Nombre naturel

En mathématiques , les nombres naturels sont les nombres 0, 1, 2, 3, etc., en excluant éventuellement 0. Certains commencent à compter à 0, en définissant les nombres naturels comme les entiers non négatifs 0, 1, 2, 3, ... , tandis que d'autres commencent à 1, en les définissant comme les entiers positifs 1, 2, 3, .... [ Certains auteurs reconnaissent les deux définitions lorsque cela est pratique. Parfois, les nombres entiers sont les nombres naturels plus zéro. Dans d'autres cas, les nombres entiers se réfèrent à tous les entiers , y compris les entiers négatifs. Les nombres de comptage sont un autre terme pour les nombres naturels, en particulier dans l'enseignement primaire, et sont également ambigus bien qu'ils commencent généralement à 1.

Les nombres naturels sont utilisés pour compter des choses, comme « il y a six pièces sur la table », auquel cas ils sont appelés nombres cardinaux . Ils sont également utilisés pour mettre les choses en ordre, comme « c'est la troisième plus grande ville du pays », qui sont appelés nombres ordinaux . Les nombres naturels sont également utilisés comme étiquettes, comme les numéros de maillot d'une équipe sportive, où ils servent de nombres nominaux et n'ont pas de propriétés mathématiques.

Les nombres naturels forment un ensemble , généralement symbolisé par un N gras ou un tableau noir gras ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {N} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ . De nombreux autres ensembles de nombres sont construits à partir des nombres naturels. Par exemple, les entiers sont constitués en additionnant 0 et des nombres négatifs. Les nombres rationnels additionnent des fractions et les nombres réels additionnent des décimales infinies. Les nombres complexes additionnent la racine carrée de −1 . Cette chaîne d'extensions intègre canoniquement les nombres naturels dans les autres systèmes numériques.

Les nombres naturels sont étudiés dans différents domaines des mathématiques. La théorie des nombres étudie des aspects tels que la manière dont les nombres se divisent de manière égale ( divisibilité ) ou la manière dont les nombres premiers sont répartis. La combinatoire étudie le comptage et l'agencement d'objets numérotés, tels que les partitions et les énumérations .

Histoire

Des racines anciennes

La méthode la plus primitive pour représenter un nombre naturel consiste à utiliser les doigts, comme pour compter sur les doigts . Une autre méthode primitive consiste à marquer chaque objet. Plus tard, un ensemble d'objets pourrait être testé pour déterminer s'il y a égalité, excès ou manque, en rayant une marque et en retirant un objet de l'ensemble.

La première avancée majeure dans l'abstraction fut l'utilisation de chiffres pour représenter les nombres. Cela permit de développer des systèmes pour enregistrer de grands nombres. Les anciens Égyptiens développèrent un puissant système de chiffres avec des hiéroglyphes distincts pour 1, 10 et toutes les puissances de 10 jusqu'à plus d'un million. Une sculpture en pierre de Karnak , datant d'environ 1500 avant J.-C. et aujourd'hui conservée au Louvre à Paris, représente 276 comme 2 centaines, 7 dizaines et 6 unités ; et il en va de même pour le nombre 4 622. Les Babyloniens avaient un système de valeur de position basé essentiellement sur les chiffres de 1 et 10, utilisant la base soixante, de sorte que le symbole de soixante était le même que le symbole de un, sa valeur étant déterminée par le contexte.

Une avancée beaucoup plus tardive fut le développement de l'idée que 0 peut être considéré comme un nombre, avec son propre chiffre. L'utilisation d'un chiffre 0 dans la notation de valeur de position (dans d'autres nombres) remonte à 700 av. J.-C. par les Babyloniens, qui ont omis un tel chiffre alors qu'il aurait été le dernier symbole du nombre. Les civilisations olmèque et maya ont utilisé le 0 comme un nombre séparé dès le 1er siècle av. J.-C. , mais cet usage ne s'est pas répandu au-delà de la Méso-Amérique . L'utilisation d'un chiffre 0 dans les temps modernes est née avec le mathématicien indien Brahmagupta en 628 de notre ère. Cependant, 0 avait été utilisé comme nombre dans le computus médiéval (le calcul de la date de Pâques), à partir de Denys le Petit en 525 de notre ère, sans être désigné par un chiffre. Les chiffres romains standard n'ont pas de symbole pour 0 ; à la place, nulla (ou le génitif nullae ) de nullus , le mot latin pour « aucun », a été utilisé pour désigner une valeur 0.

