Accélération

En mécanique , l'accélération est le taux de variation de la vitesse d'un objet par rapport au temps. L'accélération est l'une des nombreuses composantes de la cinématique , l'étude du mouvement . Les accélérations sont des quantités vectorielles (en ce sens qu'elles ont une grandeur et une direction ). L'orientation de l'accélération d'un objet est donnée par l'orientation de la force nette agissant sur cet objet. La grandeur de l'accélération d'un objet, telle que décrite par la deuxième loi de Newton , est l'effet combiné de deux causes :

• le solde net de toutes les forces externes agissant sur cet objet — la grandeur est directement proportionnelle à cette force résultante nette ;
• la masse de cet objet , en fonction des matériaux dont il est fait, est inversement proportionnelle à la masse de l'objet.

L' unité SI pour l'accélération est le mètre par seconde au carré ( m⋅s ⁻² , ).

Par exemple, lorsqu'un véhicule démarre à l'arrêt (vitesse nulle, dans un référentiel inertiel ) et se déplace en ligne droite à des vitesses croissantes, il accélère dans la direction du déplacement. Si le véhicule tourne, une accélération se produit vers la nouvelle direction et modifie son vecteur de mouvement. L'accélération du véhicule dans sa direction de mouvement actuelle est appelée accélération linéaire (ou tangentielle lors de mouvements circulaires ), la réaction à laquelle les passagers à bord ressentent comme une force les poussant vers leur siège. Lors d'un changement de direction, l'accélération qui se produit est appelée accélération radiale (ou centripète lors de mouvements circulaires), la réaction à laquelle les passagers ressentent comme une force centrifuge . Si la vitesse du véhicule diminue, il s'agit d'une accélération dans la direction opposée du vecteur de vitesse (mathématiquement un négatif , si le mouvement est unidimensionnel et la vitesse est positive), parfois appelée décélération ou retardement , et les passagers ressentent la réaction à la décélération comme une force d'inertie les poussant vers l'avant. De telles accélérations négatives sont souvent obtenues par la combustion des rétrofusées dans les vaisseaux spatiaux . L'accélération et la décélération sont traitées de la même manière, car elles sont toutes deux des changements de vitesse. Chacune de ces accélérations (tangentielles, radiales, décélération) est ressentie par les passagers jusqu'à ce que leur vitesse relative (différentielle) soit neutralisée par rapport à l'accélération due au changement de vitesse.

L'accélération moyenne d'un objet sur une période donnée est sa variation de vitesse , , divisée par la durée de la période, . Mathématiquement,

L'accélération instantanée, quant à elle, est la limite de l'accélération moyenne sur un intervalle de temps infinitésimal . En termes de calcul , l'accélération instantanée est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps : Comme l'accélération est définie comme la dérivée de la vitesse, v , par rapport au temps t et que la vitesse est définie comme la dérivée de la position, x , par rapport au temps, l'accélération peut être considérée comme la seconde dérivée de x par rapport à t :

(Ici et ailleurs, si le mouvement est en ligne droite , les quantités vectorielles peuvent être substituées par des scalaires dans les équations.)

Par le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral , on peut voir que l' intégrale de la fonction d'accélération a ( t ) est la fonction de vitesse v ( t ) ; c'est-à-dire que l'aire sous la courbe d'un graphique d'accélération en fonction du temps ( a vs. t ) correspond au changement de vitesse. Δ v = ∫ a d t . {\displaystyle \mathbf {\Delta v} =\int \mathbf {a} \,dt.}

De même, l'intégrale de la fonction de secousse j ( t ) , la dérivée de la fonction d'accélération, peut être utilisée pour trouver le changement d'accélération à un certain moment :

L'accélération a pour dimension la vitesse (L/T) divisée par le temps, c'est-à-dire L T ⁻² . L' unité SI de l'accélération est le mètre par seconde au carré (ms ⁻² ) ; ou « mètre par seconde par seconde », car la vitesse en mètres par seconde varie en fonction de la valeur de l'accélération, toutes les secondes.

Un objet qui se déplace selon un mouvement circulaire, comme un satellite en orbite autour de la Terre, subit une accélération en raison du changement de direction du mouvement, même si sa vitesse peut être constante. Dans ce cas, on dit qu'il subit une accélération centripète (dirigée vers le centre).

L'accélération propre , l'accélération d'un corps par rapport à une condition de chute libre, est mesurée par un instrument appelé accéléromètre .

En mécanique classique , pour un corps de masse constante, l'accélération (vecteur) du centre de masse du corps est proportionnelle au vecteur de force nette (c'est-à-dire la somme de toutes les forces) agissant sur lui ( deuxième loi de Newton ) : F = m a ⟹ a = F m , {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \implies \quad \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {F} }{m}},} où F est la force nette agissant sur le corps, m est la masse du corps et a est l'accélération du centre de masse. Lorsque les vitesses se rapprochent de la vitesse de la lumière , les effets relativistes deviennent de plus en plus importants.

La vitesse d'une particule se déplaçant sur une trajectoire courbe en fonction du temps peut s'écrire comme suit : avec v ( t ) égal à la vitesse de déplacement le long de la trajectoire, et un vecteur unitaire tangent à la trajectoire pointant dans la direction du mouvement à l'instant choisi dans le temps. En prenant en compte à la fois la vitesse changeante v ( t ) et la direction changeante de u _t , l'accélération d'une particule se déplaçant sur une trajectoire courbe peut s'écrire en utilisant la règle de dérivation en chaîne pour le produit de deux fonctions du temps comme suit :

où u _n est le vecteur normal unitaire (vers l'intérieur) à la trajectoire de la particule (également appelé normale principale ), et r est son rayon de courbure instantané basé sur le cercle osculateur à l'instant t . Les composants

sont appelées respectivement accélération tangentielle et accélération normale ou radiale (ou accélération centripète dans le mouvement circulaire, voir aussi mouvement circulaire et force centripète ).

