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En statistique , une distribution de probabilité unimodale, ou distribution unimodale, est une distribution de probabilité qui ne présente qu'un seul pic. Le terme « mode », dans ce contexte, désigne n'importe quel pic de la distribution, et non pas seulement la définition stricte du mode telle qu'elle est habituellement employée en statistique.
Si la fonction de distribution ne présente qu'un seul mode, elle est dite « unimodale ». Si elle en possède plusieurs, elle est « bimodale » (2), « trimodale » (3), etc., ou plus généralement « multimodale ». La figure 1 illustre les distributions normales , qui sont unimodales. Parmi les autres exemples de distributions unimodales , on peut citer la distribution de Cauchy , la distribution de Student , la distribution du χ² et la distribution exponentielle . Parmi les distributions discrètes, les distributions binomiale et de Poisson peuvent être considérées comme unimodales, bien que pour certains paramètres, deux valeurs adjacentes puissent avoir la même probabilité.
Les figures 2 et 3 illustrent des distributions bimodales.
Autres définitions
Il existe également d'autres définitions de l'unimodalité dans les fonctions de distribution.
Dans les distributions continues, l'unimodalité peut être définie par le comportement de la fonction de répartition (ou fonction de distribution cumulative ). Si la fonction de répartition est convexe pour x < m et concave pour x > m , alors la distribution est unimodale, m étant le mode. Notons que, selon cette définition, la distribution uniforme est unimodale , ainsi que toute autre distribution pour laquelle la distribution maximale est atteinte sur un intervalle de valeurs, comme la distribution trapézoïdale. Cette définition admet généralement une discontinuité au mode ; dans une distribution continue, la probabilité de chaque valeur est généralement nulle, tandis que cette définition autorise une probabilité non nulle, ou « atome de probabilité », au mode.
Les critères d’unimodalité peuvent également être définis par la fonction caractéristique de la distribution ou par sa transformée de Laplace-Stieltjes .
Une autre façon de définir une distribution discrète unimodale est par l'apparition de changements de signe dans la suite des différences des probabilités. Une distribution discrète avec une fonction de masse de probabilité , , est dite unimodale si la suite présente exactement un changement de signe (lorsque les zéros ne sont pas pris en compte).
Utilisations et résultats
L'unimodalité d'une distribution est importante car elle permet d'obtenir plusieurs résultats significatifs. Les inégalités présentées ci-dessous ne sont valides que pour les distributions unimodales. Il est donc essentiel de déterminer si un ensemble de données donné suit une distribution unimodale. Plusieurs tests d'unimodalité sont présentés dans l'article sur les distributions multimodales .
Inégalités
Inégalité Vysochanskij-Pétunine
Une autre inégalité est l' inégalité de Vysochanskij-Petunin , un raffinement de l' inégalité de Tchebychev . L'inégalité de Tchebychev garantit que, dans toute distribution de probabilité, « presque toutes » les valeurs sont « proches » de la moyenne. L'inégalité de Vysochanskij-Petunin affine cette propriété en accordant une plus grande précision aux valeurs, à condition que la fonction de distribution soit continue et unimodale. D'autres résultats ont été obtenus par Sellke et Sellke
Mode, médiane et moyenne
Gauss a également montré en 1823 que pour une distribution unimodale
et
où la médiane est ν , la moyenne est μ et ω est l' écart quadratique moyen par rapport au mode.
On peut démontrer, pour une distribution unimodale, que la médiane ν et la moyenne μ se situent à moins de (3/5) 1/2 ≈ 0,7746 écarts-types l'une de l'autre. En symboles,
où | . | est la valeur absolue .
En 2020, Bernard, Kazzi et Vanduffel ont généralisé l'inégalité précédente en dérivant la distance maximale entre la moyenne quantile symétrique et la moyenne,
La distance maximale est minimale lorsque la moyenne des quantiles symétriques est égale à , ce qui justifie le choix fréquent de la médiane comme estimateur robuste de la moyenne. De plus, lorsque , la borne est égale à , soit la distance maximale entre la médiane et la moyenne d'une distribution unimodale.
