Worldlex Wiki Le format décimal usuel des grands nombres étant souvent long, d'autres systèmes permettant une représentation plus concise ont été mis au point. Par exemple, un milliard s'écrit avec 10 chiffres (1 000 000 000) en notation décimale, mais seulement 3 (10⁹ ) en notation scientifique . Un billion s'écrit avec 13 chiffres en notation décimale, mais seulement quatre (10¹² ) en notation scientifique . Les valeurs très variables peuvent être représentées et comparées graphiquement à l'aide d'une échelle logarithmique .
en langage naturel représente les grands nombres par des noms plutôt que par une suite de chiffres. Par exemple, « milliard » est souvent plus facile à comprendre que « 1 000 000 000 ». On utilise parfois un suffixe pour abréger les nombres, par exemple 2 340 000 000 = 2,34 milliards (M = milliard). Une valeur numérique peut être longue lorsqu’elle est exprimée en toutes lettres, par exemple, « 2 345 789 » signifie « deux millions trois cent quarante-cinq mille sept cent quatre-vingt-neuf ».notation scientifique
La notation scientifique a été conçue pour représenter la vaste gamme de valeurs rencontrées en recherche scientifique dans un format plus compact que les formats traditionnels, tout en permettant une grande précision lorsque cela est nécessaire. [ valeur est représentée par une fraction décimale multipliée par une puissance de 10. Ce facteur vise à faciliter la lecture par rapport à une longue série de zéros. Par exemple, 1,0 inverse , un milliardième, est 1,0googol =
Astronomique
En astronomie et en cosmologie, on rencontre fréquemment de grands nombres pour mesurer la longueur et le temps. Par exemple, selon le modèle dominant du Big Bang , l'univers a environ 13,8 milliards d'années (soit l'équivalent deunivers observable s'étend sur 93 milliards d'années-lumière (environ Don Page , physicien à l'Université de l'Alberta, au Canada, le temps fini le plus long qui ait été explicitement calculé jusqu'à présent par un physicien est
(Ce qui correspond à l'échelle de temps de récurrence de Poincaré estimée pour l'état quantique d'une boîte hypothétique contenant un trou noir de la masse estimée de l'univers entier, observable ou non, en supposant un certain modèle inflationnaire avec un inflaton dont la masse est de 10⁻⁶ masses de Planck ), soit environ 10¹⁰¹,²⁸⁸ × 10³,⁸⁴ T Ce temps est calculé dans le cadre d'un modèle statistique soumis à la récurrence de Poincaré. Une manière beaucoup plus simplifiée d'appréhender ce temps consiste à considérer un modèle où l'histoire de l'univers se répète un nombre arbitraire de fois en raison des propriétés de la mécanique statistique ; il s'agit de l'échelle de temps à partir de laquelle l'univers retrouvera une certaine similarité (pour une définition raisonnable de « similarité ») avec son état actuel.
Les processus combinatoires donnent lieu à des nombres étonnamment grands. La fonction factorielle , qui quantifie les permutations d'un ensemble fixe d'objets, croît de façon superexponentielle lorsque le nombre d'objets augmente. La formule de Stirling fournit une expression asymptotique précise de cette croissance rapide.
En mécanique statistique, les nombres combinatoires atteignent des grandeurs si immenses qu'ils sont souvent exprimés à l'aide de logarithmes .
Les nombres de Gödel , ainsi que les représentations similaires de chaînes binaires en théorie algorithmique de l'information , sont immenses, même pour des énoncés mathématiques de longueur modérée. Fait remarquable, certains nombres pathologiques dépassent même les nombres de Gödel associés aux propositions mathématiques typiques.
Le logicien Harvey Friedman a apporté des contributions importantes à l'étude des très grands nombres, notamment des travaux liés au théorème de l'arbre de Kruskal et au théorème de Robertson-Seymour .
"Des millions et des milliards"
Pour aider les téléspectateurs de Cosmos à distinguer les « millions » des « milliards », l'astronome Carl Sagan insistait sur le « b ». Sagan n'a cependant jamais dit « des milliards et des milliards ». L'association de cette expression avec Sagan par le public provient d'un sketch du Tonight Show . Parodiant l'effet Sagan, Johnny Carson a lancé avec humour « des milliards et des milliards ». L'expression est cependant devenue aujourd'hui un nombre fictif humoristique : l' unité Sagan . Cf. Unité Sagan .
Système d'écriture normalisé
Comparaison des valeurs de base
L'exemple suivant illustre l'effet d'une base différente de 10, la base 100. Il illustre également les représentations des nombres et les opérations arithmétiques.
Précision
Pour un nombre n , une variation d'une unité de n modifie le résultat d'un facteur 10. Dans un nombre comme n = 6,2, où 6,2 est le résultat d'un arrondi correct avec les chiffres significatifs, la valeur réelle de l'exposant peut être inférieure ou supérieure de 50. Le résultat peut donc être un facteur trop grand ou trop petit. Cela semble être une précision extrêmement faible, mais pour un nombre aussi grand, cela peut être considéré comme acceptable (une erreur importante sur un grand nombre peut être « relativement petite » et donc acceptable).
Pour de très grands nombres
Dans le cas d'une approximation d'un nombre extrêmement grand, l' erreur relative peut être importante, mais il peut néanmoins exister un sens dans lequel on souhaite considérer les nombres comme étant « de même ordre de grandeur ». Par exemple, considérons
L'erreur relative est
une erreur relative importante. Cependant, on peut aussi considérer l'erreur relative sur les logarithmes ; dans ce cas, les logarithmes (en base 10) sont 10 et 9, donc l'erreur relative sur les logarithmes n'est que de 10 %.
L'idée est que les fonctions exponentielles amplifient considérablement les erreurs relatives – si a et b ont une petite erreur relative,
l'erreur relative est plus importante, et
l'erreur relative sera encore plus importante. La question devient alors : à quel niveau de logarithmes itérés comparer deux nombres ? On peut, dans un certain sens, envisager
être « d'ordre de grandeur proche ». L'erreur relative entre ces deux nombres est importante, et l'erreur relative entre leurs logarithmes l'est encore davantage ; cependant, l'erreur relative sur leurs logarithmes de second ordre est faible.
De telles comparaisons de logarithmes itérés sont courantes, par exemple en théorie analytique des nombres .
Cours
Une solution au problème de la comparaison des grands nombres consiste à définir des classes de nombres, comme le système mis au point par Robert Munafo qui repose sur différents « niveaux » de perception chez une personne moyenne. La classe 0 – les nombres de zéro à six – regroupe les nombres facilement subitisables , c’est-à-dire ceux qui apparaissent très fréquemment dans la vie quotidienne et sont presque instantanément comparables. La classe 1 – les nombres de six à 1 000 000 (10⁶ leur cardinalité , mais « d’un coup d’œil » grâce à leur développement décimal.
Ainsi: