Conjugaison topologique

En mathématiques , deux fonctions sont dites topologiquement conjuguées s'il existe un homéomorphisme qui conjugue l'une dans l'autre. La conjugaison topologique et l'équivalence topologique des flots apparentés mais distincts sont importantes dans l'étude des fonctions itérées et plus généralement des systèmes dynamiques , car, si la dynamique d'une fonction itérative peut être déterminée, alors celle d'une fonction topologiquement conjuguée en découle trivialement.

Pour illustrer cela directement : supposons que et soient des fonctions itérées, et qu'il existe un homéomorphisme tel que ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle h <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>h</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

de sorte que et sont topologiquement conjugués. Alors on doit avoir ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h, <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>g</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>h</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∘</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>∘</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et donc les systèmes itérés sont également topologiquement conjugués. Ici, désigne la composition de fonctions . ${\displaystyle \circ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>∘</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \circ }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Définition

${\displaystyle f\colon X o X,g\colon Y o Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>→</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>Y</mi> <mo>→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\deux points X\à X,g\deux points Y\à Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle h\colon Y o X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> <mo>:</mo> <mi>Y</mi> <mo>→</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h\colon Y\à X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ topologiquement semi-conjugué à signifie, par définition, que est une surjection telle que . ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle h <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f\circ h=h\circ g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mo>∘</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\circ h=h\circ g}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ topologiquement conjugué signifie, par définition, qu'ils sont topologiquement semi-conjugués et est en outre injectif , puis bijectif , et son inverse est également continu ; c'est -à-dire qu'il est un homéomorphisme ; en outre, il est appelé une conjugaison topologique entre et . ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle h <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle h <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle h <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Flux

De même, sur , et sur sont des flux , avec , et comme ci-dessus. ${\displaystyle \phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \psi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \psi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X,Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X,Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle h\colon Y o X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> <mo>:</mo> <mi>Y</mi> <mo>→</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h\colon Y\à X}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ topologiquement semi-conjugué à signifie, par définition, qu'il s'agit d'une surjection telle que , pour chaque , . ${\displaystyle \psi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \psi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle h <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \phi (h(y),t)=h\circ \psi (y,t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mo>∘</mo> <mi>ψ</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi(h(y),t)=h\circ \psi(y,t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle y\in Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>et</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle y\dans Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Exemples

La carte logistique et la carte des tentes sont topologiquement conjuguées.
La carte logistique de la hauteur unitaire et la carte de Bernoulli sont topologiquement conjuguées.
Pour certaines valeurs dans l'espace des paramètres, l' application de Hénon restreinte à son ensemble de Julia est topologiquement conjuguée ou semi-conjuguée à l'application de décalage sur l'espace des séquences bilatérales en deux symboles.

Discussion

La conjugaison topologique – contrairement à la semi-conjugaison – définit une relation d'équivalence dans l'espace de toutes les surjections continues d'un espace topologique à lui-même, en déclarant que et sont liées si elles sont topologiquement conjuguées. Cette relation d'équivalence est très utile dans la théorie des systèmes dynamiques , car chaque classe contient toutes les fonctions qui partagent la même dynamique du point de vue topologique. Par exemple, les orbites de sont mappées sur les orbites homéomorphes de par la conjugaison. L'écriture rend ce fait évident : . Parlant de manière informelle, la conjugaison topologique est un « changement de coordonnées » au sens topologique. ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>h</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>g</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>h</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∘</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>∘</mo> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cependant, la définition analogue pour les flux est quelque peu restrictive. En fait, nous exigeons que les cartes et soient topologiquement conjuguées pour chaque , ce qui nécessite plus que simplement que les orbites de soient mappées sur les orbites de de manière homéomorphe. Cela motive la définition de l'équivalence topologique , qui partitionne également l'ensemble de tous les flux de en classes de flux partageant la même dynamique, toujours du point de vue topologique. ${\displaystyle \phi (\cdot ,t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> <mo>(</mo> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi (\cdot ,t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \psi (\cdot ,t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ψ</mi> <mo>(</mo> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \psi (\cdot ,t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle t <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \psi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \psi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Equivalence topologique

