Fonction L d'Artin

En mathématiques , une fonction L d'Artin est un type de série de Dirichlet associée à une représentation linéaire ρ d'un groupe de Galois G. Ces fonctions ont été introduites en 1923 par Emil Artin , dans le cadre de ses recherches sur la théorie des corps de classes . Leurs propriétés fondamentales, en particulier la conjecture d'Artin décrite ci-dessous, se sont révélées difficiles à démontrer facilement. L'un des objectifs de la théorie des corps de classes non-abélienne proposée est d'incorporer la nature analytique complexe des fonctions L d'Artin dans un cadre plus large, tel que celui fourni par les formes automorphes et le programme de Langlands . Jusqu'à présent, seule une petite partie d'une telle théorie a été mise sur des bases solides.

Étant donné , une représentation de sur un espace vectoriel complexe de dimension finie , où est le groupe de Galois de l' extension finie des corps de nombres, la fonction d'Artin est définie par un produit d'Euler . Pour chaque idéal premier de l' anneau d'entiers de , il existe un facteur d'Euler, qui est le plus facile à définir dans le cas où n'est pas ramifié dans (vrai pour presque tous les ). Dans ce cas, l' élément de Frobenius est défini comme une classe de conjugaison dans . Par conséquent, le polynôme caractéristique de est bien défini. Le facteur d'Euler pour est une légère modification du polynôme caractéristique, également bien défini,

comme fonction rationnelle en t , évaluée en , avec une variable complexe dans la notation usuelle de la fonction zêta de Riemann . (Ici, N est la norme de corps d'un idéal.)

Lorsque est ramifié, et que I est le groupe d'inertie qui est un sous-groupe de G , une construction similaire est appliquée, mais au sous-espace de V fixé (ponctuellement) par I .

La fonction L d'Artin est alors le produit infini de tous les idéaux premiers de ces facteurs. Comme le montre la réciprocité d'Artin , lorsque G est un groupe abélien, ces fonctions L ont une seconde description (comme les fonctions L de Dirichlet lorsque K est le corps des nombres rationnels , et comme les fonctions L de Hecke en général). La nouveauté vient avec les G non-abéliens et leurs représentations.

Une application est de donner des factorisations de fonctions zêta de Dedekind , par exemple dans le cas d'un corps de nombres qui est Galois sur les nombres rationnels. Conformément à la décomposition de la représentation régulière en représentations irréductibles , une telle fonction zêta se décompose en un produit de fonctions L d'Artin , pour chaque représentation irréductible de G. Par exemple, le cas le plus simple est celui où G est le groupe symétrique sur trois lettres. Comme G a une représentation irréductible de degré 2, une fonction L d'Artin pour une telle représentation apparaît, élevée au carré, dans la factorisation de la fonction zêta de Dedekind pour un tel corps de nombres, dans un produit avec la fonction zêta de Riemann (pour la représentation triviale ) et une fonction L de type Dirichlet pour la représentation de signature.

Plus précisément pour une extension galoisienne de degré n , la factorisation

découle de

où est la multiplicité de la représentation irréductible dans la représentation régulière, f est l'ordre de et n est remplacé par n/e aux nombres premiers ramifiés.

Les caractères étant une base orthonormée des fonctions de classe , après avoir montré certaines propriétés analytiques des, nous obtenons le théorème de densité de Chebotarev comme généralisation du théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques .

Les fonctions L d'Artin satisfont une équation fonctionnelle . La fonction est liée dans ses valeurs à , où désigne la représentation conjuguée complexe . Plus précisément, L est remplacé par , qui est L multiplié par certains facteurs gamma , et il existe alors une équation de fonctions méromorphes

avec un certain nombre complexe W (ρ) de valeur absolue 1. C'est le nombre racine d'Artin . Il a été étudié en profondeur par rapport à deux types de propriétés. Tout d'abord, Robert Langlands et Pierre Deligne ont établi une factorisation en constantes locales de Langlands–Deligne ; cela est important par rapport aux relations conjecturales aux représentations automorphes . De plus, le cas où ρ et ρ* sont des représentations équivalentes est exactement celui dans lequel l'équation fonctionnelle a la même fonction L de chaque côté. C'est, algébriquement parlant, le cas où ρ est une représentation réelle ou une représentation quaternionique . Le nombre racine d'Artin est alors soit +1, soit −1. La question du signe qui apparaît est liée à la théorie du module de Galois .

La conjecture d'Artin sur les fonctions L d'Artin stipule que la fonction L d'Artin d'une représentation irréductible non triviale ρ est analytique dans tout le plan complexe.

Ceci est connu pour les représentations unidimensionnelles, les fonctions L étant alors associées à des caractères de Hecke — et en particulier pour les fonctions L de Dirichlet . Plus généralement Artin a montré que la conjecture d'Artin est vraie pour toutes les représentations induites à partir de représentations unidimensionnelles. Si le groupe de Galois est supersoluble ou plus généralement monôme , alors toutes les représentations sont de cette forme donc la conjecture d'Artin est vraie.

André Weil a démontré la conjecture d'Artin dans le cas des corps de fonctions .

Les représentations bidimensionnelles sont classées selon la nature du sous-groupe d'images : il peut être cyclique, diédrique, tétraédrique, octaédrique ou icosaédrique. La conjecture d'Artin pour le cas cyclique ou diédrique découle facilement du travail d' Erich Hecke . Langlands a utilisé le changement de base pour prouver le cas tétraédrique, et Jerrold Tunnell a étendu son travail pour couvrir le cas octaédrique ; Andrew Wiles a utilisé ces cas dans sa preuve de la conjecture de modularité . Richard Taylor et d'autres ont fait quelques progrès sur le cas icosaédrique (non résoluble) ; c'est un domaine de recherche actif. La conjecture d'Artin pour les représentations bidimensionnelles impaires et irréductibles découle de la preuve de la conjecture de modularité de Serre , quel que soit le sous-groupe d'images projectif.

Le théorème de Brauer sur les caractères induits implique que toutes les fonctions L d'Artin sont des produits de puissances intégrales positives et négatives de fonctions L de Hecke, et sont donc méromorphes dans tout le plan complexe.

Langlands (1970) a souligné que la conjecture d'Artin découle de résultats suffisamment forts de la philosophie de Langlands , relatifs aux fonctions L associées aux représentations automorphes pour GL(n) pour tout . Plus précisément, les conjectures de Langlands associent une représentation automorphe du groupe adélique GL _n ( A _Q ) à toute représentation irréductible de dimension n du groupe de Galois, qui est une représentation cuspidale si la représentation de Galois est irréductible, telle que la fonction L d'Artin de la représentation de Galois soit la même que la fonction L automorphe de la représentation automorphe. La conjecture d'Artin découle alors immédiatement du fait connu que les fonctions L des représentations automorphes cuspidales sont holomorphes. C'était l'une des motivations majeures du travail de Langlands.

Une conjecture plus faible (parfois appelée conjecture de Dedekind) stipule que si M / K est une extension des corps de nombres , alors le quotient de leurs fonctions zêta de Dedekind est entier.

Le théorème d'Aramata-Brauer stipule que la conjecture est vraie si M / K est galoisien.

Plus généralement, soit N la clôture de Galois de M sur K , et G le groupe de Galois de N / K . Le quotient est égal aux fonctions L d'Artin associées à la représentation naturelle associée à l'action de G sur le plongement complexe K -invariant de M . Ainsi la conjecture d'Artin implique la conjecture de Dedekind.

La conjecture a été prouvée lorsque G est un groupe résoluble , indépendamment par Koji Uchida et RW van der Waall en 1975.