Worldlex Wiki En géométrie projective , une collinéation est une application injective et surjective (une bijection ) d'un espace projectif vers un autre, ou d'un espace projectif vers lui-même, telle que les images de points collinés soient elles-mêmes collinées. Une collinéation est donc un isomorphisme entre espaces projectifs, ou un automorphisme d'un espace projectif vers lui-même. Certains auteurs restreignent la définition de collinéation au cas où il s'agit d'un automorphisme. L' ensemble de toutes les collinéations d'un espace vers lui-même forme un groupe , appelé groupe des collinéations .
Définition
En termes simples, une collinéation est une bijection entre deux espaces projectifs, ou entre un espace projectif et lui-même, telle que les images de points collinés soient elles-mêmes collinées. On peut formaliser cela de différentes manières en représentant un espace projectif. Le cas de la droite projective est particulier et, par conséquent, généralement traité différemment.
algèbre linéaire
Pour un espace projectif défini en termes d' algèbre linéaire (comme la projectivisation d'un espace vectoriel ), une collinéation est une application entre les espaces projectifs qui préserve l'ordre par rapport à l'inclusion de sous-espaces.
Formellement, soit V un espace vectoriel sur un corps K et W un espace vectoriel sur un corps L. Considérons les espaces projectifs PG ( V ) et PG ( W ), constitués des droites vectorielles de V et W. Notons D ( V ) et D ( W ) l'ensemble des sous-espaces de V et W respectivement. Une collinéation de PG ( V ) dans PG ( W ) est une application α : D ( V ) → D ( W ) telle que :
- α est une bijection.
- A ⊆ B ⇔ α( A ) ⊆ α( B ) pour tous A , B dans D ( V ).
Axiomatiquement
Étant donné un espace projectif défini axiomatiquement en termes d'une structure d'incidence (un ensemble de points P, de droites L et une relation d'incidence I spécifiant quels points se trouvent sur quelles droites, satisfaisant certains axiomes), une collinéation entre espaces projectifs ainsi définis est alors une fonction bijective f entre les ensembles de points et une fonction bijective g entre les ensembles de droites, préservant la relation d'incidence.
Tout espace projectif de dimension supérieure ou égale à trois est isomorphe à la projectivisation d'un espace linéaire sur un anneau de division ; dans ces dimensions, cette définition n'est donc pas plus générale que la définition linéaire-algébrique ci-dessus, mais en dimension deux, il existe d'autres plans projectifs, à savoir les plans non-Desarguesiens , et cette définition permet de définir des collinéations dans de tels plans projectifs.
En dimension un, l'ensemble des points situés sur une seule droite projective définit un espace projectif, et la notion de collinéation qui en résulte est simplement une bijection quelconque de cet ensemble.
Collinations de la ligne projective
Pour un espace projectif de dimension un (une droite projective ; la projectivisation d'un espace vectoriel de dimension deux), tous les points sont alignés, de sorte que le groupe de collinéation est exactement le groupe symétrique des points de la droite projective. Ce comportement diffère de celui observé en dimensions supérieures, ce qui impose une définition plus restrictive, spécifiée de manière à ce que le théorème fondamental de la géométrie projective soit vérifié.
Dans cette définition, lorsque V a une dimension deux, une collinéation de PG ( V ) à PG ( W ) est une application : D ( V ) → D ( W ) , telle que :
- Le sous- espace nul de V est transformé en sous-espace nul de W.
- V est mappé sur W.
- Il existe une application semi-linéaire non singulière β de V vers W telle que, pour tout v dans V ,
Cette dernière condition garantit que les collinéations sont toutes des applications semi-linéaires.
Types
Les principaux exemples de collinéations sont les transformations linéaires projectives (aussi appelées homographies ) et les collinéations automorphes . Pour les espaces projectifs issus d'un espace linéaire, le théorème fondamental de la géométrie projective stipule que toute collinéation est une combinaison de ces transformations, comme décrit ci-dessous.
