Quantité sans dimension

Les quantités sans dimension , ou quantités de dimension un, sont des quantités implicitement définies d'une manière qui empêche leur agrégation en unités de mesure . Généralement exprimées sous forme de ratios qui s'alignent sur un autre système, ces quantités ne nécessitent pas d'unités explicitement définies . Par exemple, le taux d'alcool par volume (ABV) représente un rapport volumétrique ; sa valeur reste indépendante des unités de volume spécifiques utilisées, comme les millilitres par millilitre (mL/mL).

Le nombre un est reconnu comme une quantité de base sans dimension . Les radians servent d'unités sans dimension pour les mesures angulaires , dérivées du rapport universel de 2π fois le rayon d'un cercle égal à sa circonférence.

Les quantités sans dimension jouent un rôle crucial en servant de paramètres dans les équations différentielles de diverses disciplines techniques. En calcul , des concepts tels que les rapports sans unité dans les limites ou les dérivées impliquent souvent des quantités sans dimension. En géométrie différentielle , l'utilisation de paramètres sans dimension est évidente dans les relations et les transformations géométriques. La physique s'appuie sur des nombres sans dimension comme le nombre de Reynolds en dynamique des fluides , la constante de structure fine en mécanique quantique , et le facteur de Lorentz en relativité . En chimie , les propriétés d'état et les rapports tels que les fractions molaires et les rapports de concentration sont sans dimension.

Les quantités de dimension un, les quantités sans dimension , apparaissent régulièrement dans les sciences et sont formellement traitées dans le domaine de l'analyse dimensionnelle . Au XIXe siècle, le mathématicien français Joseph Fourier et le physicien écossais James Clerk Maxwell ont conduit des développements importants dans les concepts modernes de dimension et d'unité . Les travaux ultérieurs des physiciens britanniques Osborne Reynolds et Lord Rayleigh ont contribué à la compréhension des nombres sans dimension en physique. S'appuyant sur la méthode d'analyse dimensionnelle de Rayleigh, Edgar Buckingham a prouvé le théorème π (indépendamment des travaux précédents du mathématicien français Joseph Bertrand ) pour formaliser la nature de ces quantités.

De nombreux nombres sans dimension, principalement des rapports, ont été inventés au début des années 1900, notamment dans les domaines de la mécanique des fluides et du transfert de chaleur . La mesure du logarithme des rapports sous forme de niveaux dans l'unité (dérivée) décibel (dB) est largement utilisée de nos jours.

Des propositions périodiques ont été faites pour « corriger » le système SI afin de réduire la confusion concernant les dimensions physiques. Par exemple, un éditorial de 2017 dans Nature a plaidé en faveur de la formalisation du radian en tant qu'unité physique. L'idée a été réfutée au motif qu'un tel changement entraînerait des incohérences à la fois pour les groupes sans dimension établis, comme le nombre de Strouhal , et pour les entités mathématiquement distinctes qui se trouvent avoir les mêmes unités, comme le couple (un produit vectoriel ) par rapport à l'énergie (un produit scalaire ). Dans un autre cas au début des années 2000, le Comité international des poids et mesures a discuté de la possibilité de nommer l'unité de 1 « uno », mais l'idée d'introduire simplement un nouveau nom SI pour 1 a été abandonnée.

Le théorème π de Buckingham indique que la validité des lois de la physique ne dépend pas d'un système d'unités spécifique. Une affirmation de ce théorème est que toute loi physique peut être exprimée comme une identité impliquant uniquement des combinaisons sans dimension (rapports ou produits) des variables liées par la loi (par exemple, la pression et le volume sont liés par la loi de Boyle – ils sont inversement proportionnels). Si les valeurs des combinaisons sans dimension changeaient avec les systèmes d'unités, alors l'équation ne serait pas une identité et le théorème de Buckingham ne serait pas valable.

Une autre conséquence du théorème est que la dépendance fonctionnelle entre un certain nombre (par exemple, n ) de variables peut être réduite par le nombre (par exemple, k ) de dimensions indépendantes présentes dans ces variables pour donner un ensemble de p = n − k quantités indépendantes et sans dimension . Pour les besoins de l'expérimentateur, différents systèmes qui partagent la même description par quantité sans dimension sont équivalents.

Les nombres entiers peuvent représenter des quantités sans dimension. Ils peuvent représenter des quantités discrètes, qui peuvent également être sans dimension. Plus spécifiquement, les nombres dénombrables peuvent être utilisés pour exprimer des quantités dénombrables . Le concept est formalisé comme quantité nombre d'entités (symbole N ) dans la norme ISO 80000-1 . Les exemples incluent le nombre de particules et la taille de la population . En mathématiques, le « nombre d'éléments » dans un ensemble est appelé cardinalité . Les noms dénombrables sont un concept linguistique connexe. Les nombres dénombrables, tels que le nombre de bits , peuvent être composés d'unités de fréquence ( seconde inverse ) pour dériver des unités de taux de comptage, telles que les bits par seconde . Les données de comptage sont un concept connexe en statistique. Le concept peut être généralisé en permettant aux nombres non entiers de représenter des fractions d'un élément complet, par exemple, un nombre de tours égal à un demi.

Les quantités sans dimension peuvent être obtenues sous forme de rapports de quantités qui ne sont pas sans dimension, mais dont les dimensions s'annulent dans l'opération mathématique. Des exemples de quotients de dimension un incluent le calcul de pentes ou de certains facteurs de conversion d'unités . Un autre ensemble d'exemples est celui des fractions massiques ou des fractions molaires , souvent écrites en utilisant la notation parties par telles que ppm (= 10 ⁻⁶ ), ppb (= 10 ⁻⁹ ) et ppt (= 10 ⁻¹² ), ou peut-être de manière déroutante sous forme de rapports de deux unités identiques ( kg /kg ou mol /mol). Par exemple, l'alcool par volume , qui caractérise la concentration d' éthanol dans une boisson alcoolisée , pourrait s'écrire mL / 100 mL .

