Angle

En géométrie euclidienne , un angle ou angle plan est la figure formée par deux rayons , appelés côtés de l'angle, partageant une extrémité commune, appelée sommet de l'angle. Deux courbes qui se croisent peuvent également définir un angle, qui est l'angle des rayons tangents aux courbes respectives à leur point d'intersection. Les angles sont également formés par l'intersection de deux plans ; on les appelle angles dièdres . Dans tous les cas, l'angle résultant se situe dans un plan (enjambé par les deux rayons ou perpendiculaire à la ligne d' intersection plan-plan ).

La grandeur d'un angle est appelée mesure angulaire ou simplement « angle ». Deux angles différents peuvent avoir la même mesure, comme dans un triangle isocèle . « Angle » désigne également le secteur angulaire , la région infinie du plan délimitée par les côtés d'un angle.

L'angle de rotation est une mesure définie conventionnellement comme le rapport entre la longueur d'un arc de cercle et son rayon , et peut être un nombre négatif . Dans le cas d'un angle ordinaire, l'arc est centré au sommet et délimité par les côtés. Dans le cas d'un angle de rotation , l'arc est centré au centre de la rotation et délimité par tout autre point et son image après la rotation.

Le mot angle vient du latin angulus , qui signifie « coin ». Les mots apparentés incluent le grec ἀγκύλος ( ankylοs ) qui signifie « tordu, courbé » et le mot anglais « cheville ». Tous deux sont liés à la racine proto-indo-européenne *ank- , qui signifie « se courber » ou « s'incliner ».

Euclide définit un angle plan comme l'inclinaison l'une par rapport à l'autre, dans un plan, de deux lignes qui se rencontrent et ne sont pas droites l'une par rapport à l'autre. Selon le métaphysicien néoplatonicien Proclus , un angle doit être soit une qualité, soit une quantité, soit une relation. Le premier concept, l'angle comme qualité, a été utilisé par Eudème de Rhodes , qui considérait un angle comme une déviation par rapport à une ligne droite ; le deuxième, l'angle comme quantité, par Carpus d'Antioche , qui le considérait comme l'intervalle ou l'espace entre les lignes qui se croisent ; Euclide a adopté le troisième : l'angle comme relation.

Dans les expressions mathématiques , il est courant d'utiliser les lettres grecques ( α , β , γ , θ , φ , . . . ) comme variables indiquant la taille d'un angle (le symbole π n'est généralement pas utilisé à cette fin pour éviter toute confusion avec la constante désignée par ce symbole ). Les lettres romaines minuscules ( a , b , c , . . . ) sont également utilisées. Dans les contextes où cela ne prête pas à confusion, un angle peut être désigné par la lettre romaine majuscule désignant son sommet. Voir les figures de cet article pour des exemples.

Les trois points de définition peuvent également identifier des angles dans des figures géométriques. Par exemple, l'angle de sommet A formé par les rayons AB et AC (c'est-à-dire les demi-droites allant du point A aux points B et C) est noté ∠BAC ou . Lorsqu'il n'y a aucun risque de confusion, l'angle peut parfois être désigné par un seul sommet (dans ce cas, « angle A »).

D'une autre manière, un angle noté, par exemple, ∠BAC peut se référer à l'un des quatre angles suivants : l'angle dans le sens des aiguilles d'une montre de B à C autour de A, l'angle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de B à C autour de A, l'angle dans le sens des aiguilles d'une montre de C à B autour de A ou l'angle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de C à B autour de A, où la direction dans laquelle l'angle est mesuré détermine son signe (voir § Angles signés ). Cependant, dans de nombreuses situations géométriques, il ressort clairement du contexte que l'angle positif inférieur ou égal à 180 degrés est visé, et dans ces cas, aucune ambiguïté ne surgit. Sinon, pour éviter toute ambiguïté, des conventions spécifiques peuvent être adoptées de sorte que, par exemple, ∠BAC se réfère toujours à l'angle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (positif) de B à C autour de A et ∠CAB à l'angle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (positif) de C à B autour de A.

