Analyse de sensibilité basée sur la variance

L'analyse de sensibilité basée sur la variance (souvent appelée méthode Sobol' ou indices Sobol' , d'après Ilya M. Sobol' ) est une forme d' analyse de sensibilité globale . Travaillant dans un cadre probabiliste , elle décompose la variance de la sortie du modèle ou du système en fractions qui peuvent être attribuées à des entrées ou à des ensembles d'entrées. Par exemple, étant donné un modèle avec deux entrées et une sortie, on peut constater que 70 % de la variance de sortie est causée par la variance de la première entrée, 20 % par la variance de la seconde et 10 % par les interactions entre les deux. Ces pourcentages sont directement interprétés comme des mesures de sensibilité. Les mesures de sensibilité basées sur la variance sont intéressantes car elles mesurent la sensibilité sur l'ensemble de l'espace d'entrée (c'est-à-dire qu'il s'agit d'une méthode globale), elles peuvent traiter des réponses non linéaires et elles peuvent mesurer l'effet des interactions dans des systèmes non additifs .

D'un point de vue de boîte noire , tout modèle peut être considéré comme une fonction Y = f ( X ), où X est un vecteur de d entrées de modèle incertaines { X ₁ , X ₂ , ... X _d }, et Y est une sortie de modèle univariée choisie (notez que cette approche examine les sorties de modèle scalaire, mais plusieurs sorties peuvent être analysées par plusieurs analyses de sensibilité indépendantes). De plus, on supposera que les entrées sont distribuées indépendamment et uniformément dans l'hypercube unitaire, c'est-à-dire pour . Cela n'entraîne aucune perte de généralité car tout espace d'entrée peut être transformé en cet hypercube unitaire. f ( X ) peut être décomposé de la manière suivante,

où f ₀ est une constante et f _i est une fonction de X _i , f _ij une fonction de X _i et X _j , etc. Une condition de cette décomposition est que,

c'est-à-dire que tous les termes de la décomposition fonctionnelle sont orthogonaux . Cela conduit à des définitions des termes de la décomposition fonctionnelle en termes d'espérances conditionnelles,

On peut en déduire que f _i est l'effet de la variation de X _i seul (connu comme l' effet principal de X _i ), et f _ij est l'effet de la variation simultanée de X _i et X _j , en plus de l'effet de leurs variations individuelles . C'est ce qu'on appelle une interaction de second ordre . Les termes d'ordre supérieur ont des définitions analogues.

Maintenant, en supposant en outre que f ( X ) est carré-intégrable , la décomposition fonctionnelle peut être élevée au carré et intégrée pour donner,

Notez que le côté gauche est égal à la variance de Y , et les termes du côté droit sont des termes de variance, maintenant décomposés par rapport aux ensembles de X _i . Cela conduit finalement à la décomposition de l'expression de la variance,

où

et ainsi de suite. La notation X _{~ i} indique l'ensemble de toutes les variables sauf X _i . La décomposition de la variance ci-dessus montre comment la variance de la sortie du modèle peut être décomposée en termes attribuables à chaque entrée, ainsi qu'aux effets d'interaction entre eux. Ensemble, tous les termes s'additionnent pour donner la variance totale de la sortie du modèle.

Une mesure directe de la sensibilité basée sur la variance S _i , appelée « indice de sensibilité du premier ordre » ou « indice d’effet principal » est énoncée comme suit,

Il s'agit de la contribution à la variance de sortie de l'effet principal de X _i , elle mesure donc l'effet de la variation de X _i seul , mais moyenné sur les variations d'autres paramètres d'entrée. Elle est normalisée par la variance totale pour fournir une contribution fractionnaire. Les indices d'interaction d'ordre supérieur S _ij , S _ijk et ainsi de suite peuvent être formés en divisant d'autres termes dans la décomposition de la variance par Var( Y ). Notez que cela a pour implication que,