L'analyse géométrique des courbes spatiales tridimensionnelles, qui explique la tangente, la normale (principale) et la binormale, est décrite par les formules de Frenet-Serret .

L'accélération uniforme ou constante est un type de mouvement dans lequel la vitesse d'un objet change d'une quantité égale à chaque période de temps égale.

Un exemple fréquemment cité d'accélération uniforme est celui d'un objet en chute libre dans un champ gravitationnel uniforme. L'accélération d'un corps en chute libre en l'absence de résistance au mouvement ne dépend que de l' intensité du champ gravitationnel g (également appelée accélération due à la gravité ). Selon la deuxième loi de Newton, la force agissant sur un corps est donnée par :

En raison des propriétés analytiques simples du cas d'accélération constante, il existe des formules simples reliant le déplacement , les vitesses initiales et dépendantes du temps et l'accélération au temps écoulé :

où

En particulier, le mouvement peut être décomposé en deux parties orthogonales, l'une à vitesse constante et l'autre selon les équations ci-dessus. Comme l' a montré Galilée , le résultat net est un mouvement parabolique, qui décrit, par exemple, la trajectoire d'un projectile dans le vide près de la surface de la Terre.

Dans un mouvement circulaire uniforme , c'est-à-dire se déplaçant à vitesse constante le long d'une trajectoire circulaire, une particule subit une accélération résultant du changement de direction du vecteur vitesse, tandis que sa grandeur reste constante. La dérivée de la position d'un point sur une courbe par rapport au temps, c'est-à-dire sa vitesse, s'avère toujours exactement tangente à la courbe, respectivement orthogonale au rayon en ce point. Étant donné que dans un mouvement uniforme, la vitesse dans la direction tangentielle ne change pas, l'accélération doit être dans la direction radiale, pointant vers le centre du cercle. Cette accélération change constamment la direction de la vitesse pour être tangente au point voisin, faisant ainsi tourner le vecteur vitesse le long du cercle.

• Pour une vitesse donnée , la grandeur de cette accélération causée géométriquement (accélération centripète) est inversement proportionnelle au rayon du cercle, et augmente comme le carré de cette vitesse : a c = v 2 r . {\displaystyle a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}\,.}
• Pour une vitesse angulaire donnée , l'accélération centripète est directement proportionnelle au rayon . Cela est dû à la dépendance de la vitesse par rapport au rayon .

En exprimant le vecteur d'accélération centripète en composantes polaires, où est un vecteur allant du centre du cercle à la particule avec une amplitude égale à cette distance, et en considérant l'orientation de l'accélération vers le centre, on obtient

Comme d'habitude dans les rotations, la vitesse d'une particule peut être exprimée comme une vitesse angulaire par rapport à un point à une distance telle que ω = v r . {\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}.}

Ainsi

Cette accélération et la masse de la particule déterminent la force centripète nécessaire , dirigée vers le centre du cercle, comme force nette agissant sur cette particule pour la maintenir dans ce mouvement circulaire uniforme. La soi-disant « force centrifuge », qui semble agir vers l'extérieur sur le corps, est une pseudo-force ressentie dans le référentiel du corps en mouvement circulaire, en raison de l'impulsion linéaire du corps , un vecteur tangent au cercle de mouvement.

Dans un mouvement circulaire non uniforme, c'est-à-dire lorsque la vitesse le long de la trajectoire courbe change, l'accélération a une composante tangentielle non nulle à la courbe et n'est pas confinée à la normale principale , qui dirige vers le centre du cercle osculateur, qui détermine le rayon de l'accélération centripète. La composante tangentielle est donnée par l'accélération angulaire , c'est-à-dire le taux de variation de la vitesse angulaire multiplié par le rayon . C'est-à-dire,

Le signe de la composante tangentielle de l'accélération est déterminé par le signe de l' accélération angulaire ( ), et la tangente est toujours dirigée perpendiculairement au rayon vecteur.

Dans les systèmes de coordonnées cartésiennes multidimensionnelles , l'accélération est divisée en composantes qui correspondent à chaque axe dimensionnel du système de coordonnées. Dans un système bidimensionnel, où il y a un axe x et un axe y, les composantes d'accélération correspondantes sont définies comme Le vecteur d'accélération bidimensionnel est alors défini comme . La grandeur de ce vecteur est trouvée par la formule de distance comme Dans les systèmes tridimensionnels où il y a un axe z supplémentaire, la composante d'accélération correspondante est définie comme Le vecteur d'accélération tridimensionnel est défini comme avec sa grandeur déterminée par

La théorie de la relativité restreinte décrit le comportement des objets se déplaçant par rapport à d'autres objets à des vitesses proches de celle de la lumière dans le vide. La mécanique newtonienne se révèle être une approximation de la réalité, valable avec une grande précision à des vitesses plus faibles. Lorsque les vitesses concernées augmentent vers la vitesse de la lumière, l'accélération ne suit plus les équations classiques.

À mesure que la vitesse se rapproche de celle de la lumière, l'accélération produite par une force donnée diminue, devenant infinitésimale à mesure que la vitesse de la lumière se rapproche ; un objet avec une masse peut s'approcher de cette vitesse asymptotiquement , mais ne jamais l'atteindre.

À moins de connaître l’état de mouvement d’un objet, il est impossible de distinguer si une force observée est due à la gravité ou à l’accélération – la gravité et l’accélération inertielle ont des effets identiques. Albert Einstein a appelé cela le principe d’équivalence et a déclaré que seuls les observateurs qui ne ressentent aucune force du tout – y compris la force de gravité – sont en droit de conclure qu’ils n’accélèrent pas.