Il existe une terminologie courante pour les angles dont la mesure est toujours non négative (voir § Angles signés ) :

• Un angle égal à 0° ou non tourné est appelé angle nul .
• Un angle plus petit qu'un angle droit (moins de 90°) est appelé angle aigu (« aigu » signifiant « net »).
• Un angle égal à ⁠1/4tourner (90 ° ou ⁠π/2⁠ radians ) est appelé un angle droit . Deux lignes qui forment un angle droit sont dites normales , orthogonales ou perpendiculaires .
• Un angle plus grand qu'un angle droit et plus petit qu'un angle droit (entre 90° et 180°) est appelé angle obtus (« obtus » signifiant « émoussé »).
• Un angle égal à ⁠1/2⁠ un tour (180° ou π radians) est appelé un angle droit .
• Un angle plus grand qu'un angle droit mais inférieur à 1 tour (entre 180° et 360°) est appelé angle rentrant .
• Un angle égal à 1 tour (360° ou 2 π radians) est appelé angle plein , angle complet , angle rond ou périgone .
• Un angle qui n'est pas un multiple d'un angle droit est appelé angle oblique .

Les noms, les intervalles et les unités de mesure sont indiqués dans le tableau ci-dessous :

Lorsque deux droites se coupent en un point, quatre angles se forment. Ces angles sont nommés deux à deux en fonction de leur position relative.

Une transversale est une ligne qui coupe une paire de lignes (souvent parallèles) et est associée à des angles extérieurs , des angles intérieurs , des angles extérieurs alternes , des angles intérieurs alternes , des angles correspondants et des angles intérieurs consécutifs .

Le postulat d'addition d'angle stipule que si B est à l'intérieur de l'angle AOC, alors

C'est-à-dire que la mesure de l'angle AOC est la somme de la mesure de l'angle AOB et de la mesure de l'angle BOC.

Trois paires d’angles spéciales impliquent la sommation d’angles :

• Un angle qui fait partie d'un polygone simple est appelé angle intérieur s'il se trouve à l'intérieur de ce polygone simple. Un polygone concave simple possède au moins un angle intérieur, c'est-à-dire un angle rentrant. En géométrie euclidienne , les mesures des angles intérieurs d'un triangle totalisent π radians, soit 180°, ou ⁠1/2⁠ tour ; les mesures des angles intérieurs d'un quadrilatère convexe simple s'additionnent à 2 π radians, 360° ou 1 tour. En général, les mesures des angles intérieurs d'un polygone convexe simple à n côtés s'additionnent à ( n − 2) π radians, ou ( n − 2)180 degrés, ( n − 2)2 angles droits, ou ( n − 2) ⁠1/2tourner .
• Le supplément d'un angle intérieur est appelé angle extérieur ; c'est-à-dire qu'un angle intérieur et un angle extérieur forment une paire d'angles linéaire. Il y a deux angles extérieurs à chaque sommet du polygone, chacun déterminé en prolongeant l'un des deux côtés du polygone qui se rencontrent au sommet ; ces deux angles sont verticaux et sont donc égaux. Un angle extérieur mesure la quantité de rotation qu'il faut faire à un sommet pour tracer le polygone. Si l'angle intérieur correspondant est un angle rentrant, l'angle extérieur doit être considéré comme négatif . Même dans un polygone non simple, il peut être possible de définir l'angle extérieur. Il faudra néanmoins choisir une orientation du plan (ou de la surface ) pour décider du signe de la mesure de l'angle extérieur. En géométrie euclidienne, la somme des angles extérieurs d'un polygone convexe simple, si un seul des deux angles extérieurs est supposé à chaque sommet, sera égale à un tour complet (360°). L'angle extérieur ici pourrait être appelé angle extérieur supplémentaire . Les angles extérieurs sont couramment utilisés dans les programmes Logo Turtle pour dessiner des polygones réguliers.
• Dans un triangle , les bissectrices de deux angles extérieurs et la bissectrice de l'autre angle intérieur sont concourantes (se rencontrent en un seul point).
• Dans un triangle, trois points d'intersection, chacun d'une bissectrice d'angle externe avec le côté opposé prolongé , sont colinéaires .
• Dans un triangle, trois points d'intersection, deux entre une bissectrice intérieure et le côté opposé, et le troisième entre l'autre bissectrice extérieure et le côté opposé prolongé sont colinéaires.
• Certains auteurs utilisent le nom d'angle extérieur d'un polygone simple pour désigner l' angle extérieur explémenté ( et non le supplément !) de l'angle intérieur. Cela entre en conflit avec l'usage ci-dessus.

