Fonction d'ensemble sigma-additive

En mathématiques , une fonction additive est une fonction qui associe des ensembles à des nombres, avec la propriété que sa valeur sur une union de deux ensembles disjoints est égale à la somme de ses valeurs sur ces ensembles, à savoir, Si cette propriété d'additivité est valable pour deux ensembles quelconques, alors elle est également valable pour tout nombre fini d'ensembles, à savoir, la valeur de la fonction sur l'union de k ensembles disjoints (où k est un nombre fini) est égale à la somme de ses valeurs sur les ensembles. Par conséquent, une fonction additive est également appelée fonction additive finie (les termes sont équivalents). Cependant, une fonction additive finie peut ne pas avoir la propriété d'additivité pour une union d'un nombre infini d'ensembles. Une fonction additive σ est une fonction qui a la propriété d'additivité même pour un nombre infini d'ensembles, c'est-à-dire,

L'additivité et la sigma-additivité sont des propriétés particulièrement importantes des mesures . Ce sont des abstractions de la façon dont les propriétés intuitives de la taille ( longueur , aire , volume ) d'un ensemble s'additionnent lorsque l'on considère plusieurs objets. L'additivité est une condition plus faible que la σ-additivité ; c'est-à-dire que la σ-additivité implique l'additivité.

Le terme fonction d'ensemble modulaire est équivalent à fonction d'ensemble additive ; voir modularité ci-dessous.

Soit une fonction d'ensemble définie sur une algèbre d'ensembles à valeurs dans (voir la droite des nombres réels étendus ). La fonction est appeléeadditif oufiniment additive , si chaque fois queetsontdes ensembles disjointsdansalors Une conséquence de ceci est qu'une fonction additive ne peut pas prendre à la foisetcomme valeurs, car l'expressionest indéfinie.

On peut prouver par induction mathématique qu'une fonction additive satisfait pour tout ensemble disjoint dans

Supposons qu'il s'agisse d'une σ-algèbre . Si pour toute suite d'ensembles deux à deux disjoints dans est vérifiée, alors on dit qu'elle est dénombrablement additive ou 𝜎-additive . Toute fonction 𝜎-additive est additive mais pas l'inverse, comme indiqué ci-dessous.

Supposons qu'en plus d'une algèbre sigma nous ayons une topologie Si pour toute famille orientée d' ouverts mesurables nous disons que est -additive. En particulier, si est interne régulière (par rapport aux ensembles compacts) alors elle est τ-additive.

Les propriétés utiles d’une fonction d’ensemble additive sont les suivantes.

Soit ou s'applique à tous les ensembles de son ensemble de définition, soit s'applique à tous les ensembles de son ensemble de définition. Preuve : l'additivité implique que pour tout ensemble Si alors cette égalité ne peut être satisfaite que par plus ou moins l'infini.

Si est non négatif et alors C'est-à-dire, est unfonction d'ensemble monotone . De même, siest non positif etalors

Une fonction d'ensemble sur une famille d'ensembles est appelée unefonction d'ensemble modulaire et unévaluation si chaque fois queetsont des éléments dealors La propriété ci-dessus est appeléemodularité et l'argument ci-dessous prouve que l'additivité implique la modularité.

Étant donné et Preuve : écrivez et et où tous les ensembles de l'union sont disjoints. L'additivité implique que les deux côtés de l'égalité sont égaux

Cependant, les propriétés liées à la sous-modularité et à la sous-additivité ne sont pas équivalentes entre elles.

Notez que la modularité a une signification différente et sans rapport dans le contexte de fonctions complexes ; voir forme modulaire .

Si et est défini, alors

Un exemple de fonction 𝜎-additive est la fonction définie sur l' ensemble des nombres réels , telle que

Si est une suite d'ensembles disjoints de nombres réels, alors soit aucun de ces ensembles ne contient 0, soit l'un d'entre eux en contient un. Dans les deux cas, l'égalité est vérifiée.

Voir mesure et mesure signée pour plus d'exemples de fonctions 𝜎-additives.

Une charge est définie comme une fonction d'ensemble finiment additive qui correspond à (Cf. un espace pour des informations sur les charges bornées , où nous disons qu'une charge est bornée pour signifier que sa portée est un sous-ensemble borné de R .)

Un exemple de fonction additive qui n'est pas σ-additive est obtenu en considérant , définie sur les ensembles de Lebesgue des nombres réels par la formule où désigne la mesure de Lebesgue et la limite de Banach . Elle satisfait et si alors

On peut vérifier que cette fonction est additive en utilisant la linéarité de la limite. On peut affirmer que cette fonction n'est pas σ-additive en considérant la suite d'ensembles disjoints pour L'union de ces ensembles est les réels positifs , et appliquée à l'union est alors un, tandis que appliquée à l'un quelconque des ensembles individuels est nulle, donc la somme de est également nulle, ce qui prouve le contre-exemple.

On peut définir des fonctions additives à valeurs dans n'importe quel monoïde additif (par exemple n'importe quel groupe ou plus communément un espace vectoriel ). Pour la sigma-additivité, il faut en plus que la notion de limite d'une suite soit définie sur cet ensemble. Par exemple, les mesures spectrales sont des fonctions sigma-additives à valeurs dans une algèbre de Banach . Un autre exemple, également issu de la mécanique quantique, est la mesure à valeur d'opérateur positive .