant un système d'équations bilinéaires de type Hirota (voir § Relation résiduelle bilinéaire de Hirota pour les fonctions tau KP ci-dessous), les solutions correspondantes des équations de la hiérarchie intégrable sont explicitement exprimables en termes de celle-ci et de ses dérivées logarithmiques jusqu'à un ordre fini. Les fonctions Tau apparaissent également comme fonctions de partition de modèles de matrices dans la théorie spectrale des matrices aléatoires , et peuvent également servir de fonctions génératrices , au sens de la combinatoire et de la géométrie énumérative , en particulier en relation avec les espaces de modules des surfaces de Riemann , et l'énumération des revêtements ramifiés , ou nombres dits de Hurwitz .

Il existe deux notions de fonctions, toutes deux introduites par l' école de Sato . La première est celle des fonctions isospectrales de type Sato – Segal pour les hiérarchies intégrables, telles que la hiérarchie KP, qui sont paramétrées par des opérateurs linéaires satisfaisant des équations de déformation isospectrale de type Lax . La seconde est celle des fonctions isomonodromiques .

Selon l'application spécifique, une fonction peut être : 1) une fonction analytique d'un nombre fini ou infini de variables indépendantes de flux commutables ou de paramètres de déformation ; 2) une fonction discrète d'un nombre fini ou infini de variables dénombrables ; 3) un développement formel de séries entières dans un nombre fini ou infini de variables de développement, qui n'ont pas besoin d'avoir de domaine de convergence, mais servent de fonction génératrice pour certains invariants énumératifs apparaissant comme les coefficients de la série ; 4) un déterminant fini ou infini (Fredholm) dont les éléments sont soit des fonctions polynomiales ou quasi-polynomiales spécifiques, soit des intégrales paramétriques et leurs dérivées ; 5) le Pfaffien d'une matrice antisymétrique (de dimension finie ou infinie) avec des éléments également de type polynomial ou quasi-polynomial. Des exemples de tous ces types sont donnés ci-dessous.

Dans l' approche Hamilton–Jacobi des systèmes hamiltoniens intégrables de Liouville , la fonction principale de Hamilton , évaluée sur les surfaces de niveau d'un ensemble complet d' invariants commutants de Poisson , joue un rôle similaire à la fonction , servant à la fois de fonction génératrice pour la transformation canonique en coordonnées canoniques linéarisantes et, lorsqu'elle est évaluée sur des ensembles de niveaux simultanés d'un ensemble complet d'invariants commutants de Poisson, de solution complète de l' équation de Hamilton–Jacobi .

Une fonction de type isospectral est définie comme une solution des équations bilinéaires de Hirota (voir § Relation résiduelle bilinéaire de Hirota pour les fonctions tau KP ci-dessous), à partir de laquelle l'opérateur linéaire subissant une évolution isospectrale peut être reconstruit de manière unique. Géométriquement, au sens de Sato et Segal -Wilson , c'est la valeur du déterminant d'un opérateur intégral de Fredholm , interprété comme la projection orthogonale d'un élément d'une variété de Grassmann convenablement définie (de dimension infinie) sur l' origine , lorsque cet élément évolue sous l'action exponentielle linéaire d'un sous-groupe abélien maximal du groupe linéaire général. Elle apparaît typiquement comme une fonction de partition , au sens de la mécanique statistique , de la mécanique quantique à N corps ou de la théorie quantique des champs , lorsque la mesure sous-jacente subit une déformation exponentielle linéaire.

Les fonctions isomonodromiques pour les systèmes linéaires de type fuchsien sont définies ci-dessous dans le § Systèmes isomonodromiques fuchsiens. Équations de Schlesinger. Pour le cas plus général des équations différentielles ordinaires linéaires à coefficients rationnels, y compris les singularités irrégulières, elles sont développées dans la référence.

Une fonction KP ( Kadomtsev–Petviashvili ) est une fonction d'une collection infinie de variables (appelées variables de flux KP ) qui satisfait l'équation résiduelle formelle bilinéaire

de manière identique dans les variables, où est le coefficient du développement formel de Laurent résultant du développement de tous les facteurs sous forme de série de Laurent dans , et

Comme expliqué ci-dessous dans la section § Fonction formelle de Baker-Akhiezer et hiérarchie KP, chaque fonction de ce type détermine un ensemble de solutions aux équations de la hiérarchie KP.