• L'angle entre deux plans (tels que deux faces adjacentes d'un polyèdre ) est appelé angle dièdre . Il peut être défini comme l'angle aigu entre deux lignes normales aux plans.
• L'angle entre un plan et une droite sécante est complémentaire de l'angle entre la droite sécante et la normale au plan.

La taille d'un angle géométrique est généralement caractérisée par la grandeur de la plus petite rotation qui fait correspondre l'un des rayons à l'autre. On dit que les angles de même taille sont égaux en congruence ou de même mesure .

Dans certains contextes, comme l'identification d'un point sur un cercle ou la description de l' orientation d'un objet en deux dimensions par rapport à une orientation de référence, les angles qui diffèrent d'un multiple exact d'un tour complet sont effectivement équivalents. Dans d'autres contextes, comme l'identification d'un point sur une courbe en spirale ou la description de la rotation cumulative d'un objet en deux dimensions par rapport à une orientation de référence, les angles qui diffèrent d'un multiple non nul d'un tour complet ne sont pas équivalents.

Pour mesurer un angle θ , on trace un arc de cercle centré au sommet de l'angle, par exemple à l'aide d'un compas . Le rapport entre la longueur s de l'arc et le rayon r du cercle est le nombre de radians de l'angle : Traditionnellement, en mathématiques et dans le SI , le radian est considéré comme étant égal à l' unité sans dimension 1, et est donc normalement omis.

L'angle exprimé par une autre unité angulaire peut alors être obtenu en multipliant l'angle par une constante de conversion appropriée de la forme ⁠k/2 π⁠ , où k est la mesure d'un tour complet exprimée dans l'unité choisie (par exemple, k = 360° pour les degrés ou 400 grad pour les grades ) :

La valeur de θ ainsi définie est indépendante de la taille du cercle : si la longueur du rayon est modifiée, alors la longueur de l'arc change dans la même proportion, donc le rapport s / r est inchangé.

Tout au long de l'histoire, les angles ont été mesurés dans diverses unités . Celles-ci sont connues sous le nom d'unités angulaires , les unités les plus contemporaines étant le degré (°), le radian (rad) et le grade (grad), bien que de nombreuses autres aient été utilisées au cours de l'histoire . La ​​plupart des unités de mesure angulaire sont définies de telle sorte qu'un tour (c'est-à-dire l'angle sous-tendu par la circonférence d'un cercle en son centre) soit égal à n unités, pour un nombre entier n . Deux exceptions sont le radian (et ses sous-multiples décimaux) et la partie diamètre.

Dans le Système international de grandeurs , un angle est défini comme une grandeur sans dimension, et en particulier, le radian est une unité sans dimension. Cette convention a une incidence sur la manière dont les angles sont traités dans l'analyse dimensionnelle .

Le tableau suivant répertorie certaines unités utilisées pour représenter les angles.

Il est souvent utile d'imposer une convention qui permet aux valeurs angulaires positives et négatives de représenter des orientations et/ou des rotations dans des directions opposées ou un « sens » par rapport à une référence.

Dans un système de coordonnées cartésiennes à deux dimensions , un angle est généralement défini par ses deux côtés, son sommet étant à l'origine. Le côté initial est sur l' axe des x positif , tandis que l'autre côté ou côté terminal est défini par la mesure du côté initial en radians, degrés ou tours, les angles positifs représentant les rotations vers l' axe des y positifs et les angles négatifs représentant les rotations vers l' axe des y négatifs . Lorsque les coordonnées cartésiennes sont représentées par la position standard , définie par l' axe des x vers la droite et l' axe des y vers le haut, les rotations positives sont dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et les cycles négatifs sont dans le sens des aiguilles d'une montre .

