Transformation affine

En géométrie euclidienne , une transformation affine ou affinité (du latin affinis , « connecté à ») est une transformation géométrique qui préserve les lignes et le parallélisme , mais pas nécessairement les distances et les angles euclidiens .

Plus généralement, une transformation affine est un automorphisme d'un espace affine (les espaces euclidiens sont des espaces affines spécifiques), c'est-à-dire une fonction qui applique un espace affine sur lui-même tout en préservant à la fois la dimension de tous les sous-espaces affines (ce qui signifie qu'elle envoie des points à des points, des lignes à des lignes, des plans à des plans, etc.) et les rapports des longueurs des segments de droite parallèles . Par conséquent, les ensembles de sous-espaces affines parallèles restent parallèles après une transformation affine. Une transformation affine ne préserve pas nécessairement les angles entre les lignes ou les distances entre les points, bien qu'elle préserve les rapports des distances entre les points situés sur une ligne droite.

Si X est l'ensemble de points d'un espace affine, alors toute transformation affine sur X peut être représentée comme la composition d'une transformation linéaire sur X et d'une translation de X . Contrairement à une transformation purement linéaire, une transformation affine n'a pas besoin de préserver l'origine de l'espace affine. Ainsi, toute transformation linéaire est affine, mais toute transformation affine n'est pas linéaire.

Les exemples de transformations affines incluent la translation, la mise à l'échelle , l'homothétie , la similarité , la réflexion , la rotation , la rotation hyperbolique , la cartographie de cisaillement et leurs compositions dans n'importe quelle combinaison et séquence.

En considérant un espace affine comme le complément d'un hyperplan à l'infini d'un espace projectif , les transformations affines sont les transformations projectives de cet espace projectif qui laissent l'hyperplan à l'infini invariant , restreint au complément de cet hyperplan.

Une généralisation d'une transformation affine est une application affine (ou homomorphisme affine ou application affine ) entre deux espaces affines (potentiellement différents) sur le même corps k . Soient ( X , V , k ) et ( Z , W , k ) deux espaces affines avec X et Z les ensembles de points et V et W les espaces vectoriels respectifs associés sur le corps k . Une application f : X → Z est une application affine s'il existe une application linéaire m _f : V → W telle que m _f ( x − y ) = f ( x ) − f ( y ) pour tout x, y dans X .

Définition

Soit X un espace affine sur un corps k et V son espace vectoriel associé. Une transformation affine est une bijection f de X sur lui-même qui est une application affine ; cela signifie qu'une application linéaire g de V vers V est bien définie par l'équation ici, comme d'habitude, la soustraction de deux points désigne le vecteur libre du deuxième point au premier, et " bien défini " signifie que cela implique que ${\displaystyle g(y-x)=f(y)-f(x); <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g(yx)=f(y)-f(x);}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle y-x=y'-x' <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>et</mi> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>et</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle yx=y'-x'}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(y)-f(x)=f(y')-f(x'). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>et</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(y)-f(x)=f(y')-f(x').}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si la dimension de X est au moins égale à deux, une transformation semiaffine f de X est une bijection de X sur lui-même satisfaisant :

Pour tout sous-espace affine d -dimensionnel S de X , alors f ( S ) est également un sous-espace affine d -dimensionnel de X .
Si S et T sont des sous-espaces affines parallèles de X , alors f ( S ) et f ( T ) sont parallèles.

Ces deux conditions sont satisfaites par les transformations affines et expriment précisément ce que signifie l'expression « f préserve le parallélisme ».

Ces conditions ne sont pas indépendantes car la seconde découle de la première. De plus, si le corps k a au moins trois éléments, la première condition peut être simplifiée ainsi : f est une collinéation , c'est-à-dire qu'elle associe des lignes à des lignes.