Si est une fonction KP satisfaisant l'équation résiduelle de Hirota ( 1 ) et nous identifions les trois premières variables de flux comme

il s'ensuit que la fonction

satisfait l' équation aux dérivées partielles non linéaire de dimension (spatiale) (temporelle)

connue sous le nom d' équation de Kadomtsev-Petviashvili (KP) . Cette équation joue un rôle important en physique des plasmas et dans les vagues océaniques en eaux peu profondes.

En prenant d'autres dérivées logarithmiques de , on obtient une suite infinie de fonctions qui satisfont d'autres systèmes d'EDP autonomes non linéaires, chacun impliquant des dérivées partielles d'ordre fini par rapport à un nombre fini de paramètres de flux KP . Celles-ci sont collectivement connues sous le nom de hiérarchie KP .

Si nous définissons la fonction (formelle) de Baker-Akhiezer par la formule de Sato

et l'étendre comme une série formelle dans les puissances de la variable

cela satisfait une séquence infinie d'équations d'évolution compatibles

où est un opérateur différentiel ordinaire linéaire de degré dans la variable , avec des coefficients qui sont des fonctions des variables de flux , définies comme suit

où est l' opérateur pseudo-différentiel formel

avec ,

est l' opérateur d'onde et désigne la projection sur la partie de contenant des puissances purement non négatives de ; c'est-à-dire la partie opérateur différentiel de .

L'opérateur pseudodifférentiel satisfait le système infini d' équations de déformation isospectrale

et les conditions de compatibilité pour les deux systèmes ( 3 ) et ( 4 ) sont

Il s'agit d'un système infini compatible d'équations aux dérivées partielles non linéaires, connu sous le nom de hiérarchie KP (Kadomtsev-Petviashvili) , pour les fonctions , par rapport à l'ensemble des variables indépendantes, dont chacune ne contient qu'un nombre fini de , et les dérivées uniquement par rapport aux trois variables indépendantes . Le premier cas non trivial de celles-ci est l' équation de Kadomtsev-Petviashvili ( 2 ).

Ainsi, chaque fonction KP fournit une solution, au moins au sens formel, de ce système infini d'équations aux dérivées partielles non linéaires.

Considérons le système surdéterminé d'équations aux dérivées partielles matricielles du premier ordre

où sont un ensemble de matrices sans trace, un ensemble de paramètres complexes, une variable complexe et est une fonction matricielle inversible de et . Ce sont les conditions nécessaires et suffisantes pour la représentation monodromique basée sur le groupe fondamental de la sphère de Riemann perforée aux points correspondant à l'opérateur dérivé covariant rationnel

être indépendant des paramètres ; c'est-à-dire que les changements de ces paramètres induisent une déformation isomonodromique . Les conditions de compatibilité pour ce système sont les équations de Schlesinger

Définition des fonctions

les équations de Schlesinger ( 8 ) impliquent que la forme différentielle

sur l'espace des paramètres est fermé :

et donc localement exacte. Il existe donc, au moins localement, une fonction des paramètres, définie dans une constante multiplicative, telle que

La fonction est appelée fonction isomonodromique associée à la solution fondamentale du système ( 6 ), ( 7 ).

Définition des crochets de Lie et de Poisson sur l'espace des -uplets de matrices :

et en considérant les fonctions définies dans ( 9 ) comme des fonctions hamiltoniennes sur cet espace de Poisson, les équations de Schlesinger ( 8 ) peuvent être exprimées sous forme hamiltonienne comme

pour toute fonction différentiable .

Le cas non trivial le plus simple des équations de Schlesinger est lorsque et . En appliquant une transformation de Möbius à la variable , deux des pôles finis peuvent être choisis pour être à et , et le troisième considéré comme la variable indépendante. En posant la somme des matrices apparaissant dans ( 6 ), qui est un invariant des équations de Schlesinger, égale à une constante, et en quotient par son stabilisateur sous conjugaison, nous obtenons un système équivalent au cas le plus générique des six équations transcendantes de Painlevé , pour lesquelles de nombreuses classes détaillées de solutions explicites sont connues.