La première étude systématique des nombres en tant qu'abstractions est généralement attribuée aux philosophes grecs Pythagore et Archimède . Certains mathématiciens grecs traitaient le nombre 1 différemment des nombres plus grands, parfois même pas du tout comme un nombre. Euclide , par exemple, a d'abord défini une unité, puis un nombre comme une multitude d'unités, ainsi, selon sa définition, une unité n'est pas un nombre et il n'y a pas de nombre unique (par exemple, deux unités quelconques parmi un nombre infini d'unités sont un 2). Cependant, dans la définition du nombre parfait qui vient peu de temps après, Euclide traite 1 comme un nombre comme n'importe quel autre.

Des études indépendantes sur les chiffres ont également été réalisées à peu près à la même époque en Inde , en Chine et en Méso-Amérique .

L'émergence comme terme

Nicolas Chuquet a utilisé le terme progression naturelle en 1484. La première utilisation connue de « nombre naturel » en tant qu'expression anglaise complète remonte à 1763. L'Encyclopaedia Britannica de 1771 définit les nombres naturels dans l'article sur le logarithme.

Commencer à 0 ou 1 a longtemps été une question de définition. En 1727, Bernard Le Bovier de Fontenelle écrivait que ses notions de distance et d'élément ont conduit à définir les nombres naturels comme incluant ou excluant 0. En 1889, Giuseppe Peano a utilisé N pour les entiers positifs et a commencé à 1, mais il a ensuite changé pour utiliser N ₀ et N ₁ . Historiquement, la plupart des définitions ont exclu 0, mais de nombreux mathématiciens tels que George A. Wentworth , Bertrand Russell , Nicolas Bourbaki , Paul Halmos , Stephen Cole Kleene et John Horton Conway ont préféré inclure 0.

Français Les mathématiciens ont noté des tendances dans lesquelles la définition est utilisée, comme les textes d'algèbre incluant 0, les textes de théorie et d'analyse des nombres excluant 0, les textes de logique et de théorie des ensembles incluant 0, les dictionnaires excluant 0, les manuels scolaires (jusqu'au niveau secondaire) excluant 0, et les manuels de niveau universitaire supérieur incluant 0. Il existe des exceptions à chacune de ces tendances et en 2023 aucune enquête formelle n'a été menée. Les arguments avancés incluent la division par zéro et la taille de l' ensemble vide . Les langages informatiques commencent souvent à partir de zéro lors de l'énumération d'éléments tels que les compteurs de boucles et les éléments de chaîne ou de tableau . L'inclusion de 0 a commencé à gagner en popularité dans les années 1960. La norme ISO 31-11 incluait 0 dans les nombres naturels dans sa première édition en 1978 et cela a continué jusqu'à son édition actuelle sous la forme de la norme ISO 80000-2 .

Construction formelle

Au XIXe siècle en Europe, la nature exacte des nombres naturels a fait l'objet de discussions mathématiques et philosophiques. Henri Poincaré a déclaré que les axiomes ne peuvent être démontrés que dans leur application finie et a conclu que c'est « le pouvoir de l'esprit » qui permet de concevoir la répétition indéfinie du même acte. Leopold Kronecker a résumé sa croyance ainsi : « Dieu a créé les nombres entiers, tout le reste est l'œuvre de l'homme ».

Les constructivistes ont vu la nécessité d'améliorer la rigueur logique dans les fondements des mathématiques . Dans les années 1860, Hermann Grassmann a suggéré une définition récursive des nombres naturels, affirmant ainsi qu'ils n'étaient pas vraiment naturels, mais une conséquence des définitions. Plus tard, deux classes de telles définitions formelles ont émergé, utilisant respectivement la théorie des ensembles et les axiomes de Peano. Plus tard encore, il a été démontré qu'elles étaient équivalentes dans la plupart des applications pratiques.

Les définitions des nombres naturels selon la théorie des ensembles ont été initiées par Frege . Il a initialement défini un nombre naturel comme la classe de tous les ensembles qui sont en correspondance biunivoque avec un ensemble particulier. Cependant, cette définition s'est avérée conduire à des paradoxes, notamment le paradoxe de Russell . Pour éviter de tels paradoxes, le formalisme a été modifié de sorte qu'un nombre naturel soit défini comme un ensemble particulier, et tout ensemble qui peut être mis en correspondance biunivoque avec cet ensemble est dit avoir ce nombre d'éléments.