Dans de nombreux contextes, un angle de − θ est effectivement équivalent à un angle de « un tour complet moins θ ». Par exemple, une orientation représentée par −45° est effectivement égale à une orientation définie comme 360° − 45° ou 315°. Bien que la position finale soit la même, une rotation physique (mouvement) de −45° n'est pas la même qu'une rotation de 315° (par exemple, la rotation d'une personne tenant un balai posé sur un sol poussiéreux laisserait des traces visuellement différentes des régions balayées sur le sol).

En géométrie tridimensionnelle, les sens « horaire » et « antihoraire » n'ont pas de signification absolue, de sorte que la direction des angles positifs et négatifs doit être définie en termes d' orientation , qui est généralement déterminée par un vecteur normal passant par le sommet de l'angle et perpendiculaire au plan dans lequel se trouvent les rayons de l'angle.

En navigation , les relèvements ou azimuts sont mesurés par rapport au nord. Par convention, vu de dessus, les angles de relèvement sont positifs dans le sens des aiguilles d'une montre, donc un relèvement de 45° correspond à une orientation nord-est. Les relèvements négatifs ne sont pas utilisés en navigation, donc une orientation nord-ouest correspond à un relèvement de 315°.

• Les angles qui ont la même mesure (c'est-à-dire la même grandeur) sont dits égaux ou congruents . Un angle est défini par sa mesure et ne dépend pas de la longueur de ses côtés (par exemple, tous les angles droits ont la même mesure).
• Deux angles qui partagent des côtés terminaux, mais diffèrent en taille d'un multiple entier d'un tour, sont appelés angles coterminaux .
• L' angle de référence (parfois appelé angle relatif ) pour tout angle θ en position standard est l'angle aigu positif entre le côté terminal de θ et l'axe des x (positif ou négatif). De manière procédurale, la grandeur de l'angle de référence pour un angle donné peut être déterminée en prenant la grandeur de l'angle modulo ⁠1/2⁠ tourner, 180°, ou π radians, puis s'arrêter si l'angle est aigu, sinon prendre l'angle supplémentaire, 180° moins la grandeur réduite. Par exemple, un angle de 30 degrés est déjà un angle de référence, et un angle de 150 degrés a aussi un angle de référence de 30 degrés (180° − 150°). Les angles de 210° et 510° correspondent également à un angle de référence de 30 degrés (210° mod 180° = 30°, 510° mod 180° = 150° dont l'angle supplémentaire est de 30°).

Pour une unité angulaire, il est évident que le postulat d'addition des angles est valable. Parmi les quantités relatives aux angles pour lesquelles le postulat d'addition des angles n'est pas valable, on peut citer :

• La pente ou le gradient est égal à la tangente de l'angle ; un gradient est souvent exprimé en pourcentage. Pour des valeurs très petites (inférieures à 5 %), la pente d'une droite est approximativement la mesure en radians de son angle avec la direction horizontale.
• L' écart entre deux droites est défini en géométrie rationnelle comme le carré du sinus de l'angle entre les droites. Comme le sinus d'un angle et le sinus de son angle supplémentaire sont identiques, tout angle de rotation qui fait correspondre l'une des droites à l'autre conduit à la même valeur pour l'écart entre les droites.
• Bien que cela soit rarement fait, on peut rapporter les résultats directs des fonctions trigonométriques , comme le sinus de l'angle.

L'angle entre une droite et une courbe (angle mixte) ou entre deux courbes qui se croisent (angle curviligne) est défini comme étant l'angle entre les tangentes au point d'intersection. Divers noms (aujourd'hui rarement, voire jamais utilisés) ont été donnés à des cas particuliers : amphicyrtique (Gr. ἀμφί , des deux côtés, κυρτός, convexe) ou cissoïdal (Gr. κισσός, lierre), biconvexe ; xystoïdal ou sistoïdal (Gr. ξυστρίς, un outil pour gratter), concavo-convexe ; amphicoïlique (Gr. κοίλη, un creux) ou angulus lunularis , biconcave.

Les mathématiciens grecs de l'Antiquité savaient diviser un angle en deux angles de même mesure à l'aide d'un compas et d'une règle, mais ne pouvaient diviser en trois que certains angles. En 1837, Pierre Wantzel démontra que cette construction n'était pas réalisable pour la plupart des angles.

