Problème de maximisation de l'utilité

La maximisation de l'utilité a été développée pour la première fois par les philosophes utilitaristes Jeremy Bentham et John Stuart Mill . En microéconomie , le problème de maximisation de l'utilité est le problème auquel sont confrontés les consommateurs : « Comment dois-je dépenser mon argent pour maximiser mon utilité ? » Il s'agit d'un type de problème de décision optimale . Il consiste à choisir la quantité de chaque bien ou service disponible à consommer, en tenant compte d'une contrainte sur la dépense totale (revenu), des prix des biens et de leurs préférences .

La maximisation de l'utilité est un concept important dans la théorie du consommateur car elle montre comment les consommateurs décident d'allouer leurs revenus. Les consommateurs étant modélisés comme étant rationnels , ils cherchent à tirer le meilleur parti possible de leurs revenus. Cependant, en raison de la rationalité limitée et d'autres biais, les consommateurs choisissent parfois des offres qui ne maximisent pas nécessairement leur utilité. L'offre de maximisation de l'utilité du consommateur n'est pas non plus définie et peut changer au fil du temps en fonction de ses préférences individuelles en matière de biens, des changements de prix et des augmentations ou diminutions de revenus.

Pour maximiser l'utilité, il existe un processus en quatre étapes de base pour dériver la demande du consommateur et trouver le pack maximisant l'utilité du consommateur en fonction des prix, des revenus et des préférences.

1) Vérifiez si la loi de Walras est respectée 2) « Rapport qualité-prix » 3) la contrainte budgétaire 4) Vérifiez la négativité

La loi de Walras stipule que si les préférences d'un consommateur sont complètes, monotones et transitives, alors la demande optimale se situera sur la droite budgétaire .

Pour qu'une représentation d'utilité existe, les préférences du consommateur doivent être complètes et transitives (conditions nécessaires).

L'exhaustivité des préférences indique que tous les lots de l'ensemble de consommation peuvent être comparés par le consommateur. Par exemple, si le consommateur a 3 lots A, B et C, alors :

A B, A C, B A, B C, C B, C A, A A, B B, C C. Par conséquent, le consommateur a des préférences complètes car il peut comparer chaque offre groupée.

La transitivité indique que les préférences individuelles sont cohérentes dans tous les groupes.

donc, si le consommateur préfère faiblement A à B (A B) et B C cela signifie que A C (A est faiblement préféré à C)

Pour qu'une relation de préférence soit monotone, l'augmentation de la quantité des deux biens devrait améliorer strictement la situation du consommateur (augmenter son utilité), et l'augmentation de la quantité d'un bien tout en maintenant la quantité de l'autre bien constante ne devrait pas aggraver la situation du consommateur (même utilité).

La préférence est monotone si et seulement si ;

1)

2)

3)

où > 0

Le rapport qualité-prix est un concept de maximisation de l'utilité qui fait référence au désir du consommateur d'obtenir le meilleur rapport qualité-prix. Si la loi de Walras est satisfaite, la solution optimale du consommateur se situe au point d'intersection de la ligne budgétaire et de la courbe d'indifférence optimale, c'est ce qu'on appelle la condition de tangence. Pour trouver ce point, il faut différencier la fonction d'utilité par rapport à x et y pour trouver les utilités marginales, puis diviser par les prix respectifs des biens.

Cela peut être résolu pour trouver la quantité optimale de bien x ou de bien y.

La configuration de base de la contrainte budgétaire du consommateur est la suivante :

La loi de Walras étant satisfaite :

La condition de tangence est ensuite substituée à celle-ci pour résoudre le problème de la quantité optimale de l’autre bien.

Il faut vérifier la négativité car le problème de maximisation de l'utilité peut donner une réponse où la demande optimale d'un bien est négative, ce qui en réalité n'est pas possible car cela se situe en dehors du domaine. Si la demande pour un bien est négative, le panier de consommation optimal sera celui où 0 de ce bien est consommé et tous les revenus sont dépensés pour l'autre bien (une solution d'angle). Voir la figure 1 pour un exemple lorsque la demande pour le bien x est négative.