En 1881, Charles Sanders Peirce fournit la première axiomatisation de l'arithmétique des nombres naturels. En 1888, Richard Dedekind propose une autre axiomatisation de l'arithmétique des nombres naturels, et en 1889, Peano publie une version simplifiée des axiomes de Dedekind dans son livre Les principes de l'arithmétique présentés par une nouvelle méthode ( en latin : Arithmetices principia, nova methodo exposita ). Cette approche est désormais appelée arithmétique de Peano . Elle est basée sur une axiomatisation des propriétés des nombres ordinaux : chaque nombre naturel a un successeur et chaque nombre naturel non nul a un prédécesseur unique. L'arithmétique de Peano est équiconsistante avec plusieurs systèmes faibles de théorie des ensembles . L'un de ces systèmes est ZFC avec l' axiome de l'infini remplacé par sa négation. Les théorèmes qui peuvent être prouvés en ZFC mais qui ne peuvent pas être prouvés en utilisant les axiomes de Peano incluent le théorème de Goodstein .

Notation

L' ensemble de tous les nombres naturels est généralement noté N ou Des textes plus anciens ont parfois utilisé J comme symbole pour cet ensemble. ${\displaystyle \mathbb {N} . <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {N} .}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les nombres naturels pouvant contenir 0 ou non, il peut être important de savoir à quelle version on se réfère. Cela est souvent précisé par le contexte, mais peut également être fait en utilisant un indice ou un exposant dans la notation, comme par exemple :

Naturels sans zéro : ${\displaystyle \{1,2,...\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}=\mathbb {N} _{1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∖</mo> <mo>{</mo> <mn>0</mn> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{1,2,...\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}=\mathbb {N} _{1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Naturels avec zéro : ${\displaystyle \;\{0,1,2,...\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mspace></mspace> <mo>{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>∪</mo> <mo>{</mo> <mn>0</mn> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \;\{0,1,2,...\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Alternativement, étant donné que les nombres naturels forment naturellement un sous-ensemble des entiers (souvent notés ), ${\displaystyle \mathbb {Z} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ils peuvent être appelés respectivement entiers positifs ou entiers non négatifs. Pour ne pas avoir d'ambiguïté quant à savoir si 0 est inclus ou non, on ajoute parfois un exposant « » ou « + » dans le premier cas, et un indice (ou exposant) « 0 » dans le second cas : ${\displaystyle * <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>∗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle *}</annotation> </semantics> </math><img src=$

0\}=\mathbb {Z} ^{+}=\mathbb {Z} _{>0 {1, 2, 3, \dots} = {x \in Z : x > 0} = Z^{+} = Z_{> 0}

0\}=\mathbb {Z} ^{+}=\mathbb {Z} _{>0}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2e839bbf7dd82a83e4bf60c01b5a38c37e4096">

{\displaystyle \{0,1,2,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x\geq 0\}=\mathbb {Z} _{0}^{+}=\mathbb {Z} _{\geq 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mo>+</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mrow> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{0,1,2,\points \}=\{x\dans \mathbb {Z} :x\geq 0\}=\mathbb {Z} _{0}^{+}=\mathbb {Z} _{\geq 0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Propriétés

Cette section utilise la convention . ${\displaystyle \mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>∪</mo> <mo>{</mo> <mn>0</mn> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ajout

Étant donné l'ensemble des nombres naturels et la fonction successeur qui envoie chaque nombre naturel au suivant, on peut définir l'addition d'entiers naturels de manière récursive en posant a + 0 = a et a + S ( b ) = S ( a + b ) pour tout a , b . Ainsi, a + 1 = a + S(0) = S( a +0) = S( a ) , a + 2 = a + S(1) = S( a +1) = S(S( a )) , et ainsi de suite. La structure algébrique est un monoïde commutatif d' élément neutre 0. C'est un monoïde libre sur un générateur. Ce monoïde commutatif satisfait la propriété d'annulation , il peut donc être intégré dans un groupe . Le plus petit groupe contenant les nombres naturels est celui des entiers . ${\displaystyle \mathbb {N} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S\colon \mathbb {N} o \mathbb {N} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>S</mi> <mo>:</mo> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mo>→</mo> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S\colon \mathbb {N} o \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (\mathbb {N},+)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si 1 est défini comme S (0) , alors b + 1 = b + S (0) = S ( b +0) = S ( b ) . Autrement dit, b + 1 est simplement le successeur de b .