Dans l' espace euclidien , l'angle θ entre deux vecteurs euclidiens u et v est lié à leur produit scalaire et à leurs longueurs par la formule

Cette formule fournit une méthode simple pour trouver l'angle entre deux plans (ou surfaces courbes) à partir de leurs vecteurs normaux et entre les lignes obliques à partir de leurs équations vectorielles.

Pour définir les angles dans un espace de produit scalaire réel abstrait , nous remplaçons le produit scalaire euclidien ( · ) par le produit scalaire , c'est-à-dire

Dans un espace de produit interne complexe , l'expression du cosinus ci-dessus peut donner des valeurs non réelles, elle est donc remplacée par

ou, plus communément, en utilisant la valeur absolue, avec

Cette dernière définition ignore la direction des vecteurs. Elle décrit donc l'angle entre les sous-espaces unidimensionnels et engendré par les vecteurs et en conséquence.

La définition de l'angle entre les sous-espaces unidimensionnels et donné par

dans un espace de Hilbert peut être étendu à des sous-espaces de dimensions finies. Étant donnés deux sous-espaces , avec , ceci conduit à une définition d' angles appelés angles canoniques ou principaux entre sous-espaces.

En géométrie riemannienne , le tenseur métrique est utilisé pour définir l'angle entre deux tangentes . Où U et V sont des vecteurs tangents et g _ij sont les composantes du tenseur métrique G ,

Un angle hyperbolique est un argument d'une fonction hyperbolique tout comme l' angle circulaire est l'argument d'une fonction circulaire . La comparaison peut être visualisée comme la taille des ouvertures d'un secteur hyperbolique et d'un secteur circulaire puisque les aires de ces secteurs correspondent aux grandeurs d'angle dans chaque cas. Contrairement à l'angle circulaire, l'angle hyperbolique n'est pas borné. Lorsque les fonctions circulaires et hyperboliques sont considérées comme des séries infinies dans leur argument d'angle, les fonctions circulaires ne sont que des formes de séries alternées des fonctions hyperboliques. Cette comparaison des deux séries correspondant à des fonctions d'angles a été décrite par Leonhard Euler dans Introduction à l'analyse de l'infini (1748).

En géographie , l'emplacement de n'importe quel point de la Terre peut être identifié à l'aide d'un système de coordonnées géographiques . Ce système spécifie la latitude et la longitude de tout emplacement en termes d'angles sous-tendus au centre de la Terre, en utilisant l' équateur et (généralement) le méridien de Greenwich comme références.

En astronomie , un point donné sur la sphère céleste (c'est-à-dire la position apparente d'un objet astronomique) peut être identifié à l'aide de plusieurs systèmes de coordonnées astronomiques , où les références varient selon le système particulier. Les astronomes mesurent la séparation angulaire de deux étoiles en imaginant deux lignes passant par le centre de la Terre , chacune coupant l'une des étoiles. L'angle entre ces lignes et la séparation angulaire entre les deux étoiles peuvent être mesurés.

En géographie comme en astronomie, une direction de visée peut être spécifiée en termes d' angle vertical tel que l'altitude / élévation par rapport à l' horizon ainsi que l' azimut par rapport au nord .

Les astronomes mesurent également la taille apparente des objets sous forme de diamètre angulaire . Par exemple, la pleine lune a un diamètre angulaire d'environ 0,5° lorsqu'elle est vue depuis la Terre. On pourrait dire : « Le diamètre de la Lune sous-tend un angle d'un demi-degré. » La formule du petit angle permet de convertir une telle mesure angulaire en un rapport distance/taille.

D'autres approximations astronomiques incluent :

• 0,5° est le diamètre approximatif du Soleil et de la Lune vus de la Terre.
• 1° est la largeur approximative du petit doigt à bout de bras.
• 10° est la largeur approximative d'un poing fermé à bout de bras.
• 20° est la largeur approximative d'un empan à bout de bras.

Ces mesures dépendent de chaque sujet et les valeurs ci-dessus doivent être considérées comme des approximations empiriques uniquement.

En astronomie, l'ascension droite et la déclinaison sont généralement mesurées en unités angulaires, exprimées en termes de temps, sur la base d'une journée de 24 heures.