D'autres proportions courantes sont les pourcentages % (= 0,01), ‰ (= 0,001). Certaines unités d'angle telles que le tour , le radian et le stéradian sont définies comme des rapports de quantités du même type. En statistique, le coefficient de variation est le rapport de l' écart type à la moyenne et est utilisé pour mesurer la dispersion des données .

Il a été avancé que les quantités définies comme des rapports Q = A / B ayant des dimensions égales au numérateur et au dénominateur ne sont en fait que des quantités sans unité et ont toujours une dimension physique définie comme dim Q = dim A × dim B ⁻¹ . Par exemple, la teneur en humidité peut être définie comme un rapport de volumes (humidité volumétrique, m ³ ⋅m ⁻³ , dimension L ³ ⋅L ⁻³ ) ou comme un rapport de masses (humidité gravimétrique, unités kg⋅kg ⁻¹ , dimension M⋅M ⁻¹ ); les deux seraient des quantités sans unité, mais de dimension différente.

Certaines constantes physiques universelles, telles que la vitesse de la lumière dans le vide, la constante gravitationnelle universelle , la constante de Planck , la constante de Coulomb et la constante de Boltzmann peuvent être normalisées à 1 si des unités appropriées pour le temps , la longueur , la masse , la charge et la température sont choisies. Le système d'unités résultant est connu sous le nom d' unités naturelles , en particulier en ce qui concerne ces cinq constantes, les unités de Planck . Cependant, toutes les constantes physiques ne peuvent pas être normalisées de cette manière. Par exemple, les valeurs des constantes suivantes sont indépendantes du système d'unités, ne peuvent pas être définies et ne peuvent être déterminées qu'expérimentalement :

• contrainte technique , une mesure de la déformation physique définie comme un changement de longueur divisé par la longueur initiale.

• constante de structure fine , α ≈ 1/137 qui caractérise l'amplitude de l' interaction électromagnétique entre les électrons.
• β (ou μ ) ≈ 1836, le rapport de masse proton/électron . Ce rapport est la masse au repos du proton divisée par celle de l' électron . Un rapport analogue peut être défini pour toute particule élémentaire ;
• Résistance du couplage de force forte α _s ≈ 1 ;
• Rapport de masse de Planck de la masse de toute particule élémentaire donnée, .

• Facteur de Lorentz – paramètre utilisé dans le contexte de la relativité restreinte pour la dilatation du temps, la contraction de la longueur et les effets relativistes entre les observateurs se déplaçant à des vitesses différentes
• Nombre de Fresnel – nombre d'onde (fréquence spatiale) en fonction de la distance
• Nombre de Mach – rapport entre la vitesse d’un objet ou d’un écoulement et la vitesse du son dans le fluide.

• Bêta (physique du plasma) – rapport entre la pression du plasma et la pression magnétique, utilisé en physique magnétosphérique ainsi qu'en physique du plasma de fusion.
• Nombres de Damköhler (Da) – utilisés en génie chimique pour relier l'échelle de temps de réaction chimique (taux de réaction) au taux de phénomènes de transport se produisant dans un système.
• Module de Thiele – décrit la relation entre la diffusion et la vitesse de réaction dans les pastilles de catalyseur poreuses sans limitations de transfert de masse.
• Ouverture numérique – caractérise la plage d’angles sur laquelle le système peut accepter ou émettre de la lumière.
• Le nombre de Sherwood (également appelé nombre de Nusselt de transfert de masse ) est un nombre sans dimension utilisé dans les opérations de transfert de masse. Il représente le rapport entre le transfert de masse par convection et le taux de transport de masse par diffusion.
• Nombre de Schmidt – défini comme le rapport entre la diffusivité de l'impulsion (viscosité cinématique) et la diffusivité de la masse, et est utilisé pour caractériser les écoulements de fluides dans lesquels il existe des processus simultanés de convection par diffusion de l'impulsion et de la masse.
• Le nombre de Reynolds est couramment utilisé en mécanique des fluides pour caractériser l'écoulement, en intégrant à la fois les propriétés du fluide et de l'écoulement. Il est interprété comme le rapport des forces d'inertie aux forces visqueuses et peut indiquer le régime d'écoulement ainsi qu'être corrélé au chauffage par frottement dans l'application à l'écoulement dans les tuyaux.
• Le nombre de Zukoski, généralement noté , est le rapport entre le taux de dégagement de chaleur d'un incendie et l'enthalpie du débit de gaz circulant dans l'incendie. Les incendies accidentels et naturels ont généralement un . Les incendies à propagation plate tels que les incendies de forêt ont . Les incendies provenant de récipients ou de tuyaux sous pression, avec une quantité de mouvement supplémentaire causée par la pression, ont .
• Numéro d'Eckert
• Numéro de Biot
• Numéro de Grashof

• Densité relative – densité par rapport à l’eau
• Masse atomique relative , Poids atomique standard
• Constante d'équilibre (qui est parfois sans dimension)

• Le coût du transport est l' efficacité du déplacement d'un endroit à un autre
• L'élasticité est la mesure de la variation proportionnelle d'une variable économique en réponse à une variation d'une autre.
• Le taux de reproduction de base est un rapport sans dimension utilisé en épidémiologie pour quantifier la transmissibilité d'une infection.