Multiplication

De même, étant donné que l'addition a été définie, un opérateur de multiplication peut être défini via a × 0 = 0 et a × S( b ) = ( a × b ) + a . Cela donne un monoïde commutatif libre avec un élément d'identité 1 ; un ensemble générateur pour ce monoïde est l'ensemble des nombres premiers . ${\displaystyle imes <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>×</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle imes }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ^{*}, imes ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>×</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (\mathbb {N} ^{*}, imes )}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Relation entre l'addition et la multiplication

L'addition et la multiplication sont compatibles, ce qui s'exprime dans la loi de distribution : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) . Ces propriétés de l'addition et de la multiplication font des nombres naturels une instance de semi-anneau commutatif . Les semi-anneaux sont une généralisation algébrique des nombres naturels où la multiplication n'est pas nécessairement commutative. L'absence d'inverses additives, qui équivaut au fait que n'est pas fermé par soustraction (c'est-à-dire que soustraire un naturel d'un autre n'entraîne pas toujours un autre naturel), signifie que n'est pas un anneau ; c'est plutôt un semi-anneau (également connu sous le nom de rig ). ${\displaystyle \mathbb {N} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {N} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si les nombres naturels sont considérés comme « excluant 0 » et « commençant à 1 », les définitions de + et × sont les mêmes que ci-dessus, sauf qu'elles commencent par a + 1 = S ( a ) et a × 1 = a . De plus, n'a pas d'élément d'identité. ${\displaystyle (\mathbb {N^{*}} ,+) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>N</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (\mathbb {N^{*}},+)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Commande

Dans cette section, les variables juxtaposées telles que ab indiquent le produit a × b , et l'ordre standard des opérations est supposé.

Un ordre total sur les entiers naturels est défini en posant a ≤ b si et seulement s'il existe un autre entier naturel c où a + c = b . Cet ordre est compatible avec les opérations arithmétiques au sens suivant : si a , b et c sont des entiers naturels et a ≤ b , alors a + c ≤ b + c et ac ≤ bc .

Une propriété importante des entiers naturels est qu'ils sont bien ordonnés : tout ensemble non vide d'entiers naturels possède un plus petit élément. Le rang parmi les ensembles bien ordonnés est exprimé par un nombre ordinal ; pour les entiers naturels, celui-ci est noté ω (oméga).

Division

Dans cette section, les variables juxtaposées telles que ab indiquent le produit a × b , et l' ordre standard des opérations est supposé.

Bien qu'il ne soit en général pas possible de diviser un nombre naturel par un autre et d'obtenir un nombre naturel comme résultat, la procédure de division avec reste ou division euclidienne est disponible comme substitut : pour deux nombres naturels a et b avec b ≠ 0, il existe des nombres naturels q et r tels que

{\displaystyle a=bq+r{ ext{ and }}r<b. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>un</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mi>q</mi> <mo>+</mo> <mi>l</mi> <mrow> <mtext> et </mtext> </mrow> <mi>l</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a=bq+r{ ext{ et }}r<b.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Le nombre q est appelé quotient et r est appelé reste de la division de a par b . Les nombres q et r sont déterminés de manière unique par a et b . Cette division euclidienne est la clé de plusieurs autres propriétés ( divisibilité ), algorithmes (tels que l' algorithme d'Euclide ) et idées de la théorie des nombres.

Propriétés algébriques satisfaites par les nombres naturels

Les opérations d'addition (+) et de multiplication (×) sur les nombres naturels telles que définies ci-dessus ont plusieurs propriétés algébriques :

Fermeture sous addition et multiplication : pour tous les nombres naturels a et b , a + b et a × b sont tous deux des nombres naturels.
Associativité : pour tous les nombres naturels a , b et c , a + ( b + c ) = ( a + b ) + c et a × ( b × c ) = ( a × b ) × c .
Commutativité : pour tous les nombres naturels a et b , a + b = b + a et a × b = b × a .
Existence d' éléments d'identité : pour tout nombre naturel a , a + 0 = a et a × 1 = a .
- Si les nombres naturels sont considérés comme « excluant 0 » et « commençant à 1 », alors pour tout nombre naturel a , a × 1 = a . Cependant, la propriété « existence d'un élément d'identité additif » n'est pas satisfaite
Distributivité de la multiplication sur l'addition pour tous les nombres naturels a , b et c , a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) .
Pas de diviseurs nuls non nuls : si a et b sont des nombres naturels tels que a × b = 0 , alors a = 0 ou b = 0 (ou les deux).

Généralisations

Deux généralisations importantes des nombres naturels découlent des deux utilisations du comptage et du classement : les nombres cardinaux et les nombres ordinaux .