Supposons l' ensemble de consommation du consommateur , ou l'énumération de tous les ensembles de consommation possibles qui pourraient être sélectionnés s'il y avait une contrainte budgétaire.

L'ensemble de consommation = (un ensemble de nombres réels positifs, le consommateur ne peut pas privilégier une quantité négative de produits).

Supposons également que le vecteur de prix ( p ) des n produits soit positif,

et que le revenu du consommateur est ; alors l'ensemble de tous les forfaits abordables, l' ensemble budgétaire est,

Le consommateur souhaite acheter le meilleur ensemble de produits à un prix abordable.

On suppose que le consommateur a une fonction d'utilité ordinale , appelée u . Il s'agit d'une fonction à valeur réelle dont le domaine est l'ensemble de tous les lots de produits, ou

Le choix optimal du consommateur est alors le paquet maximisant l'utilité de tous les paquets de l'ensemble budgétaire si alors la fonction de demande optimale du consommateur est :

Trouver est le problème de maximisation de l'utilité .

Si u est continue et qu'aucun bien n'est gratuit, alors existe, mais n'est pas nécessairement unique. Si les préférences du consommateur sont complètes, transitives et strictement convexes, alors la demande du consommateur contient un maximiseur unique pour toutes les valeurs des paramètres de prix et de richesse. Si cela est satisfait, alors on parle de fonction de demande marshallienne . Sinon, est à valeurs multiples et on parle de correspondance de demande marshallienne .

U = min {x, y}

Pour une fonction minimale avec des biens qui sont des compléments parfaits , les mêmes étapes ne peuvent pas être suivies pour trouver le paquet maximisant l'utilité car il s'agit d'une fonction non différentiable. Par conséquent, il faut faire appel à l'intuition. Le consommateur maximisera son utilité au point de rupture de la courbe d'indifférence la plus élevée qui coupe la ligne budgétaire où x = y. Il s'agit d'intuition, car le consommateur est rationnel et il n'y a aucune raison pour qu'il consomme davantage d'un bien et pas de l'autre bien car son utilité est prise au minimum des deux (il n'en tire aucun gain d'utilité et gaspillerait son revenu). Voir la figure 3.

U = x + y

Pour une fonction d'utilité avec des substituts parfaits , le faisceau maximisant l'utilité peut être trouvé par différentiation ou simplement par inspection. Supposons qu'un consommateur trouve que l'écoute des groupes de rock australiens AC/DC et Tame Impala sont des substituts parfaits. Cela signifie qu'il est heureux de passer tout l'après-midi à écouter uniquement AC/DC, ou uniquement Tame Impala, ou trois quarts d'AC/DC et un quart de Tame Impala, ou toute combinaison des deux groupes dans n'importe quelle quantité. Par conséquent, le choix optimal du consommateur est entièrement déterminé par les prix relatifs de l'écoute des deux artistes. Si assister à un concert de Tame Impala est moins cher qu'assister à celui d'AC/DC, le consommateur choisit d'assister au concert de Tame Impala, et vice versa. Si les prix des deux concerts sont les mêmes, le consommateur est complètement indifférent et peut lancer une pièce pour décider. Pour voir cela mathématiquement, différencions la fonction d'utilité pour constater que le MRS est constant - c'est la signification technique des substituts parfaits. En conséquence, la solution au problème de maximisation contraint du consommateur ne sera pas (généralement) une solution intérieure, et il faut donc vérifier le niveau d'utilité dans les cas limites (dépenser tout le budget sur le bien x, dépenser tout le budget sur le bien y) pour voir quelle est la solution. Le cas particulier est celui où le MRS (constant) est égal au rapport des prix (par exemple, les deux biens ont le même prix et les mêmes coefficients dans la fonction d'utilité). Dans ce cas, toute combinaison des deux biens est une solution au problème du consommateur.

