Métrique Kerr

La métrique de Kerr ou géométrie de Kerr décrit la géométrie de l'espace-temps vide autour d'un trou noir axialement symétrique non chargé en rotation avec un horizon d'événements quasisphérique . La métrique de Kerr est une solution exacte des équations du champ d'Einstein de la relativité générale ; ces équations sont fortement non linéaires , ce qui rend les solutions exactes très difficiles à trouver.

La métrique de Kerr est une généralisation à un corps en rotation de la métrique de Schwarzschild , découverte par Karl Schwarzschild en 1915, qui décrivait la géométrie de l'espace-temps autour d'un corps non chargé, sphériquement symétrique et non rotatif. La solution correspondante pour un corps chargé , sphérique et non rotatif, la métrique de Reissner-Nordström , a été découverte peu de temps après (1916-1918). Cependant, la solution exacte pour un trou noir non chargé et rotatif , la métrique de Kerr, est restée non résolue jusqu'en 1963, date à laquelle elle a été découverte par Roy Kerr . L'extension naturelle à un trou noir chargé et rotatif, la métrique de Kerr-Newman , a été découverte peu de temps après en 1965. Ces quatre solutions liées peuvent être résumées par le tableau suivant, où Q représente la charge électrique du corps et J représente son moment angulaire de spin :

Selon la métrique de Kerr, un corps en rotation devrait présenter un effet de traînage du cadre (également connu sous le nom de précession de Lense-Thirring ), une prédiction distinctive de la relativité générale. La première mesure de cet effet de traînage du cadre a été réalisée en 2011 par l' expérience Gravity Probe B. En gros, cet effet prédit que les objets s'approchant d'une masse en rotation seront entraînés à participer à sa rotation, non pas à cause d'une force ou d'un couple appliqué qui peut être ressenti, mais plutôt à cause de la courbure tourbillonnante de l'espace-temps lui-même associée aux corps en rotation. Dans le cas d'un trou noir en rotation, à des distances suffisamment proches, tous les objets – même la lumière – doivent tourner avec le trou noir ; la région où cela se produit est appelée l' ergosphère .

La lumière provenant de sources distantes peut parcourir plusieurs fois l'horizon des événements (si elle est suffisamment proche), créant ainsi plusieurs images du même objet . Pour un observateur distant, la distance perpendiculaire apparente entre les images diminue d'un facteur e ^{2 π} (environ 500). Cependant, les trous noirs à rotation rapide ont une distance plus faible entre les images de multiplicité.

Les trous noirs en rotation ont des surfaces où la métrique semble avoir des singularités apparentes ; la taille et la forme de ces surfaces dépendent de la masse et du moment angulaire du trou noir . La surface extérieure entoure l' ergosphère et a une forme similaire à une sphère aplatie. La surface intérieure marque l' horizon des événements ; les objets passant à l'intérieur de cet horizon ne peuvent plus jamais communiquer avec le monde extérieur à cet horizon. Cependant, aucune des deux surfaces n'est une véritable singularité, car leur singularité apparente peut être éliminée dans un système de coordonnées différent . Une situation similaire se produit lorsque l'on considère la métrique de Schwarzschild qui semble également entraîner une singularité à ⁠ ⁠ la division de l'espace au-dessus et au-dessous de r _s en deux zones déconnectées ; en utilisant une transformation de coordonnées différente, on peut alors relier la zone externe étendue à la zone interne (voir Métrique de Schwarzschild § Singularités et trous noirs ) – une telle transformation de coordonnées élimine la singularité apparente où les surfaces intérieure et extérieure se rencontrent. Les objets entre ces deux surfaces doivent co-roter avec le trou noir en rotation, comme indiqué ci-dessus ; cette fonctionnalité peut en principe être utilisée pour extraire de l'énergie d'un trou noir en rotation, jusqu'à son énergie de masse invariante , Mc ² .

L'expérience LIGO qui a détecté pour la première fois des ondes gravitationnelles, annoncée en 2016, a également fourni la première observation directe d'une paire de trous noirs Kerr.

La métrique de Kerr est généralement exprimée sous l'une des deux formes suivantes : la forme de Boyer-Lindquist et la forme de Kerr-Schild. Elle peut être facilement dérivée de la métrique de Schwarzschild, en utilisant l' algorithme de Newman-Janis par le formalisme de Newman-Penrose (également connu sous le nom de formalisme de coefficient de spin), l'équation d'Ernst ou la transformation de coordonnées ellipsoïdales .