Un nombre naturel peut être utilisé pour exprimer la taille d'un ensemble fini ; plus précisément, un nombre cardinal est une mesure de la taille d'un ensemble, qui convient même aux ensembles infinis. La numérotation des cardinaux commence généralement à zéro, pour tenir compte de l' ensemble vide . Ce concept de « taille » repose sur des applications entre ensembles, telles que deux ensembles ont la même taille , exactement s'il existe une bijection entre eux. L'ensemble des nombres naturels lui-même, et toute image bijective de celui-ci, est dit dénombrablement infini et de cardinalité aleph-null ( ℵ ₀ ). ${\displaystyle \emptyset <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>∅</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \emptyset }</annotation> </semantics> </math><img src=$
Les nombres naturels sont aussi utilisés comme nombres ordinaux linguistiques : « premier », « deuxième », « troisième », etc. La numérotation des ordinaux commence généralement à zéro, pour s'adapter au type d'ordre de l' ensemble vide . De cette façon, ils peuvent être assignés aux éléments d'un ensemble fini totalement ordonné, et aussi aux éléments de tout ensemble dénombrable infini bien ordonné sans points limites . Cette assignation peut être généralisée aux ordres bien généraux avec une cardinalité au-delà de la dénombrabilité, pour donner les nombres ordinaux. Un nombre ordinal peut aussi être utilisé pour décrire la notion de « taille » pour un ensemble bien ordonné, dans un sens différent de la cardinalité : s'il existe un isomorphisme d'ordre (plus qu'une bijection) entre deux ensembles bien ordonnés, ils ont le même nombre ordinal. Le premier nombre ordinal qui n'est pas un nombre naturel est exprimé par ω ; c'est aussi le nombre ordinal de l'ensemble des nombres naturels lui-même. ${\displaystyle \emptyset <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>∅</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \emptyset }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le plus petit ordinal de cardinalité ℵ ₀ (c'est-à-dire l' ordinal initial de ℵ ₀ ) est ω mais de nombreux ensembles bien ordonnés de nombre cardinal ℵ ₀ ont un nombre ordinal supérieur à ω .

Pour les ensembles finis bien ordonnés, il existe une correspondance bijective entre les nombres ordinaux et cardinaux ; ils peuvent donc tous deux être exprimés par le même nombre naturel, le nombre d'éléments de l'ensemble. Ce nombre peut également être utilisé pour décrire la position d'un élément dans une suite finie plus grande, ou une suite infinie .

Un modèle arithmétique dénombrable non standard satisfaisant l'arithmétique de Peano (c'est-à-dire les axiomes de Peano du premier ordre) a été développé par Skolem en 1933. Les nombres hypernaturels sont un modèle indénombrable qui peut être construit à partir des nombres naturels ordinaires via la construction ultrapuissante . D'autres généralisations sont abordées dans Nombre § Extensions du concept .

Georges Reeb avait l'habitude de prétendre de manière provocatrice que « Les nombres entiers naïfs ne se remplissent pas ». ${\displaystyle \mathbb {N} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Définitions formelles

Il existe deux méthodes standard pour définir formellement les nombres naturels. La première, nommée en l'honneur de Giuseppe Peano , consiste en une théorie axiomatique autonome appelée arithmétique de Peano , basée sur quelques axiomes appelés axiomes de Peano .

La deuxième définition est basée sur la théorie des ensembles . Elle définit les entiers naturels comme des ensembles spécifiques . Plus précisément, chaque entier naturel n est défini comme un ensemble explicitement défini, dont les éléments permettent de compter les éléments d'autres ensembles, au sens où la phrase "un ensemble S a n éléments" signifie qu'il existe une correspondance bijective entre les deux ensembles n et S.

Les ensembles utilisés pour définir les nombres naturels satisfont les axiomes de Peano. Il s'ensuit que tout théorème qui peut être énoncé et prouvé en arithmétique de Peano peut également être prouvé en théorie des ensembles. Cependant, les deux définitions ne sont pas équivalentes, car il existe des théorèmes qui peuvent être énoncés en termes d'arithmétique de Peano et prouvés en théorie des ensembles, mais qui ne sont pas prouvables à l'intérieur de l'arithmétique de Peano. Un exemple probable est le dernier théorème de Fermat .