Pour un niveau donné de richesse réelle, seuls les prix relatifs comptent pour les consommateurs, et non les prix absolus. Si les consommateurs réagissaient aux variations des prix nominaux et de la richesse nominale même si les prix relatifs et la richesse réelle restaient inchangés, il s'agirait d'un effet appelé illusion monétaire . Les conditions mathématiques de premier ordre pour un maximum du problème du consommateur garantissent que la demande pour chaque bien est homogène de degré zéro conjointement aux prix nominaux et à la richesse nominale, il n'y a donc pas d'illusion monétaire.

Lorsque les prix des biens changent, la consommation optimale de ces biens dépendra des effets de substitution et de revenu. L’ effet de substitution signifie que si la demande pour les deux biens est homogène, lorsque le prix d’un bien diminue (en maintenant le prix de l’autre bien constant), le consommateur consommera davantage de ce bien et moins de l’autre car il deviendra relativement moins cher. Il en va de même si le prix d’un bien augmente, les consommateurs achèteront moins de ce bien et plus de l’autre.

L'effet revenu se produit lorsque la variation des prix des biens entraîne une variation des revenus. Si le prix d'un bien augmente, alors le revenu diminue (il est plus coûteux qu'auparavant de consommer le même lot), de même si le prix d'un bien baisse, le revenu augmente (il est moins cher de consommer le même lot, on peut donc consommer davantage de la combinaison de biens souhaitée).

Si le revenu du consommateur augmente, sa ligne budgétaire se déplace vers l'extérieur et il dispose désormais de plus de revenus à dépenser pour le bien x, le bien y ou les deux, selon ses préférences pour chaque bien. Si les deux biens x et y étaient des biens normaux , la consommation des deux biens augmenterait et le lot optimal passerait du point A au point C (voir figure 5). Si x ou y étaient des biens de qualité inférieure , la demande pour ces biens diminuerait à mesure que le revenu augmente (le lot optimal se situerait au point B ou C).

pour plus d'informations, voir : rationalité limitée

En pratique, le consommateur ne choisit pas toujours le forfait optimal. Il peut par exemple avoir besoin de trop de réflexion ou de temps. La rationalité limitée est une théorie qui explique ce comportement. Parmi les exemples d'alternatives à la maximisation de l'utilité grâce à la rationalité limitée , on peut citer la satisfaction , l'élimination par aspects et l'heuristique de comptabilité mentale.

• L' heuristique de satisfaction se produit lorsqu'un consommateur définit un niveau d'aspiration et cherche jusqu'à ce qu'il trouve une option qui satisfait ce niveau. Il jugera cette option suffisamment bonne et arrêtera de chercher.
• L'élimination par aspects consiste à définir un niveau pour chaque aspect d'un produit souhaité et à éliminer toutes les autres options qui ne répondent pas à cette exigence, par exemple le prix inférieur à 100 $, la couleur, etc. jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un seul produit qui est supposé être le produit que le consommateur choisira.
• L' heuristique de la comptabilité mentale : cette stratégie montre que les gens attribuent souvent des valeurs subjectives à leur argent en fonction de leurs préférences pour différentes choses. Une personne va développer des comptes mentaux pour différentes dépenses, répartir son budget entre ces comptes, puis essayer de maximiser leur utilité dans chaque compte.

La relation entre la fonction d'utilité et la demande marshallienne dans le problème de maximisation de l'utilité reflète la relation entre la fonction de dépense et la demande hicksienne dans le problème de minimisation des dépenses . Dans la minimisation des dépenses, le niveau d'utilité est donné ainsi que les prix des biens, le rôle du consommateur est de trouver un niveau minimum de dépenses requis pour atteindre ce niveau d'utilité.

La règle du choix social utilitariste est une règle qui stipule que la société doit choisir l'alternative qui maximise la somme des utilités. Alors que la maximisation de l'utilité est effectuée par les individus, la maximisation de la somme des utilités est effectuée par la société.