En utilisant les indices S _i , S _ij et d'ordre supérieur donnés ci-dessus, on peut se faire une idée de l'importance de chaque variable dans la détermination de la variance de sortie. Cependant, lorsque le nombre de variables est important, cela nécessite l'évaluation d'indices 2 ^d -1, ce qui peut être trop exigeant en termes de calcul. Pour cette raison, une mesure connue sous le nom d'« indice d'effet total » ou « indice d'ordre total », S _Ti , est utilisée. Cela mesure la contribution à la variance de sortie de X _i , y compris toute la variance causée par ses interactions, de tout ordre, avec toute autre variable d'entrée. Elle est donnée comme suit :

Notez que contrairement au S _i ,

en raison du fait que l'effet d'interaction entre X _i et X _j par exemple est comptabilisé à la fois dans S _Ti et S _Tj . En fait, la somme des S _Ti ne sera égale à 1 que lorsque le modèle est purement additif .

Pour les fonctions analytiquement exploitables, les indices ci-dessus peuvent être calculés analytiquement en évaluant les intégrales dans la décomposition. Cependant, dans la grande majorité des cas, ils sont estimés – cela se fait généralement par la méthode de Monte Carlo .

L'approche de Monte Carlo consiste à générer une séquence de points distribués aléatoirement à l'intérieur de l'hypercube unitaire (à proprement parler, ces séquences seront pseudo-aléatoires ). En pratique, il est courant de remplacer les séquences aléatoires par des séquences à faible discordance pour améliorer l'efficacité des estimateurs. C'est ce que l'on appelle alors la méthode quasi-Monte Carlo . Parmi les séquences à faible discordance couramment utilisées dans l'analyse de sensibilité, on trouve la séquence de Sobol et le modèle d'hypercube latin .

Pour calculer les indices en utilisant la méthode (quasi) Monte Carlo, les étapes suivantes sont utilisées :

1. Générer une matrice d'échantillons N × 2 d , c'est-à-dire que chaque ligne est un point d'échantillon dans l'hyperespace de dimensions 2 d . Cela doit être fait en respectant les distributions de probabilité des variables d'entrée.
2. Utilisez les d premières colonnes de la matrice comme matrice A et les d colonnes restantes comme matrice B. Cela donne effectivement deux échantillons indépendants de N points dans l' hypercube unitaire à d dimensions.
3. Construisez d autres matrices N × d A _B ⁱ , pour i = 1,2,...,d, telles que la i- ème colonne de A _B ⁱ soit égale à la i- ème colonne de B , et les colonnes restantes proviennent de A .
4. Les matrices A , B et d A _B ⁱ spécifient au total N ( d +2) points dans l'espace d'entrée (un pour chaque ligne). Exécutez le modèle à chaque point de conception dans les matrices A , B et A _B ⁱ , ce qui donne un total de N ( d +2) évaluations de modèle – les valeurs f( A ), f( B ) et f( A _B ⁱ ) correspondantes.
5. Calculez les indices de sensibilité à l’aide des estimateurs ci-dessous.

La précision des estimateurs dépend bien sûr de N. La valeur de N peut être choisie en ajoutant séquentiellement des points et en calculant les indices jusqu'à ce que les valeurs estimées atteignent une convergence acceptable. Pour cette raison, lors de l'utilisation de séquences à faible divergence, il peut être avantageux d'utiliser celles qui permettent l'ajout séquentiel de points (comme la séquence de Sobol'), par rapport à celles qui ne le permettent pas (comme les séquences d'hypercubes latins).

Il existe un certain nombre d'estimateurs de Monte Carlo possibles pour les deux indices. Deux d'entre eux sont actuellement couramment utilisés :

et

pour l'estimation du S _i et du S _Ti respectivement.

Pour l'estimation de S _i et S _Ti pour toutes les variables d'entrée, N ( d +2) exécutions du modèle sont nécessaires. Étant donné que N est souvent de l'ordre de centaines ou de milliers d'exécutions, les coûts de calcul peuvent rapidement devenir un problème lorsque le modèle prend beaucoup de temps pour une seule exécution. Dans de tels cas, il existe un certain nombre de techniques permettant de réduire le coût de calcul de l'estimation des indices de sensibilité, telles que les émulateurs , HDMR et FAST .