Centre de masse

En physique , le centre de masse d'une distribution de masse dans l'espace (parfois appelé barycentre ou point d'équilibre ) est le point unique, à tout instant, où la somme pondérée des positions relatives de la masse distribuée est nulle. Pour un corps rigide contenant son centre de masse, c'est le point auquel une force peut être appliquée pour provoquer une accélération linéaire sans accélération angulaire . Les calculs en mécanique sont souvent simplifiés lorsqu'ils sont formulés par rapport au centre de masse. Il s'agit d'un point hypothétique où l'on peut supposer que toute la masse d'un objet est concentrée, afin de visualiser son mouvement. Autrement dit, le centre de masse est l'équivalent particulaire d'un objet donné pour l'application des lois du mouvement de Newton .

Dans le cas d'un corps rigide isolé , le centre de masse est fixe par rapport au corps et, si celui-ci possède une densité uniforme , il se situe au niveau du centroïde . Le centre de masse peut se trouver à l'extérieur du corps , comme c'est parfois le cas pour les objets creux ou de forme ouverte, tels qu'un fer à cheval . Dans le cas d'un ensemble de corps distincts, comme les planètes du Système solaire , le centre de masse peut ne correspondre à la position d'aucun corps individuel du système.

Le centre de masse est un point de référence utile pour les calculs de mécanique impliquant des masses réparties dans l'espace, comme le moment linéaire et angulaire des corps planétaires et la dynamique des corps rigides . En mécanique orbitale , les équations du mouvement des planètes sont formulées comme des masses ponctuelles situées au centre de masse (voir Barycentre (astronomie) pour plus de détails). Le référentiel du centre de masse est un référentiel inertiel dans lequel le centre de masse d'un système est immobile par rapport à l'origine du système de coordonnées .

Histoire

L'origine du concept de centre de gravité (également appelé centre de poids ou centre de masse) est inconnue, mais il semble avoir été un concept philosophique bien connu dans la Grèce antique. Il est abordé en détail dans les œuvres d' Héron d'Alexandrie et de Pappus d'Alexandrie aux IIe et IIIe siècles de notre ère, mais sa première apparition connue remonte au IIIe siècle avant notre ère, dans les écrits d' Archimède de Syracuse , mathématicien , physicien et ingénieur grec de l'Antiquité . Il travaillait à partir d'hypothèses simplifiées sur la gravité, assimilant celle d'un champ uniforme, et parvenait ainsi aux propriétés mathématiques de ce que nous appelons aujourd'hui le centre de masse. Archimède a démontré que le couple exercé sur un levier par des poids placés en différents points de celui-ci est identique à celui qu'il exercerait si tous les poids étaient concentrés en un seul point : leur centre de masse. Dans son ouvrage « Sur les corps flottants » , Archimède a démontré que l'orientation d'un objet flottant est celle qui abaisse au maximum son centre de masse. Il a mis au point des techniques mathématiques pour déterminer les centres de masse d'objets de densité uniforme et de formes bien définies. Cependant, les écrits d'Archimède qui nous sont parvenus traitent le concept de centre de gravité comme une idée préexistante, ce qui laisse supposer qu'il a des origines plus anciennes, soit dans ses propres études antérieures aujourd'hui perdues, soit dans des travaux inconnus de ses contemporains ou prédécesseurs. Dijksterhuis défend l'hypothèse d'une origine pré-grecque du concept, en s'appuyant sur des indices contextuels.

À la Renaissance et à l'époque moderne , œuvres de Guido Ubaldi , Francesco Maurolico , Federico Commandino , Evangelista Torricelli , Simon Stevin , Luca Valerio , Jean-Charles de la Faille , Paul Guldin , John Wallis , Christiaan Huygens , Louis Carré , Pierre Varignon et Alexis Clairaut élargissent encore le concept.

La deuxième loi de Newton est reformulée par rapport au centre de masse dans la première loi d'Euler .

Définition

Le centre de masse est le point unique, au centre d'une distribution de masse dans l'espace, tel que la somme des vecteurs de position pondérés par rapport à ce point soit nulle. Par analogie avec les statistiques, le centre de masse correspond à la position moyenne d'une distribution de masse dans l'espace.