La métrique de Kerr décrit la géométrie de l'espace-temps au voisinage d'une masse ⁠ ⁠ tournant avec un moment angulaire ⁠ ⁠ . La métrique (ou de manière équivalente son élément de ligne pour le temps propre ) dans les coordonnées de Boyer–Lindquist est

où les coordonnées ⁠ ⁠ sont des coordonnées sphéroïdales aplaties standard , qui sont équivalentes aux coordonnées cartésiennes

où est le rayon de Schwarzschild

et où pour plus de concision, les échelles de longueur ⁠ ⁠ et ⁠ ⁠ ont été introduites comme

Une caractéristique clé à noter dans la mesure ci-dessus est le terme croisé ⁠ ⁠ . Cela implique qu'il existe un couplage entre le temps et le mouvement dans le plan de rotation qui disparaît lorsque le moment angulaire du trou noir devient nul.

Dans la limite non relativiste où ⁠ ⁠ (ou, de manière équivalente, ⁠ ⁠ ) tend vers zéro, la métrique de Kerr devient la métrique orthogonale pour les coordonnées sphéroïdales aplaties

La métrique de Kerr peut être exprimée sous la forme « Kerr–Schild » , en utilisant un ensemble particulier de coordonnées cartésiennes comme suit. Ces solutions ont été proposées par Kerr et Schild en 1965.

Notez que k est un vecteur 3 unitaire , ce qui fait du vecteur 4 un vecteur nul , par rapport à g et à η . Ici, M est la masse constante de l'objet en rotation, η est le tenseur de Minkowski et a est un paramètre de rotation constant de l'objet en rotation. Il est entendu que le vecteur ⁠ ⁠ est dirigé le long de l'axe z positif. La quantité r n'est pas le rayon, mais est plutôt implicitement définie par

Notez que la quantité r devient le rayon habituel R

lorsque le paramètre de rotation ⁠ ⁠ tend vers zéro. Dans cette forme de solution, les unités sont choisies de telle sorte que la vitesse de la lumière soit égale à l'unité ( ⁠ ⁠ ). À de grandes distances de la source ( R ≫ a ), ces équations se réduisent à la forme Eddington–Finkelstein de la métrique de Schwarzschild .

Dans la forme Kerr-Schild de la métrique de Kerr, le déterminant du tenseur métrique est partout égal à moins un, même près de la source.

Comme la métrique de Kerr (tout comme la métrique de Kerr–NUT) est axialement symétrique, elle peut être transformée en une forme à laquelle la transformée de Belinski–Zakharov peut être appliquée. Cela implique que le trou noir de Kerr a la forme d'un soliton gravitationnel .

Si l'on extrait l'énergie de rotation complète d' un trou noir, par exemple avec le processus de Penrose , la masse restante ne peut pas diminuer en dessous de la masse irréductible. Par conséquent, si un trou noir tourne avec le spin , son équivalent en masse totale est supérieur d'un facteur ⁠ ⁠ à celui d'un trou noir de Schwarzschild correspondant où ⁠ ⁠ est égal à ⁠ ⁠ . La raison en est que pour faire tourner un corps statique, il faut appliquer de l'énergie au système. En raison de l' équivalence masse-énergie, cette énergie a également un équivalent en masse, qui s'ajoute à la masse-énergie totale du système, ⁠ ⁠ .

L'équivalent de masse totale ⁠ ⁠ (la masse gravitationnelle) du corps (y compris son énergie de rotation ) et sa masse irréductible ⁠ ⁠ sont liées par

Étant donné que même une vérification directe de la métrique de Kerr implique des calculs fastidieux, les composantes contravariantes ⁠ ⁠ du tenseur métrique en coordonnées de Boyer–Lindquist sont présentées ci-dessous dans l'expression du carré de l' opérateur à quatre gradients :

Nous pouvons réécrire la métrique de Kerr ( ) sous la forme suivante :

Cette métrique est équivalente à un référentiel co-rotatif qui tourne avec une vitesse angulaire Ω qui dépend à la fois du rayon r et de la colatitude θ , où Ω est appelé l' horizon de Killing .

