Position (géométrie)

En géométrie , une position ou vecteur de position , également appelé vecteur de localisation ou vecteur de rayon , est un vecteur euclidien qui représente un point P dans l'espace . Sa longueur représente la distance par rapport à une origine de référence arbitraire O , et sa direction représente l'orientation angulaire par rapport à des axes de référence donnés. Généralement noté x , r ou s , il correspond au segment de droite de O à P. En d'autres termes, il s'agit du déplacement ou de la translation qui fait correspondre l'origine à P :

Le terme vecteur de position est principalement utilisé dans les domaines de la géométrie différentielle , de la mécanique et occasionnellement du calcul vectoriel . Il est fréquemment utilisé dans les espaces bidimensionnels ou tridimensionnels , mais peut être facilement généralisé aux espaces euclidiens et aux espaces affines de toute dimension .

La position relative d'un point Q par rapport au point P est le vecteur euclidien résultant de la soustraction des deux vecteurs de position absolue (chacun par rapport à l'origine) :

où . La direction relative entre deux points est leur position relative normalisée comme un vecteur unitaire

En trois dimensions , n'importe quel ensemble de coordonnées tridimensionnelles et leurs vecteurs de base correspondants peuvent être utilisés pour définir l'emplacement d'un point dans l'espace. Celui qui est le plus simple pour la tâche à accomplir peut être utilisé.

Généralement, on utilise le système de coordonnées cartésiennes bien connu , ou parfois des coordonnées polaires sphériques , ou des coordonnées cylindriques :

où t est un paramètre , en raison de leur symétrie rectangulaire ou circulaire. Ces différentes coordonnées et les vecteurs de base correspondants représentent le même vecteur de position. Des coordonnées curvilinéaires plus générales pourraient être utilisées à la place et sont utilisées dans des contextes tels que la mécanique des milieux continus et la relativité générale (dans ce dernier cas, il faut une coordonnée de temps supplémentaire).

L'algèbre linéaire permet l'abstraction d'un vecteur de position à n dimensions. Un vecteur de position peut être exprimé comme une combinaison linéaire de vecteurs de base :

L' ensemble de tous les vecteurs de position forme l'espace de position (un espace vectoriel dont les éléments sont les vecteurs de position), puisque les positions peuvent être additionnées ( addition vectorielle ) et mises à l'échelle ( multiplication scalaire ) pour obtenir un autre vecteur de position dans l'espace. La notion d'« espace » est intuitive, puisque chaque x _i ( i = 1, 2, …, n ) peut avoir n'importe quelle valeur, l'ensemble des valeurs définit un point dans l'espace.

La dimension de l'espace de position est n (également notée dim( R ) = n ). Les coordonnées du vecteur r par rapport aux vecteurs de base e _i sont x _i . Le vecteur de coordonnées forme le vecteur de coordonnées ou n - uplet ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ).

Chaque coordonnée x _i peut être paramétrée par un certain nombre de paramètres t . Un paramètre x _i ( t ) décrit un chemin courbe 1D, deux paramètres x _i ( t ₁ , t ₂ ) décrivent une surface courbe 2D, trois x _i ( t ₁ , t ₂ , t ₃ ) décrivent un volume d'espace courbe 3D, et ainsi de suite.

L' étendue linéaire d'un ensemble de base B = { e ₁ , e ₂ , …, e _n } est égale à l'espace de position R , noté span( B ) = R .

Les champs de vecteurs de position sont utilisés pour décrire des courbes spatiales continues et différentiables, auquel cas le paramètre indépendant n'a pas besoin d'être le temps, mais peut être (par exemple) la longueur de l'arc de la courbe.

Dans toute équation de mouvement , le vecteur de position r ( t ) est généralement la quantité la plus recherchée car cette fonction définit le mouvement d'une particule (c'est-à-dire une masse ponctuelle ) – sa position par rapport à un système de coordonnées donné à un instant t .

Pour définir le mouvement en termes de position, chaque coordonnée peut être paramétrée par le temps ; puisque chaque valeur successive du temps correspond à une séquence d'emplacements spatiaux successifs donnés par les coordonnées, la limite du continuum de nombreux emplacements successifs est un chemin que trace la particule.

Dans le cas d'une dimension, la position n'a qu'une seule composante, elle se dégrade donc en une coordonnée scalaire. Il peut s'agir, par exemple, d'un vecteur dans la direction x ou dans la direction radiale r . Les notations équivalentes incluent

Pour un vecteur de position r qui est une fonction du temps t , les dérivées temporelles peuvent être calculées par rapport à t . Ces dérivées ont une utilité commune dans l'étude de la cinématique , de la théorie du contrôle , de l'ingénierie et d'autres sciences.

Vitesse

où d r est un déplacement infinitésimal (vecteur) .

Accélération

Abruti

Ces noms pour la première, la deuxième et la troisième dérivée de position sont couramment utilisés en cinématique de base. Par extension, les dérivées d'ordre supérieur peuvent être calculées de manière similaire. L'étude de ces dérivées d'ordre supérieur peut améliorer les approximations de la fonction de déplacement d'origine. De tels termes d'ordre supérieur sont nécessaires pour représenter avec précision la fonction de déplacement comme une somme d'une séquence infinie , ce qui permet plusieurs techniques analytiques en ingénierie et en physique.