Un système de particules

Pour un système de particules ${\displaystyle P_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>P</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle P_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle i=1,...,n <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle i=1,...,n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {R} ={\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i} \over \sum _{i=1}^{n}m_{i}}, <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>m</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mrow><mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>m</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {R} ={\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i} \over \sum _{i=1}^{n}m_{i}},}</annotation></semantics></math><img src=$ où ${\displaystyle m_{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>m</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle m_{i}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}</annotation></semantics></math><img src=$

Dans le cas d'un système de seulement deux particules, cela se réduit à ${\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>m</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mi>m</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Un volume continu

Dans le cas d'un volume continu, la somme se transforme en intégrale, de sorte que l'équation du centre de masse devient ${\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \,dm={\frac {1}{M}}\int ho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,dV, <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>M</mi></mfrac></mrow><mo>∫</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>m</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>M</mi></mfrac></mrow><mo>∫</mo><mi>ρ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>)</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>V</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \,dm={\frac {1}{M}}\int ho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,dV,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle M <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle ho (\mathbf {r} ) <semantics><mrow><mstyle><mi>ρ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle rho (mathbf {r})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {r} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>r</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {r} }</annotation></semantics></math><img src=$

Si une distribution de masse continue a une densité uniforme, ce qui signifie que ρ est constant, alors le centre de masse est le même que le centroïde du volume.

Systèmes avec conditions aux limites périodiques

Dans un système à conditions aux limites périodiques, deux particules peuvent être voisines même si elles se trouvent de part et d'autre du système. Ce phénomène est fréquent dans les simulations de dynamique moléculaire , par exemple, où des agrégats se forment aléatoirement et où il arrive que des atomes voisins franchissent la limite périodique. Lorsqu'un agrégat chevauche cette limite, un calcul direct du centre de masse est erroné. Une méthode généralisée pour calculer le centre de masse des systèmes périodiques consiste à considérer chaque coordonnée, x , y et/ou z , comme si elle se situait sur un cercle plutôt que sur une droite Le calcul prend en compte la coordonnée x de chaque particule et détermine N centres de masse possibles.

${\bar{x}}_{n} = {\bar{x}}_{0} + \frac{2 π n}{N}, n = 1, 2, \dots, N,$ ${\bar {x}}_{n}={\bar {x}}_{0}+{\frac {2\pi n}{N}},\;\;\;n=1,2,\ldots ,N,$

où ${\bar {x}}_{0 <semantics><msub><mrow><mrow><mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><annotation>{\bar {x}}_{0}</annotation></semantics></math><img src=$ $\bar{x} = [{\bar{x}}_{1}, {\bar{x}}_{2}, \dots, {\bar{x}}_{n}]$ ${\bar {\mathbf {x} }}=[{\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2},\ldots ,{\bar {x}}_{n}]$ , avec la plus faible somme des carrés des distances d'arc entre les points.

Le processus peut être répété pour toutes les dimensions du système afin de déterminer le centre de masse complet. L'intérêt de l'algorithme réside dans sa capacité à déterminer mathématiquement l'emplacement optimal du centre de masse, évitant ainsi de procéder par tâtonnement ou par analyse de regroupement pour « déployer » un groupe chevauchant les limites de la période. Cette approche calcule le centre de masse intrinsèque. La moyenne circulaire extrinsèque est une méthode courante d'estimation du centre de masse, mais elle peut s'avérer imprécise.

Centre de gravité

Le centre de gravité d'un corps est le point autour duquel le couple résultant des forces de gravité s'annule. Lorsque le champ gravitationnel est uniforme, le centre de masse et le centre de gravité coïncident. Cependant, pour les satellites en orbite autour d'une planète, en l'absence d'autres couples appliqués, la légère variation (gradient) du champ gravitationnel entre les parties proches et éloignées de la planète (respectivement zones de gravité plus forte et plus faible) peut induire un couple tendant à aligner le satellite de sorte que son grand axe soit vertical. Dans ce cas, il est important de distinguer le centre de gravité du centre de masse. Tout décalage horizontal entre les deux engendre un couple appliqué.