Une relation similaire existe entre la médiane et le mode θ : ils se situent à moins de 3 1/2 ≈ 1,732 écarts-types l'un de l'autre :
On peut également démontrer que la moyenne et le mode se situent à moins de 3,5 l' un de l'autre :
Asymétrie et aplatissement
Rohatgi et Szekely ont affirmé que l' asymétrie et le kurtosis d'une distribution unimodale sont liés par l'inégalité :
où κ représente le kurtosis et γ l'asymétrie. Klaassen, Mokveld et van Es ont montré que cela ne s'applique que dans certains cas, comme celui des distributions unimodales où le mode et la moyenne coïncident.
Ils ont dérivé une inégalité plus faible qui s'applique à toutes les distributions unimodales :
Cette limite est précise, car elle est atteinte par le mélange à poids égaux de la distribution uniforme sur [0,1] et de la distribution discrète en {0}.
fonction unimodale
Le terme « modal » s’appliquant aux ensembles de données et aux distributions de probabilité, et non aux fonctions en général , les définitions précédentes ne sont pas pertinentes. La définition d’« unimodal » a également été étendue aux fonctions de nombres réels .
Une définition courante est la suivante : une fonction f ( x ) est une fonction unimodale si, pour une certaine valeur m , elle est croissante pour x ≤ m et décroissante pour x ≥ m . Dans ce cas, la valeur maximale de f ( x ) est f ( m ) et il n’existe pas d’autres maxima locaux.
Démontrer l'unimodalité est souvent difficile. Une méthode consiste à utiliser la définition de cette propriété, mais elle ne convient qu'aux fonctions simples. Il existe une méthode générale basée sur les dérivées , mais malgré sa simplicité, elle n'est pas valable pour toutes les fonctions.
Parmi les exemples de fonctions unimodales, on peut citer les fonctions polynomiales quadratiques à coefficient quadratique négatif, les fonctions en forme de tente , et bien d'autres.
Ce qui précède est parfois lié àLa forte unimodale découle du fait que la monotonie impliquée estune forte monotonie. Une fonctionf(x) estfaiblement unimodales'il existe une valeurmpour laquelle elle est faiblement croissante pourx≤met faiblement décroissante pourx≥m. Dans ce cas, la valeur maximalede f(m) peut être atteinte pour un intervalle continu de valeurs dex. Un exemple de fonction faiblement unimodale qui n'est pas fortement unimodale est une ligne sur deux dutriangle de Pascal.
Selon le contexte, une fonction unimodale peut également désigner une fonction ne possédant qu'un seul minimum local, plutôt qu'un seul maximum. Par exemple, l'échantillonnage unimodal local , une méthode d'optimisation numérique, est souvent illustré par une telle fonction. On peut dire qu'une fonction unimodale, dans cette extension, est une fonction possédant un unique extremum local .
Une propriété importante des fonctions unimodales est que l'extremum peut être trouvé à l'aide d'algorithmes de recherche tels que la recherche par section dorée , la recherche ternaire ou l'interpolation parabolique successive .
Autres extensions
Une fonction f ( x ) est « S-unimodale » (souvent appelée « application S-unimodale ») si sa dérivée schwarzienne est négative pour tout , où est le point critique.
En géométrie algorithmique, si une fonction est unimodale, cela permet de concevoir des algorithmes efficaces pour trouver les extrema de la fonction.
Une définition plus générale, applicable à une fonction f ( X ) d'une variable vectorielle X, est que f est unimodale s'il existe une application bijective différentiable X = G ( Z ) telle que f ( G ( Z )) soit convexe. On souhaite généralement que G ( Z ) soit continûment différentiable et que sa matrice jacobienne soit non singulière.
Les fonctions quasi-convexes et les fonctions quasi-concaves étendent le concept d’unimodalité aux fonctions dont les arguments appartiennent à des espaces euclidiens de dimension supérieure .
Une fonction unimodale à valeurs réelles est également appelée suite unimodale. Un polynôme unimodal est un polynôme dont les coefficients forment une suite unimodale.