Pour les systèmes non fuchsiens, avec des pôles d'ordre supérieur, les données de monodromie généralisées incluent les matrices de Stokes et les matrices de connexion , et il existe d'autres paramètres de déformation isomonodromique associés aux asymptotiques locales, mais les fonctions isomonodromiques peuvent être définies de manière similaire, en utilisant des différentiels sur l'espace des paramètres étendu. Il existe de même une structure de crochet de Poisson sur l'espace des fonctions à valeurs matricielles rationnelles du paramètre spectral et des hamiltoniens invariants spectraux correspondants qui génèrent la dynamique de déformation isomonodromique.

En prenant toutes les confluences possibles des pôles apparaissant dans ( 6 ) pour le cas et , y compris celle en , et en effectuant les réductions correspondantes, nous obtenons toutes les autres instances des transcendantes de Painlevé , pour lesquelles de nombreuses solutions spéciales sont également connues.

L' espace de Fock fermionique est un espace produit extérieur semi-infini

défini sur un espace de Hilbert (séparable) avec des éléments de base et des éléments de base duaux pour .

Les opérateurs de création et d'annihilation fermioniques libres agissent comme des endomorphismes via la multiplication extérieure et intérieure par les éléments de base

et satisfaire les relations anti-commutation canoniques

Ceux-ci génèrent la représentation fermionique standard de l'algèbre de Clifford sur la somme directe , correspondant au produit scalaire

avec l'espace de Fock comme module irréductible. On note l'état du vide, dans le secteur de charge fermionique nulle , comme

qui correspond à la mer d'états de Dirac le long du réseau d'entiers réels dans laquelle tous les emplacements d'entiers négatifs sont occupés et tous les emplacements non négatifs sont vides.

Ceci est annihilé par les opérateurs suivants

L'état du vide de l'espace de Fock fermionique dual, noté , est annihilé par les opérateurs adjoints, agissant à gauche

L'ordre normal d'un produit d'opérateurs linéaires (c'est-à-dire des combinaisons linéaires finies ou infinies d'opérateurs de création et d'annihilation) est défini de telle sorte que sa valeur d'espérance mathématique (VEV) s'annule.

En particulier, pour un produit d'une paire d'opérateurs linéaires, on a

L' opérateur de charge fermionique est défini comme

Le sous-espace est l'espace propre de constitué de tous les vecteurs propres avec une valeur propre

La base orthonormée standard pour le secteur de charge fermionique nulle est étiquetée par des partitions entières , où est une séquence faiblement décroissante d' entiers positifs, qui peut être représentée de manière équivalente par un diagramme de Young , comme illustré ici pour la partition .

Une notation alternative pour une partition est constituée des indices de Frobenius , où désigne la longueur du bras ; c'est-à-dire le nombre de cases dans le diagramme de Young à droite de la 'ème case diagonale, désigne la longueur de la jambe , c'est-à-dire le nombre de cases dans le diagramme de Young en dessous de la 'ème case diagonale, pour , où est le rang de Frobenius , qui est le nombre d'éléments le long de la diagonale principale.

L'élément de base est alors donné en agissant sur le vide avec un produit de paires d'opérateurs de création et d'annihilation, étiquetés par les indices de Frobenius

Les entiers indiquent, par rapport à la mer de Dirac, les sites occupés non négatifs sur le réseau entier tandis que les entiers négatifs indiquent les sites inoccupés entiers négatifs. Le diagramme correspondant, constitué d'un nombre infini de sites occupés et inoccupés sur le réseau entier qui sont une perturbation finie de la mer de Dirac, est appelé diagramme Maya .

Le cas de la partition nulle (emptyset) donne l'état de vide, et la base duale est définie par

Toute fonction KP peut être exprimée comme une somme

où sont les variables de flux KP, est la fonction de Schur correspondant à la partition , vue comme une fonction des variables de somme de puissance normalisées

en termes d'une séquence auxiliaire (finie ou infinie) de variables et les coefficients constants peuvent être considérés comme les coordonnées de Plücker d'un élément du Grassmannien de dimension infinie constitué de l'orbite, sous l'action du groupe linéaire général , du sous-espace de l'espace de Hilbert .