Le centre de masse est une propriété fixe pour un corps rigide donné (par exemple, sans mouvement de va-et-vient ni articulation), tandis que le centre de gravité peut, en outre, dépendre de son orientation dans un champ gravitationnel non uniforme. Dans ce dernier cas, le centre de gravité sera toujours situé plus près du corps principal d'attraction que le centre de masse, et sa position au sein du corps considéré se modifiera donc en fonction de l'orientation de ce dernier.

Dans l'étude de la dynamique des aéronefs, des véhicules et des navires, les forces et les moments doivent être exprimés par rapport au centre de masse. Ceci est vrai indépendamment de l'influence de la gravité. L'utilisation de l'expression « centre de gravité » pour désigner le centre de masse est une convention courante, mais elle est bien établie. Lorsque les effets du gradient de gravité sont négligeables, les termes « centre de gravité » et « centre de masse » sont synonymes et employés indifféremment.

En physique, l'intérêt d'utiliser le centre de masse pour modéliser une distribution de masse apparaît clairement lorsqu'on considère la résultante des forces de gravité s'exerçant sur un corps continu. Considérons un corps Q de volume V et de densité ρ ( r ) en chaque point r de ce volume. Dans un champ de gravité parallèle, la force f en chaque point r est donnée par : ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )=-dm\,g\mathbf {\hat {k}} =- ho (\mathbf {r} )\,dV\,g\mathbf {\hat {k}} , <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>(</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>d</mi><mi>m</mi><mspace></mspace><mi>g</mi><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>ρ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>V</mi><mspace></mspace><mi>g</mi><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )=-dm\,g\mathbf {\hat {k}} =- ho (\mathbf {r} )\,dV\,g\mathbf {\hat {k}} ,}</annotation></semantics></math><img src=$ dm est la masse au point r , g est l'accélération de la gravité, et ${ extstyle \mathbf {\hat {k}} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{ extstyle \mathbf {\hat {k}} }</annotation></semantics></math><img src=$

Choisissez un point de référence R dans le volume et calculez la force et le couple résultants en ce point. ${\displaystyle \mathbf {F} =\iiint _{Q}\mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q} ho (\mathbf {r} )\,dV\left(-g\mathbf {\hat {k}} ight)=-Mg\mathbf {\hat {k}} , <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>F</mi></mrow><mo>=</mo><msub><mo>∭</mo><mrow><mi>Q</mi></mrow></msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>(</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>V</mi><mo>=</mo><msub><mo>∭</mo><mrow><mi>Q</mi></mrow></msub><mi>ρ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>V</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mi>g</mi><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>M</mi><mi>g</mi><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {F} =\iiint _{Q}\mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q} ho (\mathbf {r} )\,dV\left(-g\mathbf {\hat {k}} ight)=-Mg\mathbf {\hat {k}} ,}</annotation></semantics></math><img src=$ et ${\displaystyle \mathbf {T} =\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ) imes \mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ) imes \left(-g ho (\mathbf {r} )\,dV\,\mathbf {\hat {k}} ight)=\left(\iiint _{Q} ho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} ight)dV ight) imes \left(-g\mathbf {\hat {k}} ight). <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>T</mi></mrow><mo>=</mo><msub><mo>∭</mo><mrow><mi>Q</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>×</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>(</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>V</mi><mo>=</mo><msub><mo>∭</mo><mrow><mi>Q</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>×</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mi>g</mi><mi>ρ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>V</mi><mspace></mspace><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mo>∭</mo><mrow><mi>Q</mi></mrow></msub><mi>ρ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>)</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>d</mi><mi>V</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>×</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mi>g</mi><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {T} =\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ) imes \mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ) imes \left(-g ho (\mathbf {r} )\,dV\,\mathbf {\hat {k}} ight)=\left(\iiint _{Q} ho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} ight)dV ight) imes \left(-g\mathbf {\hat {k}} ight).}</annotation></semantics></math><img src=$