Structure

Par définition d'un espace affine, V agit sur X , de sorte que, pour chaque paire dans X × V est associé un point y dans X . On peut noter cette action par . On utilise ici la convention selon laquelle il y a deux notations interchangeables pour un élément de V . En fixant un point c dans X on peut définir une fonction m _c : X → V par m _c ( x ) = cx → . Pour tout c , cette fonction est bijective, et a donc une fonction inverse m _c⁻¹ : V → X donnée par . Ces fonctions peuvent être utilisées pour transformer X en un espace vectoriel (par rapport au point c ) en définissant : ${\displaystyle (x,\mathbf {v} ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle (x, mathbf {v})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\vec {v}}(x)=y <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>et</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { vec {v}} (x) = y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\vec {v}}={ extbf {v <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mtext>v</mtext> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { vec {v}} = { textbf {v}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle m_{c}^{-1}({ extbf {v}})={\vec {v}}(c) <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>m</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mtext>v</mtext> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle m_ {c} ^ {-1} ({ textbf {v}}) = { vec {v}} (c)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle x+y=m_{c}^{-1}\left(m_{c}(x)+m_{c}(y) ight),{ ext{ for all }}x,y{ ext{ in }}X, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>et</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>m</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mtext> pour tous </mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mrow> <mtext> dans </mtext> </mrow> <mi>X</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x+y=m_{c}^{-1}\gauche(m_{c}(x)+m_{c}(y)\droite),{ exte{ pour tout }}x,y{ exte{ dans }}X,}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x) ight),{ ext{ for all }}r{ ext{ in }}k{ ext{ and }}x{ ext{ in }}X. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>l</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>m</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>l</mi> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mtext> pour tous </mtext> </mrow> <mi>l</mi> <mrow> <mtext> dans </mtext> </mrow> <mi>k</mi> <mrow> <mtext> et </mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mtext> dans </mtext> </mrow> <mi>X</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x) ight),{ ext{ pour tout }}r{ ext{ dans }}k{ ext{ et }}x{ ext{ dans }}X.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cet espace vectoriel a pour origine c et doit être formellement distingué de l'espace affine X , mais la pratique courante est de le désigner par le même symbole et de mentionner qu'il s'agit d'un espace vectoriel après avoir spécifié une origine. Cette identification permet de considérer les points comme des vecteurs et vice versa.

Pour toute transformation linéaire λ de V , on peut définir la fonction L ( c , λ ) : X → X par

{\displaystyle L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\left(\lambda (m_{c}(x)) ight)=c+\lambda ({\vec {cx}}). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>L</mi> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>λ</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>m</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>λ</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mi>λ</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>c</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\gauche(\lambda (m_{c}(x))\droite)=c+\lambda ({\vec {cx}}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Alors L ( c , λ ) est une transformation affine de X qui laisse le point c fixe. C'est une transformation linéaire de X , considérée comme un espace vectoriel d'origine c .

Soit σ une transformation affine quelconque de X . Choisissons un point c dans X et considérons la translation de X par le vecteur , noté T _w . Les translation sont des transformations affines et la composition des transformations affines est une transformation affine. Pour ce choix de c , il existe une unique transformation linéaire λ de V telle que ${\displaystyle {\mathbf {w}}={\overrightarrow {c\sigma (c) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mover> <mrow> <mi>c</mi> <mi>σ</mi> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathbf {w}}={\overrightarrow {c\sigma (c)}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \sigma (x)=T_{\mathbf {w}}\left(L(c,\lambda )(x) ight). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>σ</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>L</mi> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>λ</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sigma (x)=T_{\mathbf {w}}\gauche(L(c,\lambda )(x)\droite).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Autrement dit, une transformation affine arbitraire de X est la composition d'une transformation linéaire de X (considérée comme un espace vectoriel) et d'une translation de X.

Cette représentation des transformations affines est souvent considérée comme la définition d'une transformation affine (le choix de l'origine étant implicite).

Représentation

Comme indiqué ci-dessus, une application affine est la composition de deux fonctions : une translation et une application linéaire. L'algèbre vectorielle ordinaire utilise la multiplication de matrices pour représenter les applications linéaires et l'addition de vecteurs pour représenter les traductions. Formellement, dans le cas de dimension finie, si l'application linéaire est représentée comme une multiplication par une matrice inversible et la translation comme l'addition d'un vecteur , une application affine agissant sur un vecteur peut être représentée comme ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {b} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {x} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {x} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} +\mathbf {b} . <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle mathbf {y} = f ( mathbf {x} ) = A mathbf {x} + mathbf {b} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Matrice augmentée

Les transformations affines sur le plan 2D peuvent être réalisées par des transformations linéaires en trois dimensions. La translation est réalisée par cisaillement le long de l'axe z, et la rotation est réalisée autour de l'axe z.