Cela correspond, selon la correspondance de Bose-Fermi , à un élément décomposable

de l'espace de Fock qui, à projectivisation près, est l'image de l'élément grassmannien sous la carte de Plücker

où est une base pour le sous-espace et désigne la projectivisation d'un élément de .

Les coordonnées de Plücker satisfont un ensemble infini de relations bilinéaires, les relations de Plücker , définissant l'image de l' immersion de Plücker dans la projectivisation de l'espace de Fock fermionique, qui sont équivalentes à la relation résiduelle bilinéaire de Hirota ( 1 ).

Si pour un élément de groupe avec une représentation fermionique , alors la fonction peut être exprimée comme la valeur attendue de l'état de vide fermionique (VEV) :

où

est le sous-groupe abélien de qui génère les flux KP, et

sont les composants « actuels ».

Comme le montre l'équation ( 9 ), toute fonction KP peut être représentée (au moins formellement) comme une combinaison linéaire de fonctions de Schur , dans lesquelles les coefficients satisfont l'ensemble bilinéaire des relations de Plucker correspondant à un élément d'une variété de Grassmann infinie (ou finie). En fait, la classe la plus simple de fonctions tau (polynomiales) est constituée des fonctions de Schur elles-mêmes, qui correspondent à l'élément spécial de la variété de Grassmann dont l'image sous l' application de Plücker est . $|\lambda >$}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f361d0778b6833ae40d19781e215eb92c749ed2">

Si nous choisissons des constantes complexes avec toutes distinctes, et définissons les fonctions

nous arrivons à la formule du déterminant wronskien

ce qui donne la fonction soliton générale .

Soit une surface de Riemann compacte de genre et fixons une base d'homologie canonique de avec des nombres d'intersection

Soit une base pour l'espace des différentielles holomorphes satisfaisant les conditions de normalisation standard

où est la matrice de Riemann des périodes. La matrice appartient à la moitié supérieure de l'espace de Siegel

La fonction de Riemann sur correspondant à la matrice de période est définie comme étant

Choisissez un point , un paramètre local dans un voisinage de avec et un diviseur positif de degré

Pour tout entier positif soit l'unique différentielle méromorphe de seconde espèce caractérisée par les conditions suivantes :

• La seule singularité de est un pôle d'ordre à résidu évanouissant.
• L'expansion d' environ est

On note par le vecteur des -cycles de :

Indique l'image de sous la carte d'Abel

avec un point de base arbitraire .

Alors ce qui suit est une fonction KP :

Soit la mesure de Lebesgue sur l' espace dimensionnel des matrices hermitiennes complexes. Soit une fonction de densité intégrable invariante par conjugaison

Définir une famille de mesures de déformation

pour les petits et les grands

être la fonction de partition pour ce modèle de matrice aléatoire . Satisfait alors l'équation résiduelle bilinéaire de Hirota ( 1 ), et est donc une fonction de la hiérarchie KP.

Soit une suite (doublement) infinie de nombres complexes. Pour toute partition entière, on définit le coefficient du produit de contenu

où le produit est sur toutes les paires d'entiers positifs qui correspondent aux cases du diagramme de Young de la partition , vues comme des positions d'éléments de matrice de la matrice correspondante. Ensuite, pour chaque paire de suites infinies et de variables complexes, vues comme des sommes de puissance (normalisées) de la suite infinie de variables auxiliaires

défini par :

la fonction

est une double fonction KP , à la fois dans les variables et , connue sous le nom de fonction de type hypergéométrique .

En particulier, choisir

pour un petit paramètre , désignant le coefficient du produit de contenu correspondant comme et définissant

la fonction résultante peut être étendue de manière équivalente comme

où sont les nombres simples de Hurwitz , qui sont multipliés par le nombre de façons dont un élément du groupe symétrique en éléments, avec des longueurs de cycle égales aux parties de la partition , peut être factorisé comme un produit de -cycles

et

est la fonction symétrique somme de puissance. L'équation ( 12 ) montre ainsi que la fonction hypergéométrique KP (formelle) ( 11 ) correspondant aux coefficients du produit de contenu est une fonction génératrice, au sens combinatoire, pour les nombres de Hurwitz simples.