La définition des entiers comme des ensembles satisfaisant les axiomes de Peano fournit un modèle de l'arithmétique de Peano au sein de la théorie des ensembles. Une conséquence importante est que, si la théorie des ensembles est cohérente (comme on le suppose généralement), alors l'arithmétique de Peano est cohérente. En d'autres termes, si une contradiction pouvait être prouvée dans l'arithmétique de Peano, alors la théorie des ensembles serait contradictoire, et chaque théorème de la théorie des ensembles serait à la fois vrai et faux.

Axiomes de Peano

Les cinq axiomes de Peano sont les suivants :

0 est un nombre naturel.
Chaque nombre naturel a un successeur qui est également un nombre naturel.
0 n'est le successeur d'aucun nombre naturel.
Si le successeur de est égal au successeur de , alors est égal à . ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>et</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>et</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src=$
L' axiome d'induction : Si un énoncé est vrai pour 0, et si la vérité de cet énoncé pour un nombre implique sa vérité pour le successeur de ce nombre, alors l'énoncé est vrai pour tout nombre naturel.

Ce ne sont pas les axiomes originaux publiés par Peano, mais ils sont nommés en son honneur. Certaines formes des axiomes de Peano ont 1 à la place de 0. En arithmétique ordinaire, le successeur de est . ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x+1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x+1}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Définition de la théorie des ensembles

Intuitivement, l'entier naturel n est la propriété commune de tous les ensembles qui ont n éléments. Il semble donc naturel de définir n comme une classe d'équivalence sous la relation "peut être réalisé en correspondance biunivoque ". Cela ne fonctionne pas dans toutes les théories des ensembles , car une telle classe d'équivalence ne serait pas un ensemble (à cause du paradoxe de Russell ). La solution standard est de définir un ensemble particulier à n éléments qui sera appelé l'entier naturel n .

La définition suivante a été publiée pour la première fois par John von Neumann , bien que Levy attribue l'idée à un travail inédit de Zermelo en 1916. Comme cette définition s'étend à l'ensemble infini comme définition du nombre ordinal , les ensembles considérés ci-dessous sont parfois appelés ordinaux de von Neumann .

La définition se déroule comme suit :

Appelez 0 = { } , l' ensemble vide .
Définir le successeur S ( a ) de tout ensemble a par S ( a ) = a ∪ { a } .
Par l' axiome de l'infini , il existe des ensembles qui contiennent 0 et qui sont fermés par la fonction successeur. De tels ensembles sont dits inductifs . L'intersection de tous les ensembles inductifs est toujours un ensemble inductif.
Cette intersection est l'ensemble des nombres naturels .

Il s'ensuit que les nombres naturels sont définis de manière itérative comme suit :

0 = { } ,
1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }} ,
2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}} ,
3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} ,
n = n −1 ∪ { n −1} = {0, 1, ..., n −1} = {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, ...}} ,
etc.

On peut vérifier que les nombres naturels satisfont les axiomes de Peano .

Avec cette définition, étant donné un entier naturel n , la phrase « un ensemble S a n éléments » peut être formellement définie comme « il existe une bijection de n vers S ». Cela formalise l'opération de comptage des éléments de S . De plus, n ≤ m si et seulement si n est un sous-ensemble de m . En d'autres termes, l' inclusion d'ensemble définit l' ordre total habituel sur les entiers naturels. Cet ordre est un bon ordre .

Il résulte de la définition que chaque nombre naturel est égal à l'ensemble de tous les nombres naturels inférieurs à lui. Cette définition peut être étendue à la définition de von Neumann des ordinaux pour définir tous les nombres ordinaux , y compris les nombres infinis : « chaque ordinal est l'ensemble bien ordonné de tous les ordinaux plus petits ».

Si l'on n'accepte pas l'axiome de l'infini , les nombres naturels ne peuvent pas former un ensemble. Néanmoins, les nombres naturels peuvent toujours être définis individuellement comme ci-dessus, et ils satisfont toujours aux axiomes de Peano.

Il existe d'autres constructions théoriques des ensembles. En particulier, Ernst Zermelo a fourni une construction qui n'a aujourd'hui qu'un intérêt historique et qui est parfois appeléeOrdinaux de Zermelo .Il consiste à définir0comme l'ensemble vide, et S ( a ) = { a }.

Avec cette définition, chaque entier naturel non nul est un ensemble singleton . Ainsi, la propriété des entiers naturels de représenter des cardinalités n'est pas directement accessible ; seule la propriété ordinale (être le n -ième élément d'une suite) est immédiate. Contrairement à la construction de von Neumann, les ordinaux de Zermelo ne s'étendent pas aux ordinaux infinis.