Transformations linéaires projectives
Les transformations linéaires projectives (homographies) sont des collinéations (les plans d'un espace vectoriel correspondent aux droites de l'espace projectif associé, et les transformations linéaires transforment les plans en plans ; les transformations linéaires projectives transforment donc les droites en droites), mais en général, toutes les collinéations ne sont pas des transformations linéaires projectives. Le groupe des transformations linéaires projectives ( GTLP ) est en général un sous-groupe strict du groupe des collinéations.
Colliérations automorphes
UnLa collinéation automorphe est une application qui, dans les coordonnées, est unautomorphisme de corpsappliqué aux coordonnées.
Théorème fondamental de la géométrie projective
Soit φ une application semi-linéaire non singulière de V vers W , V étant de dimension au moins trois. Définissons : D ( V ) → D ( W ) par l'équation : z ∈ Z } pour tout z ∈ D ( V ). Comme φ est semi-linéaire, on vérifie aisément que cette application est bien définie et, de plus, comme φ n'est pas singulière, elle est bijective. Il est alors évident que α est une collinéation. On dit que α est induite par φ .
Le théorème fondamental de la géométrie projective énonce la réciproque :
Soit V un espace vectoriel sur un corps K de dimension au moins trois, W un espace vectoriel sur un corps L , et α une collinéation de PG( V ) dans PG( W ). Ceci implique que K et L sont des corps isomorphes, que V et W ont la même dimension, et qu'il existe une application semi-linéaire φ telle que φ induise α .
Pour , le groupe de collinéation est le groupe semi-linéaire projectif , P Γ L – c'est PGL, tordu par des automorphismes de corps ; formellement, le produit semi-direct L ≅ PGL ⋊ Gal( K / k ) , où k est le corps premier pour K .
structure linéaire
Ainsi, pour K un corps premier ( , ces choix formant un torseur sur Gal( K / k ).
Histoire
L'idée de ligne a été abstraite en une relation ternaire déterminée par la colinéarité (points situés sur une même ligne). Selon Wilhelm Blaschke , c'est August Möbius qui, le premier, a abstrait cette essence de la transformation géométrique :
- Que signifient désormais nos transformations géométriques ? Möbius a soulevé cette question dès 1827, dans son ouvrage *Calcul barycentrique *. Il y parlait non pas de transformations , mais de permutations (Verwandtschaften), affirmant que deux éléments d'un domaine étaient permutés lorsqu'ils étaient intervertis par une équation quelconque. Dans notre cas particulier, celui des équations linéaires entre coordonnées de points homogènes, Möbius nommait une permutation (Verwandtschaft) de ces deux espaces de points une collinéation . Ce sens sera plus tard modifié par Chasles en homographie . L'expression de Möbius devient immédiatement compréhensible lorsqu'on suit son raisonnement et qu'on qualifie de collinéaires les points situés sur une même droite. On peut exprimer la désignation de Möbius en disant que les points collinéaires sont transformés par une permutation en points collinéaires, ou, plus simplement, que les droites restent droites.
Les mathématiciens contemporains conçoivent la géométrie comme une structure d'incidence munie d'un groupe d'automorphismes constitué d'applications de l'espace sous-jacent qui préservent l'incidence . Une telle application permute les lignes de la structure d'incidence, et la notion de collinéation persiste.
Comme l'ont mentionné Blaschke et Klein, Michel Chasles préférait le terme d'homographie à celui de collinéation . Une distinction entre ces termes est apparue lors de la clarification de la distinction entre le plan projectif réel et la droite projective complexe . Puisqu'il n'existe pas d'automorphismes non triviaux du corps des nombres réels , toutes les collinéations sont des homographies dans le plan projectif réel . Cependant, en raison de l'automorphisme du corps de la conjugaison complexe , toutes les collinéations de la droite projective complexe ne sont pas des homographies. Dans des applications telles que la vision par ordinateur, où le corps sous-jacent est le corps des nombres réels, les termes homographie et collinéation peuvent être utilisés indifféremment.
Anti-homographie
L'opération consistant à prendre le conjugué complexe dans le plan complexe équivaut à une réflexion par rapport à la droite réelle . En notant z * le conjugué de z , une anti-homographie est donnée par
Ainsi, une anti-homographie est la composition d'une conjugaison avec une homographie , et constitue donc un exemple de collinéation qui n'est pas une homographie. Par exemple, géométriquement, l'application