En utilisant une matrice augmentée et un vecteur augmenté, il est possible de représenter à la fois la translation et la carte linéaire en utilisant une seule multiplication de matrice . La technique nécessite que tous les vecteurs soient augmentés d'un « 1 » à la fin, et que toutes les matrices soient augmentées d'une ligne supplémentaire de zéros en bas, d'une colonne supplémentaire (le vecteur de translation) à droite et d'un « 1 » dans le coin inférieur droit. Si est une matrice, ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&A&&\mathbf {b} \\0&\cdots &0&1\end{array}} ight]{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi>UN</mi> </mtd> <mtd></mtd> <mtd> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=\gauche[{\begin{array}{ccc|c}&A&&\mathbf {b} \\0&\cdots &0&1\end{array}}\droite]{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

est équivalent à ce qui suit

{\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b} . <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle mathbf {y} = A mathbf {x} + mathbf {b} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La matrice augmentée mentionnée ci-dessus est appelée matrice de transformation affine . Dans le cas général, lorsque le dernier vecteur de ligne n'est pas limité à , la matrice devient une matrice de transformation projective (car elle peut également être utilisée pour effectuer des transformations projectives ). ${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}0&\cdots &0&1\end{array}} ight] <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gauche[{\begin{array}{ccc|c}0&\cdots &0&1\end{array}}\droite]}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cette représentation montre l' ensemble de toutes les transformations affines inversibles comme le produit semi-direct de et . Il s'agit d'un groupe soumis à l'opération de composition de fonctions, appelé groupe affine . ${\displaystyle K^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle K^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>GL</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>K</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La multiplication matrice-vecteur ordinaire fait toujours correspondre l'origine à l'origine et ne peut donc jamais représenter une translation dans laquelle l'origine doit nécessairement être associée à un autre point. En ajoutant la coordonnée supplémentaire "1" à chaque vecteur, on considère essentiellement l'espace à représenter comme un sous-ensemble d'un espace avec une dimension supplémentaire. Dans cet espace, l'espace d'origine occupe le sous-ensemble dans lequel la coordonnée supplémentaire est 1. Ainsi, l'origine de l'espace d'origine peut être trouvée à . Une translation dans l'espace d'origine au moyen d'une transformation linéaire de l'espace de dimension supérieure est alors possible (plus précisément, une transformation de cisaillement). Les coordonnées dans l'espace de dimension supérieure sont un exemple de coordonnées homogènes . Si l'espace d'origine est euclidien , l'espace de dimension supérieure est un espace projectif réel . ${\displaystyle (0,0,\dotsc ,0,1) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (0,0,\dotsc ,0,1)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'avantage de l'utilisation de coordonnées homogènes est que l'on peut combiner n'importe quel nombre de transformations affines en une seule en multipliant les matrices respectives. Cette propriété est largement utilisée en infographie , en vision par ordinateur et en robotique .

Exemple de matrice augmentée

Supposons que vous ayez trois points qui définissent un triangle non dégénéré dans un plan, ou quatre points qui définissent un tétraèdre non dégénéré dans un espace à 3 dimensions, ou généralement n + 1 points x ₁ , ..., x _{n + 1} qui définissent un simplexe non dégénéré dans un espace à n dimensions. Supposons que vous ayez des points de destination correspondants y ₁ , ..., y _{n + 1} , où ces nouveaux points peuvent se trouver dans un espace avec un nombre quelconque de dimensions. (De plus, les nouveaux points n'ont pas besoin d'être distincts les uns des autres et ne doivent pas nécessairement former un simplexe non dégénéré.) La matrice augmentée unique M qui réalise la transformation affine est ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>M</mi> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle M={\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{1}&\cdots &\mathbf {y} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\cdots &\mathbf {x} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}^{-1}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>⋯</mo> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M={\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{1}&\cdots &\mathbf {y} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\cdots &\mathbf {x} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}^{-1}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Propriétés

Propriétés préservées

Une transformation affine préserve :

colinéarité entre points : trois points ou plus qui se trouvent sur la même ligne (appelés points colinéaires) continuent d'être colinéaires après la transformation.
parallélisme : deux ou plusieurs droites qui sont parallèles, continuent à être parallèles après la transformation.
convexité des ensembles : un ensemble convexe continue à être convexe après la transformation. De plus, les points extrêmes de l'ensemble d'origine sont mappés sur les points extrêmes de l'ensemble transformé.
rapports des longueurs des segments de droites parallèles : pour des segments parallèles distincts définis par des points et , et , le rapport de et est le même que celui de et . ${\displaystyle p_{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p_{3 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p_{3}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p_{4 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p_{4}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p_{1}p_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mover> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\overrightarrow {p_{1}p_{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p_{3}p_{4 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mover> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\overrightarrow {p_{3}p_{4}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mover> <mrow> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mover> <mrow> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4})}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
barycentres de collections pondérées de points.