Ainsi, un référentiel inertiel est entraîné par la masse centrale en rotation pour participer à la rotation de cette dernière ; c'est ce qu'on appelle le glissement du référentiel et qui a été testé expérimentalement. Qualitativement, le glissement du référentiel peut être considéré comme l'analogue gravitationnel de l'induction électromagnétique. Une « patineuse sur glace », en orbite au-dessus de l'équateur et en rotation au repos par rapport aux étoiles, étend ses bras. Le bras étendu vers le trou noir sera tordu dans le sens de rotation. Le bras étendu loin du trou noir sera tordu dans le sens inverse de rotation. Elle sera donc accélérée en rotation, dans un sens de rotation contraire au trou noir. C'est l'opposé de ce qui se passe dans l'expérience quotidienne. Si elle tourne déjà à une certaine vitesse lorsqu'elle étend ses bras, les effets d'inertie et les effets de glissement du référentiel s'équilibreront et sa rotation ne changera pas. En raison du principe d'équivalence , les effets gravitationnels sont localement indiscernables des effets inertiels, donc cette vitesse de rotation, à laquelle quand elle étend ses bras rien ne se passe, est sa référence locale pour la non-rotation. Ce référentiel tourne par rapport aux étoiles fixes et tourne en sens inverse par rapport au trou noir. Une métaphore utile est celle d'un système d'engrenage planétaire dans lequel le trou noir est l'engrenage solaire, le patineur est l'engrenage planétaire et l'univers extérieur est l'engrenage annulaire. Cela peut également être interprété à travers le principe de Mach .

Il existe plusieurs surfaces importantes dans la métrique de Kerr ( ). La surface interne correspond à un horizon d'événements similaire à celui observé dans la métrique de Schwarzschild ; cela se produit lorsque la composante purement radiale g _rr de la métrique tend vers l'infini. Résolution de l'équation quadratique ⁠1/g _r⁠ = 0 donne la solution :

qui en unités naturelles (qui donnent ⁠ ⁠ ) se simplifie en :

Alors que dans la métrique de Schwarzschild l'horizon des événements est aussi le lieu où la composante purement temporelle g _tt de la métrique change de signe de positif à négatif, dans la métrique de Kerr cela se produit à une distance différente. Encore une fois, la résolution d'une équation quadratique g _tt = 0 donne la solution :

ou en unités naturelles :

En raison du terme cos ² θ dans la racine carrée, cette surface extérieure ressemble à une sphère aplatie qui touche la surface intérieure aux pôles de l'axe de rotation, où la colatitude θ est égale à 0 ou π ; l'espace entre ces deux surfaces est appelé l' ergosphère . Dans ce volume, la composante purement temporelle g _tt est négative, c'est-à-dire qu'elle agit comme une composante métrique purement spatiale. Par conséquent, les particules dans cette ergosphère doivent co-roter avec la masse intérieure, si elles veulent conserver leur caractère temporel. Une particule en mouvement connaît un temps propre positif le long de sa ligne d'univers , son chemin à travers l'espace-temps . Cependant, cela est impossible dans l'ergosphère, où g _tt est négatif, à moins que la particule ne co-rote autour de la masse intérieure ⁠ ⁠ avec une vitesse angulaire d'au moins ⁠ ⁠ . Ainsi, aucune particule ne peut se déplacer dans la direction opposée à la rotation de la masse centrale dans l'ergosphère.

Comme pour l'horizon des événements dans la métrique de Schwarzschild , la singularité apparente à r _H est due au choix des coordonnées (c'est-à-dire qu'il s'agit d'une singularité de coordonnées ). En fait, l'espace-temps peut être continué en douceur à travers lui par un choix approprié de coordonnées. À son tour, la limite extérieure de l'ergosphère à r _{E n'est pas singulière par elle-même, même dans les coordonnées de Kerr, en raison d'un terme} ⁠ ⁠ non nul .

Un trou noir est en général entouré d'une surface, appelée horizon des événements , située au rayon de Schwarzschild pour un trou noir non rotatif, où la vitesse de libération est égale à la vitesse de la lumière. Au sein de cette surface, aucun observateur/particule ne peut se maintenir à un rayon constant. Il est contraint de tomber vers l'intérieur, et c'est pourquoi on appelle parfois cela la limite statique .

Un trou noir en rotation a la même limite statique à son horizon des événements, mais il existe une surface supplémentaire à l'extérieur de l'horizon des événements appelée « ergosurface » donnée par

dans les coordonnées de Boyer–Lindquist , qui peuvent être intuitivement caractérisées comme la sphère où « la vitesse de rotation de l'espace environnant » est entraînée avec la vitesse de la lumière. Dans cette sphère, l'entraînement est supérieur à la vitesse de la lumière, et tout observateur/particule est forcé de co-roter.