Si le point de référence R est choisi de sorte qu'il soit le centre de masse, alors ${\displaystyle \iiint _{Q} ho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} ight)dV=0, <semantics><mrow><mstyle><msub><mo>∭</mo><mrow><mi>Q</mi></mrow></msub><mi>ρ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>)</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>d</mi><mi>V</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \iiint _{Q} ho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} ight)dV=0,}</annotation></semantics></math><img src=$

En choisissant le centre de gravité comme point de référence pour un corps rigide, les forces de gravité n'entraîneront pas de rotation du corps, ce qui signifie que le poids du corps peut être considéré comme concentré au centre de masse.

moment linéaire et angulaire

Le calcul du moment linéaire et angulaire d'un ensemble de particules peut être simplifié en mesurant la position et la vitesse des particules par rapport au centre de masse. Soit un système de particules P _i , i = 1, ..., n de masses m _i situées aux coordonnées r _i et de vitesses v  _i . Choisir un point de référence R et calculer les vecteurs position et vitesse relatifs. ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {v} . <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>+</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>+</mo><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {v} .}</annotation></semantics></math><img src=$

La quantité de mouvement linéaire totale et le moment angulaire total du système sont ${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ) ight)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i} ight)\mathbf {v} , <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>p</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>m</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>m</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ) ight)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i} ight)\mathbf {v} ,}</annotation></semantics></math><img src=$ et ${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ) imes {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i} ight)\left[\mathbf {R} imes {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ) imes \mathbf {v} ight]+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i} ight)\mathbf {R} imes \mathbf {v} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>L</mi></mrow><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>m</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>×</mo><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>m</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>[</mo><mrow><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>×</mo><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>×</mo><mrow><mi>v</mi></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>m</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>×</mo><mrow><mi>v</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ) imes {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i} ight)\left[\mathbf {R} imes {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ) imes \mathbf {v} ight]+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i} ight)\mathbf {R} imes \mathbf {v} }</annotation></semantics></math><img src=$

Si R est choisi comme centre de masse, ces équations se simplifient en ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ) imes {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {R} imes \mathbf {v} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>p</mi></mrow><mo>=</mo><mi>m</mi><mrow><mi>v</mi></mrow><mo>,</mo><mspace></mspace><mrow><mi>L</mi></mrow><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>m</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>×</mo><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>+</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>je</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>m</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>×</mo><mrow><mi>v</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ) imes {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {R} imes \mathbf {v} }</annotation></semantics></math><img src=$ m est la masse totale de toutes les particules, p est la quantité de mouvement linéaire et L est le moment angulaire.

La loi de conservation de la quantité de mouvement prédit que pour tout système non soumis à des forces extérieures, la quantité de mouvement du système reste constante, ce qui signifie que le centre de masse se déplace à vitesse constante. Ceci s'applique à tous les systèmes présentant des forces internes classiques, notamment les champs magnétiques, les champs électriques, les réactions chimiques, etc. Plus formellement, cela est vrai pour toutes les forces internes qui s'annulent conformément à la troisième loi de Newton .