Groupes

Comme une transformation affine est inversible , la matrice carrée apparaissant dans sa représentation matricielle est inversible . La représentation matricielle de la transformation inverse est donc ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}} ight]. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd></mtd> <mtd> <mo>−</mo> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>b</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mtext> </mtext> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>…</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}} ight].}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Les transformations affines inversibles (d'un espace affine sur lui-même) forment le groupe affine , qui a pour sous-groupe le groupe linéaire général de degré , et est lui-même un sous-groupe du groupe linéaire général de degré . ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n+1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n+1}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les transformations de similarité forment le sous-groupe où est un scalaire multiplié par une matrice orthogonale . Par exemple, si la transformation affine agit sur le plan et si le déterminant de est 1 ou −1 alors la transformation est une application équiareale . De telles transformations forment un sous-groupe appelé groupe équiaffine . Une transformation qui est à la fois équiaffine et de similarité est une isométrie du plan prise avec la distance euclidienne . ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Chacun de ces groupes possède un sous-groupe de transformations affines préservant l'orientation ou positives : celles dont le déterminant est positif. Dans ce dernier cas, il s'agit en 3D du groupe des transformations rigides ( rotations propres et translation pure). ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$

S'il existe un point fixe, nous pouvons le prendre comme origine et la transformation affine se réduit à une transformation linéaire. Cela peut faciliter la classification et la compréhension de la transformation. Par exemple, décrire une transformation comme une rotation d'un certain angle par rapport à un certain axe peut donner une idée plus claire du comportement global de la transformation que de la décrire comme une combinaison d'une translation et d'une rotation. Cependant, cela dépend de l'application et du contexte.

Cartes affines

Une application affine entre deux espaces affines est une application sur les points qui agit linéairement sur les vecteurs (c'est-à-dire les vecteurs entre les points de l'espace). Dans les symboles, détermine une transformation linéaire telle que, pour tout couple de points : ${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}} o {\mathcal {B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> <mo>→</mo> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\colon {\mathcal {A}} o {\mathcal {B}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \varphi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P,Q\in {\mathcal {A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> <mo>,</mo> <mi>Q</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P,Q\in {\mathcal {A}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mover> <mrow> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>Q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mrow> <mi>P</mi> <mi>Q</mi> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>Q</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>Q</mi> <mo>−</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Nous pouvons interpréter cette définition de plusieurs autres manières, comme suit.

Si une origine est choisie, et désigne son image , alors cela signifie que pour tout vecteur : ${\displaystyle O\in {\mathcal {A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>O</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle O\in {\mathcal {A}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(O)\in {\mathcal {B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>O</mi> <mo>)</mo> <mo>∈</mo> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(O)\in {\mathcal {B}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\vec {x <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle f\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (B+\varphi ({\vec {x}})) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mo>(</mo> <mi>O</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>↦</mo> <mo>(</mo> <mi>B</mi> <mo>+</mo> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (B+\varphi ({\vec {x}}))}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Si une origine est également choisie, celle-ci peut être décomposée en une transformation affine qui envoie , à savoir ${\displaystyle O'\in {\mathcal {B <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>O</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>∈</mo> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle O'\in {\mathcal {B}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g\colon {\mathcal {A}} o {\mathcal {B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> <mo>→</mo> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g\colon {\mathcal {A}} o {\mathcal {B}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle O\mapsto O' <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>O</mi> <mo>↦</mo> <msup> <mi>O</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle O\mapsto O'}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle g\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (O'+\varphi ({\vec {x}})) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mo>(</mo> <mi>O</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>↦</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>O</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>+</mo> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (O'+\varphi ({\vec {x}}))}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

suivi de la translation par un vecteur . ${\displaystyle {\vec {b}}={\overrightarrow {O'B <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>b</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mover> <mrow> <msup> <mi>O</mi> <mo>′</mo> </msup> <mi>B</mi> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\vec {b}}={\overrightarrow {O'B}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La conclusion est que, intuitivement, cela consiste en une traduction et une carte linéaire. ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Définition alternative

Étant donné deux espaces affines et , sur le même corps, une fonction est une application affine si et seulement si pour toute famille de points pondérés dans telle que ${\displaystyle {\mathcal {A <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {A}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {B <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {B}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}} o {\mathcal {B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> <mo>→</mo> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\colon {\mathcal {A}} o {\mathcal {B}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \{(a_{i},\lambda _{i})\}_{i\in I <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>λ</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mo>}</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{(a_{i},\lambda _{i})\}_{i\in I}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {A <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {A}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \sum _{i\in I}\lambda _{i}=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>λ</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{i\in I}\lambda _{i}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

nous avons

{\displaystyle f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}a_{i} ight)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(a_{i}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>λ</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>λ</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}a_{i} ight)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(a_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

En d’autres termes, préserve les barycentres . ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Histoire

Le terme mathématique « affine » est défini en relation avec les tangentes aux courbes dans l'Introductio in analysin infinitorum d' Euler de 1748. Felix Klein attribue le terme « transformation affine » à Möbius et Gauss .