La région située à l'extérieur de l'horizon des événements mais à l'intérieur de la surface où la vitesse de rotation est la vitesse de la lumière, est appelée l' ergosphère (du grec ergon qui signifie travail ). Les particules tombant dans l'ergosphère sont forcées de tourner plus vite et gagnent ainsi de l'énergie. Comme elles sont toujours à l'extérieur de l'horizon des événements, elles peuvent s'échapper du trou noir. Le processus net est que le trou noir en rotation émet des particules énergétiques au prix de sa propre énergie totale. La possibilité d'extraire de l'énergie de spin d'un trou noir en rotation a été proposée pour la première fois par le mathématicien Roger Penrose en 1969 et est donc appelée le processus de Penrose . Les trous noirs en rotation en astrophysique sont une source potentielle de grandes quantités d'énergie et sont utilisés pour expliquer des phénomènes énergétiques, tels que les sursauts gamma .

La géométrie de Kerr présente de nombreuses caractéristiques remarquables : l'extension analytique maximale comprend une séquence de régions extérieures asymptotiquement plates , chacune associée à une ergosphère , des surfaces limites stationnaires, des horizons d'événements , des horizons de Cauchy , des courbes fermées de type temporel et une singularité de courbure en forme d'anneau . L' équation géodésique peut être résolue exactement sous forme fermée. En plus de deux champs de vecteurs de Killing (correspondant à la translation temporelle et à l'axisymétrie ), la géométrie de Kerr admet un tenseur de Killing remarquable . Il existe une paire de congruences principales nulles (une entrante et une sortante ). Le tenseur de Weyl est algébriquement spécial , en fait il a le type de Petrov D. La structure globale est connue. Topologiquement, le type d'homotopie de l'espace-temps de Kerr peut être simplement caractérisé comme une ligne avec des cercles attachés à chaque point entier.

Il faut noter que la géométrie de Kerr interne est instable par rapport aux perturbations dans la région intérieure. Cette instabilité signifie que même si la métrique de Kerr est symétrique par rapport à l'axe, un trou noir créé par effondrement gravitationnel peut ne pas l'être. Cette instabilité implique également que de nombreuses caractéristiques de la géométrie de Kerr décrites ci-dessus peuvent ne pas être présentes à l'intérieur d'un tel trou noir.

Une surface sur laquelle la lumière peut orbiter autour d'un trou noir est appelée une sphère de photons. La solution de Kerr comporte une infinité de sphères de photons , situées entre une sphère intérieure et une sphère extérieure. Dans la solution non rotative de Schwarzschild, avec ⁠ ⁠ , les sphères de photons intérieure et extérieure dégénèrent, de sorte qu'il n'y a qu'une seule sphère de photons à un seul rayon. Plus le spin d'un trou noir est grand, plus les sphères de photons intérieure et extérieure s'éloignent l'une de l'autre. Un faisceau de lumière voyageant dans une direction opposée au spin du trou noir orbitera circulairement autour du trou au niveau de la sphère de photons extérieure. Un faisceau de lumière voyageant dans la même direction que le spin du trou noir orbitera circulairement autour de la sphère de photons intérieure. Les géodésiques en orbite avec un moment angulaire perpendiculaire à l'axe de rotation du trou noir orbiteront sur des sphères de photons entre ces deux extrêmes. Étant donné que l'espace-temps tourne, ces orbites présentent une précession, car il y a un décalage dans la variable ⁠ ⁠ après avoir terminé une période dans la variable ⁠ ⁠ .

Les équations du mouvement des particules d'essai dans l'espace-temps de Kerr sont régies par quatre constantes de mouvement . La première est la masse invariante ⁠ ⁠ de la particule d'essai, définie par la relation où ⁠ ⁠ est le quadruple moment de la particule. De plus, il existe deux constantes de mouvement données par les symétries de translation et de rotation temporelles de l'espace-temps de Kerr, l'énergie ⁠ ⁠ et la composante du moment angulaire orbital parallèle au spin du trou noir ⁠ ⁠ . et

En utilisant la théorie de Hamilton-Jacobi , Brandon Carter a montré qu'il existe une quatrième constante du mouvement, ⁠ ⁠ , maintenant appelée constante de Carter . Elle est liée au moment angulaire total de la particule et est donnée par

Comme il existe quatre constantes de mouvement (indépendantes) pour les degrés de liberté, les équations de mouvement d'une particule test dans l'espace-temps de Kerr sont intégrables .

En utilisant ces constantes de mouvement, les équations de trajectoire d'une particule d'essai peuvent être écrites (en utilisant des unités naturelles de ⁠ ⁠ ), avec

où ⁠ ⁠ est un paramètre affine tel que ⁠ ⁠ . En particulier, lorsque ⁠ ⁠$0\mu >0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67319256f71b2ecddcb2a1f2a58bef0494135e62"> le paramètre affine ⁠ ⁠ , est lié au temps propre ⁠ ⁠ passant par ⁠ ⁠ .