On dit que deux flots et sont topologiquement équivalents , s'il existe un homéomorphisme , faisant correspondre les orbites de aux orbites de de manière homéomorphe, et en préservant l'orientation des orbites. En d'autres termes, en désignant une orbite, on a ${\displaystyle \phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \psi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \psi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle h:Y o X <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> <mo>:</mo> <mi>Y</mi> <mo>→</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h:Y\à X}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \psi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \psi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {O <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mi>O</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { mathcal {O}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle h({\mathcal {O}}(y,\psi ))=\{h\circ \psi (y,t):t\in \mathbb {R} \}=\{\phi (h(y),t):t\in \mathbb {R} \}={\mathcal {O}}(h(y),\phi ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mi>O</mi> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>,</mo> <mi>ψ</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mi>h</mi> <mo>∘</mo> <mi>ψ</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>:</mo> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>:</mo> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mi>O</mi> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h({\mathcal {O}}(y,\psi ))=\{h\circ \psi (y,t):t\in \mathbb {R} \}=\{\phi (h (y),t):t\in \mathbb {R} \}={\mathcal {O}}(h(y),\phi )}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

pour chaque . De plus, il faut aligner l'écoulement du temps : pour chaque , il existe un tel que, si , et si s est tel que , alors . ${\displaystyle y\in Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>et</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle y\dans Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle y\in Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>et</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle y\dans Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ $0 δ > 0$ 0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9"> ${\displaystyle 0<\vert s\vert <t<\delta <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mo>|</mo> <mi>m</mi> <mo>|</mo> <mo><</mo> <mi>t</mi> <mo><</mo> <mi>δ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0<\vert s\vert <t<\delta }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \phi (h(y),s)=h\circ \psi (y,t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mo>∘</mo> <mi>ψ</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi(h(y),s)=h\circ \psi(y,t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ $0 m > 0$ 0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76beea94b6662bd490c61c0628dddd8a8cd35538">

Dans l'ensemble, l'équivalence topologique est un critère d'équivalence plus faible que la conjugaison topologique, car elle ne nécessite pas que le terme temporel soit mappé avec les orbites et leur orientation. Un exemple de système topologiquement équivalent mais non conjugué topologiquement serait la classe non hyperbolique des systèmes bidimensionnels d'équations différentielles qui ont des orbites fermées. Alors que les orbites peuvent être transformées les unes par rapport aux autres pour se chevaucher au sens spatial, les périodes de tels systèmes ne peuvent pas être mises en correspondance de manière analogue, ce qui ne satisfait pas au critère de conjugaison topologique tout en satisfaisant au critère d'équivalence topologique.

Equivalence lisse et orbitale

D'autres critères d'équivalence peuvent être étudiés si les flux, et , proviennent d'équations différentielles. ${\displaystyle \phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \psi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \psi }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Deux systèmes dynamiques définis par les équations différentielles et sont dits lisses équivalents s'il existe un difféomorphisme , tel que ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\dot {y}}=g(y) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>et</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { dot {y}} = g (y)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle h:X o Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h:X\à Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle f(x)=M^{-1}(x)g(h(x))\quad { ext{where}}\quad M(x)={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mrow> <mtext>où</mtext> </mrow> <mspace></mspace> <mi>M</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <mi>h</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(x)=M^{-1}(x)g(h(x))\quad { ext{où}}\quad M(x)={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Dans ce cas, les systèmes dynamiques peuvent être transformés les uns dans les autres par la transformation de coordonnées, . ${\displaystyle y=h(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>et</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle y=h(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Deux systèmes dynamiques sur le même espace d'état, définis par et , sont dits orbitalement équivalents s'il existe une fonction positive, , telle que . Les systèmes orbitalement équivalents ne diffèrent que par la paramétrisation temporelle. ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\dot {x}}=g(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\dot {x}}=g(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mu :X o \mathbb {R} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>μ</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>→</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mu :X o \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g(x)=\mu (x)f(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>μ</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g(x)=\mu(x)f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les systèmes qui sont équivalents de manière lisse ou équivalents orbitalement sont également équivalents topologiquement. Cependant, l'inverse n'est pas vrai. Par exemple, considérons des systèmes linéaires en deux dimensions de la forme . Si la matrice, , a deux valeurs propres réelles positives, le système a un nœud instable ; si la matrice a deux valeurs propres complexes avec une partie réelle positive, le système a un foyer instable (ou spirale). Les nœuds et les foyers sont équivalents topologiquement mais pas équivalents orbitalement ou équivalents de manière lisse, car leurs valeurs propres sont différentes (notez que les Jacobiennes de deux systèmes localement équivalents de manière lisse doivent être similaires , donc leurs valeurs propres, ainsi que leurs multiplicités algébriques et géométriques , doivent être égales). ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\dot {x}}=Axe}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Généralisations de la conjugaison topologique dynamique

Il existe deux extensions rapportées du concept de conjugaison topologique dynamique :

Systèmes analogues définis comme des systèmes dynamiques isomorphes
Systèmes dynamiques adjoints définis via des foncteurs adjoints et des équivalences naturelles en dynamique catégorielle.