Transformation d'image

Dans leurs applications au traitement d'images numériques , les transformations affines sont analogues à l'impression sur une feuille de caoutchouc et à l'étirement des bords de la feuille parallèlement au plan. Cette transformation déplace les pixels nécessitant une interpolation d'intensité pour approximer la valeur des pixels déplacés, l'interpolation bicubique est la norme pour les transformations d'images dans les applications de traitement d'images. Les transformations affines mettent à l'échelle, font pivoter, traduisent, mettent en miroir et cisaillent les images comme le montrent les exemples suivants :

Les transformations affines s'appliquent au processus d'enregistrement dans lequel deux ou plusieurs images sont alignées (enregistrées). Un exemple d' enregistrement d'image est la génération d'images panoramiques qui sont le produit de plusieurs images assemblées .

Déformation affine

La transformation affine préserve les lignes parallèles. Cependant, les transformations d'étirement et de cisaillement déforment les formes, comme le montre l'exemple suivant :

Il s'agit d'un exemple de déformation d'image. Cependant, les transformations affines ne facilitent pas la projection sur une surface courbe ou les distorsions radiales .

Dans l'avion

Les transformations affines en deux dimensions réelles incluent :

traductions pures,
mise à l'échelle dans une direction donnée, par rapport à une ligne dans une autre direction (pas nécessairement perpendiculaire), combinée à une translation qui n'est pas purement dans la direction de la mise à l'échelle ; en prenant « mise à l'échelle » dans un sens généralisé, cela inclut les cas où le facteur d'échelle est nul ( projection ) ou négatif ; ce dernier inclut la réflexion , et combiné à la translation, cela inclut la réflexion glissante ,
rotation combinée à une homothétie et une translation,
cartographie de cisaillement combinée à une homothétie et une translation, ou
application de compression combinée à une homothétie et une translation.

Pour visualiser la transformation affine générale du plan euclidien , prenons les parallélogrammes étiquetés ABCD et A′B′C′D′ . Quels que soient les choix de points, il existe une transformation affine T du plan prenant A vers A′ , et chaque sommet de même. En supposant que l'on exclut le cas dégénéré où ABCD a une aire nulle , il existe une unique telle transformation affine T . En dessinant une grille entière de parallélogrammes basée sur ABCD , l'image T ( P ) de tout point P est déterminée en notant que T ( A ) = A′ , T appliqué au segment de droite AB est A′B′ , T appliqué au segment de droite AC est A′C′ , et T respecte les multiples scalaires des vecteurs basés en A . [Si A , E , F sont colinéaires alors le rapport longueur( AF )/longueur( AE ) est égal à longueur( A ′ F ′)/longueur( A ′ E ′).] Géométriquement, T transforme la grille basée sur ABCD en celle basée sur A′B′C′D′ .

Les transformations affines ne respectent pas les longueurs ou les angles ; elles multiplient l'aire par un facteur constant

aire de A′B′C′D′ / aire de ABCD .

Un T donné peut être soit direct (orientation de respect), soit indirect (orientation inverse), et cela peut être déterminé par son effet sur les zones signées (telles que définies, par exemple, par le produit vectoriel de vecteurs).

Exemples

Au-dessus des nombres réels

Les fonctions avec et dans et , sont précisément les transformations affines de la droite réelle . ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} o \mathbb {R} ,\;f(x)=mx+c <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>→</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\colon \mathbb {R} o \mathbb {R} ,\;f(x)=mx+c}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle m <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle m eq 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle m eq 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

En géométrie plane

Dans , la transformation montrée à gauche est réalisée en utilisant la carte donnée par : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>↦</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mn>100</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mn>100</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La transformation des trois points d'angle du triangle d'origine (en rouge) donne trois nouveaux points qui forment le nouveau triangle (en bleu). Cette transformation déforme et translate le triangle d'origine.

En fait, tous les triangles sont reliés entre eux par des transformations affines. Ceci est également vrai pour tous les parallélogrammes, mais pas pour tous les quadrilatères.