Détermination
La détermination expérimentale du centre de masse d'un corps utilise les forces de gravité qui s'exercent sur ce corps et se fonde sur le fait que le centre de masse est identique au centre de gravité dans le champ de gravité parallèle proche de la surface de la Terre.
Le centre de masse d'un corps possédant un axe de symétrie et une densité constante se situe nécessairement sur cet axe. Ainsi, le centre de masse d'un cylindre circulaire de densité constante se trouve sur l'axe du cylindre. De même, le centre de masse d'un corps à symétrie sphérique et à densité constante est situé au centre de la sphère. En général, pour toute symétrie d'un corps, son centre de masse est un point fixe de cette symétrie.
En deux dimensions
Méthode du fil à plomb
Une méthode expérimentale pour déterminer le centre de masse consiste à suspendre l'objet à deux points différents, en série, et à laisser tomber à chaque fois un fil à plomb depuis le point de suspension. L'intersection des deux lignes correspond au centre de masse.
La forme d'un objet peut déjà être déterminée mathématiquement, mais elle peut être trop complexe pour utiliser une formule connue. Dans ce cas, on peut subdiviser la forme complexe en formes plus simples et élémentaires, dont les centres de masse sont faciles à déterminer. Si la masse totale et le centre de masse peuvent être déterminés pour chaque zone, alors le centre de masse de l'ensemble est la moyenne pondérée de ces centres. Cette méthode peut même s'appliquer aux objets comportant des trous, qui peuvent être considérés comme ayant une masse négative.
Un développement direct du planimètre, appelé intégraphe ou intéromètre, permet de déterminer la position du centre de gravité d'une forme bidimensionnelle irrégulière. Cette méthode s'applique aux formes aux contours irréguliers, lisses ou complexes, là où d'autres méthodes s'avèrent trop difficiles. Elle était couramment utilisée par les constructeurs navals pour comparer le déplacement et le centre de poussée d'un navire aux valeurs requises, et ainsi garantir sa stabilité.
En trois dimensions
Une méthode expérimentale pour localiser les coordonnées tridimensionnelles du centre de masse commence par soutenir l'objet en trois points et mesurer les forces, F ₁ , F ₂ , et F _{3 ,} qui résistent au poids de l'objet. ${\displaystyle \mathbf {W} =-W\mathbf {\hat {k}} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>W</mi></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>W</mi><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {W} =-W\mathbf {\hat {k}} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }</annotation></semantics></math><img src=$ r ₁ , r ₂ et r ₃ les coordonnées de position des points d'appui, alors les coordonnées R du centre de masse satisfont la condition que le couple résultant soit nul. ${\displaystyle \mathbf {T} =(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} ) imes \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {R} ) imes \mathbf {F} _{2}+(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {R} ) imes \mathbf {F} _{3}=0, <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>T</mi></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>×</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>×</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>)</mo><mo>×</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {T} =(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} ) imes \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {R} ) imes \mathbf {F} _{2}+(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {R} ) imes \mathbf {F} _{3}=0,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {R} imes \left(-W\mathbf {\hat {k}} ight)=\mathbf {r} _{1} imes \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2} imes \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3} imes \mathbf {F} _{3}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>×</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mi>W</mi><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {R} imes \left(-W\mathbf {\hat {k}} ight)=\mathbf {r} _{1} imes \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2} imes \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3} imes \mathbf {F} _{3}.}</annotation></semantics></math><img src=$
Cette équation donne les coordonnées du centre de masse R * dans le plan horizontal comme suit : ${\displaystyle \mathbf {R} ^{}=-{\frac {1}{W}}\mathbf {\hat {k}} imes (\mathbf {r} _{1} imes \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2} imes \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3} imes \mathbf {F} _{3}). <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>W</mi></mfrac></mrow><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>×</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {R} ^{}=-{\frac {1}{W}}\mathbf {\hat {k}} imes (\mathbf {r} _{1} imes \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2} imes \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3} imes \mathbf {F} _{3}).}</annotation></semantics></math><img src=$
Le centre de masse se situe sur la ligne verticale L , donnée par ${\displaystyle \mathbf {L} (t)=\mathbf {R} ^{}+t\mathbf {\hat {k}} . <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>L</mi></mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>+</mo><mi>t</mi><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {L} (t)=\mathbf {R} ^{}+t\mathbf {\hat {k}} .}</annotation></semantics></math><img src=$
Les coordonnées tridimensionnelles du centre de masse sont déterminées en répétant cette expérience deux fois, l'objet étant positionné de manière à ce que les forces soient mesurées selon deux plans horizontaux différents passant par l'objet. Le centre de masse correspond à l'intersection des droites _L₁_etL₂ obtenues lors des deux expériences.

Applications

conceptions d'ingénierie

Applications automobiles

Les ingénieurs essaient de concevoir une voiture de sport de manière à ce que son centre de gravité soit abaissé afin d'améliorer la tenue de route, c'est-à-dire de maintenir la traction lors de l'exécution de virages relativement serrés.

Le profil bas caractéristique du Humvee militaire américain a été conçu en partie pour lui permettre de s'incliner davantage que les véhicules plus hauts sans se renverser, en veillant à ce que son centre de gravité bas reste au-dessus de l'espace délimité par les quatre roues, même à des angles éloignés de l'horizontale.

Aéronautiques

Astronomie