Extensionnalité

En logique , l'extensionnalité , ou égalité extensionnelle , fait référence aux principes qui jugent que les objets sont égaux s'ils ont les mêmes propriétés externes. Elle s'oppose au concept d' intensionnalité , qui s'intéresse à la question de savoir si les définitions internes des objets sont les mêmes.

La définition extensionnelle de l'égalité des fonctions, évoquée ci-dessus, est couramment utilisée en mathématiques. Une définition extensionnelle similaire est généralement employée pour les relations : deux relations sont dites égales si elles ont les mêmes extensions .

En théorie des ensembles , l' axiome d'extensionnalité stipule que deux ensembles sont égaux si et seulement s'ils contiennent les mêmes éléments. Dans les mathématiques formalisées en théorie des ensembles, il est courant d'identifier les relations (et, plus important encore, les fonctions ) avec leur extension comme indiqué ci-dessus, de sorte qu'il est impossible de distinguer deux relations ou fonctions ayant la même extension.

D'autres objets mathématiques sont également construits de telle manière que la notion intuitive d'« égalité » concorde avec l'égalité extensionnelle au niveau de l'ensemble ; ainsi, les paires ordonnées égales ont des éléments égaux, et les éléments d'un ensemble qui sont liés par une relation d'équivalence appartiennent à la même classe d'équivalence .

Les fondements théoriques des types mathématiques ne sont généralement pas extensionnels dans ce sens, et les sétoïdes sont couramment utilisés pour maintenir une différence entre l'égalité intentionnelle et une relation d'équivalence plus générale (qui a généralement de faibles propriétés de constructibilité ou de décidabilité ).

Il existe différents principes d’extensionnalité en mathématiques.

• Extensionnalité propositionnelle des prédicats : si alors
• Extensionnalité fonctionnelle des fonctions : si alors
• Univalence : si alors .

Selon le fondement choisi, certains principes d'extensionnalité peuvent en impliquer d'autres. Par exemple, il est bien connu que dans les fondements univalents , l'axiome d'univalence implique à la fois une extensionnalité propositionnelle et fonctionnelle. Les principes d'extensionnalité sont généralement considérés comme des axiomes, en particulier dans les théories des types où le contenu computationnel doit être préservé. Cependant, dans la théorie des ensembles et d'autres fondements extensionnels, l'extensionnalité fonctionnelle peut être prouvée comme étant vraie par défaut.

Considérons les deux fonctions f et g mappant depuis et vers les nombres naturels , définis comme suit :

• Pour trouver f ( n ), ajoutez d’abord 5 à n , puis multipliez par 2.
• Pour trouver g ( n ), multipliez d’abord n ​​par 2, puis ajoutez 10.

Ces fonctions sont extensionnellement égales ; étant donné la même entrée, les deux fonctions produisent toujours la même valeur. Mais les définitions des fonctions ne sont pas égales et, dans ce sens intentionnel, les fonctions ne sont pas identiques.

De même, dans le langage naturel, il existe de nombreux prédicats (relations) qui sont intentionnellement différents mais qui sont extensionnellement identiques. Par exemple, supposons qu'un village ne compte qu'une seule personne nommée Joe, qui est également la personne la plus âgée du village. Alors, les deux prédicats « s'appeler Joe » et « être la personne la plus âgée » sont intentionnellement distincts, mais extensionnellement égaux pour la population (actuelle) de ce village.