Zéros et pôles

Une fonction d'une variable complexe si elle est dérivable par rapport à De manière équivalente, elle est holomorphe si elle est analytique , c'est-à-dire si son développement en série de Taylor existe en tout point de si tout point de ou soit holomorphe en ce point.

Un zéro d'une fonction méromorphe tel que . Un pôle de .

Si du plan complexe , alors il existe un entier

est holomorphe et non nul dans un voisinage depôle d' ordre (ou de multiplicité) . Si , alorsLe terme «degré» est parfois utilisé comme synonyme de «ordre».

Cette caractérisation des zéros et des pôles implique que les zéros et les pôles sont isolés , c'est-à-dire que chaque zéro ou pôle a un voisinage qui ne contient aucun autre zéro ni pôle.

L' ordre des zéros et des pôles étant défini par un nombre non négatif de la symétrie entre eux, il est souvent utile de considérer un pôle d'ordre et un zéro d'ordre Dans ce cas, un point qui n'est ni un pôle ni un zéro est considéré comme un pôle (ou un zéro) d'ordre 0.

Une fonction méromorphe peut avoir une infinité de zéros et de pôles. C'est le cas de la fonction gamma (voir l'image dans l'encadré), qui est méromorphe sur tout le plan complexe et possède un pôle unique en tout entier non positif. La fonction zêta de Riemann est également méromorphe sur tout le plan complexe, avec un unique pôle d'ordre 1 en Ses zéros dans le demi-plan gauche sont tous les entiers pairs négatifs, et l' hypothèse de Riemann est la conjecture que tous les autres zéros se trouvent le long de .

Dans un voisinage d'un point

où De même, si (la somme commence par

Une fonctionméromorphe à l'infini si elle est méromorphe dans un certain voisinage de l'infini (c'est-à-dire à l'extérieur d'un certain disque ), et s'il existe un entier

existe et est un nombre complexe non nul.

Dans ce cas, le point à l'infini est un pôle d'ordre , et un zéro d'ordre

Par exemple, un polynôme de degré à l'infini.

Le plan complexe prolongé par un point à l'infini est appelé la sphère de Riemann .

Si

• La fonction

est méromorphe sur toute la sphère de Riemann. Elle possède un pôle d'ordre 2 en

• La fonction

est méromorphe dans tout le plan complexe, mais pas à l'infini. Elle possède des pôles d'ordre 1 en

• La fonction

elle possède un seul pôle à l'infini d'ordre 1 et un seul zéro à l'origine.

Tous les exemples ci-dessus, à l'exception du troisième, sont des fonctions rationnelles . Pour une discussion générale des zéros et des pôles de telles fonctions, voir Systèmes à temps continu .

Le concept de zéros et de pôles s'étend naturellement aux fonctions définies sur une courbe complexe , c'est-à-dire une variété analytique complexe de dimension un (sur les nombres complexes). Le plan complexe et la surface de Riemann en sont les exemples les plus simples . Cette extension s'effectue par transfert de structures et de propriétés via des cartes , qui sont des isomorphismes analytiques .

Plus précisément, soit vers les nombres complexes. Cette fonction est holomorphe (resp. méromorphe) au voisinage d'un point s'il existe une carte

Si la courbe est compacte et si la fonction Stabilité

• Conway, John B. (1986). Fonctions d'une variable complexe I. Springer. ISBN0-387-90328-3.
• Conway, John B. (1995). Fonctions d'une variable complexe II . Springer. ISBN0-387-94460-5.
• Henrici, Peter (1974). Analyse complexe appliquée et computationnelle 1. John Wiley & Sons .