Théorème de désintégration

En mathématiques , le théorème de désintégration est un résultat de la théorie de la mesure et de la théorie des probabilités . Il définit rigoureusement l'idée d'une « restriction » non triviale d'une mesure à un sous-ensemble de mesure nulle de l' espace de mesure en question. Il est lié à l'existence de mesures de probabilité conditionnelles . Dans un sens, la « désintégration » est le processus opposé à la construction d'une mesure de produit .

Considérons le carré unité dans le plan euclidien . Considérons la mesure de probabilité définie sur par la restriction de la mesure de Lebesgue bidimensionnelle à . Autrement dit, la probabilité d'un événement est simplement l'aire de . Nous supposons que est un sous-ensemble mesurable de .

Considérons un sous-ensemble unidimensionnel de tel que le segment de droite . a une -mesure nulle ; tout sous-ensemble de est un ensemble - nul ; puisque l'espace de mesure de Lebesgue est un espace de mesure complet ,

Bien que cela soit vrai, cela n'est pas vraiment satisfaisant. Il serait bon de dire que « restreint à » est la mesure de Lebesgue unidimensionnelle , plutôt que la mesure nulle . La probabilité d'un événement « bidimensionnel » pourrait alors être obtenue comme une intégrale des probabilités unidimensionnelles des « tranches » verticales : plus formellement, si désigne une mesure de Lebesgue unidimensionnelle sur , alors pour tout « joli » . Le théorème de désintégration rend cet argument rigoureux dans le contexte des mesures sur les espaces métriques .

(Ci-après, on désignera l'ensemble des mesures de probabilités boréliennes sur un espace topologique .) Les hypothèses du théorème sont les suivantes :

• Soient et deux espaces de Radon (c'est-à-dire un espace topologique tel que toute mesure de probabilité borélienne sur lui soit interne régulière , par exemple des espaces séparablement métrisables ; en particulier, toute mesure de probabilité sur lui est carrément une mesure de Radon ).
• Laisser .
• Soit une fonction borélienne mesurable . Ici, on doit penser à comme une fonction permettant de « désintégrer » , au sens de partitionner en . Par exemple, pour l'exemple motivant ci-dessus, on peut définir , , qui donne que , une tranche que l'on souhaite capturer.
• Soit la mesure pushforward . Cette mesure fournit la distribution de (qui correspond aux événements ).

Conclusion du théorème : Il existe une famille de mesures de probabilité déterminée de manière unique presque partout , qui fournit une « désintégration » de en , telle que :

• la fonction est mesurable au sens borélien, dans le sens où il existe une fonction mesurable au sens borélien pour chaque ensemble mesurable au sens borélien ;
• pour toute fonction mesurable par Borel , En particulier, pour tout événement , en prenant comme fonction indicatrice de ,

L'exemple original était un cas particulier du problème des espaces produits, auquel s'applique le théorème de désintégration.

Lorsque s'écrit comme un produit cartésien et est la projection naturelle , alors chaque fibre peut être identifiée canoniquement avec et il existe une famille borélienne de mesures de probabilité dans (qui est -presque partout déterminée de manière unique) telle que qui est en particulier et

La relation avec l'espérance conditionnelle est donnée par les identités

Le théorème de désintégration peut également être considéré comme justifiant l'utilisation d'une mesure « restreinte » en calcul vectoriel . Par exemple, dans le théorème de Stokes appliqué à un champ vectoriel s'écoulant à travers une surface compacte , il est implicite que la mesure « correcte » sur est la désintégration de la mesure de Lebesgue tridimensionnelle sur , et que la désintégration de cette mesure sur ∂Σ est la même que la désintégration de sur .

Le théorème de désintégration peut être appliqué pour donner un traitement rigoureux des distributions de probabilité conditionnelles en statistique, tout en évitant les formulations purement abstraites de probabilité conditionnelle. Le théorème est lié au paradoxe de Borel-Kolmogorov , par exemple.