En raison de l' effet de glissement du cadre , un observateur à moment angulaire nul (ZAMO) est en corotation avec la vitesse angulaire ⁠ ⁠ qui est définie par rapport au temps de coordonnées du comptable ⁠ ⁠ . La vitesse locale ⁠ ⁠ de la particule test est mesurée par rapport à une sonde en corotation avec ⁠ ⁠ . La dilatation temporelle gravitationnelle entre un ZAMO à un observateur fixe ⁠ ⁠ et un observateur stationnaire loin de la masse est Dans les coordonnées cartésiennes de Kerr–Schild, les équations pour un photon sont où ⁠ ⁠ est analogue à la constante de Carter et ⁠ ⁠ est une quantité utile

Si nous posons ⁠ ⁠ , les géodésiques de Schwarzschild sont restaurées.

Le groupe des isométries de la métrique de Kerr est le sous-groupe du groupe de Poincaré à dix dimensions qui prend pour lui le lieu bidimensionnel de la singularité. Il conserve les déplacements temporels (une dimension) et les rotations autour de son axe de rotation (une dimension). Il a donc deux dimensions. Comme le groupe de Poincaré, il a quatre composantes connexes : la composante de l'identité ; la composante qui inverse le temps et la longitude ; la composante qui se reflète à travers le plan équatorial ; et la composante qui fait les deux.

En physique, les symétries sont généralement associées à des constantes de mouvement conservées, conformément au théorème de Noether . Comme indiqué ci-dessus, les équations géodésiques ont quatre quantités conservées : l'une d'entre elles provient de la définition d'une géodésique et deux d'entre elles proviennent de la symétrie de translation et de rotation temporelle de la géométrie de Kerr. La quatrième quantité conservée ne provient pas d'une symétrie au sens standard et est communément appelée symétrie cachée.

L'emplacement de l'horizon des événements est déterminé par la plus grande racine de . Lorsque ⁠ ⁠ (c'est-à-dire ⁠ ⁠ ) , il n'y a pas de solutions (à valeur réelle) à cette équation, et il n'y a pas d'horizon des événements. Sans horizons des événements pour le cacher au reste de l'univers, le trou noir cesse d'être un trou noir et sera à la place une singularité nue .

Bien que la solution de Kerr semble être singulière aux racines de , il s'agit en fait de singularités de coordonnées et, avec un choix approprié de nouvelles coordonnées, la solution de Kerr peut être étendue en douceur à travers les valeurs de ⁠ ⁠ correspondant à ces racines. La plus grande de ces racines détermine l'emplacement de l'horizon des événements et la plus petite détermine l'emplacement d'un horizon de Cauchy . Une courbe (orientée vers le futur, de type temporel) peut commencer à l'extérieur et passer par l'horizon des événements. Une fois passée par l'horizon des événements, la coordonnée ⁠ ⁠ se comporte maintenant comme une coordonnée temporelle, elle doit donc diminuer jusqu'à ce que la courbe passe par l'horizon de Cauchy.

La région au-delà de l'horizon de Cauchy présente plusieurs caractéristiques surprenantes. La coordonnée se comporte à nouveau comme une coordonnée spatiale et peut varier librement. La région intérieure a une symétrie de réflexion, de sorte qu'une courbe (de type temps orientée vers le futur) peut continuer le long d'un chemin symétrique, qui continue à travers un deuxième horizon de Cauchy, à travers un deuxième horizon d'événements, et vers une nouvelle région extérieure qui est isométrique à la région extérieure d'origine de la solution de Kerr. La courbe pourrait alors s'échapper vers l'infini dans la nouvelle région ou entrer dans l'horizon d'événements futurs de la nouvelle région extérieure et répéter le processus. Ce deuxième extérieur est parfois considéré comme un autre univers. D'autre part, dans la solution de Kerr, la singularité est un anneau , et la courbe peut passer par le centre de cet anneau. La région au-delà permet des courbes fermées de type temps. Étant donné que la trajectoire des observateurs et des particules en relativité générale est décrite par des courbes de type temps, il est possible pour les observateurs de cette région de retourner dans leur passé. Cette solution intérieure n’est probablement pas physique et est considérée comme un artefact purement mathématique.

Bien qu'il soit attendu que la région extérieure de la solution de Kerr soit stable et que tous les trous noirs en rotation se rapprochent finalement d'une métrique de Kerr, la région intérieure de la solution semble instable, un peu comme un crayon en équilibre sur sa pointe. Ceci est lié à l'idée de censure cosmique .

La géométrie de Kerr est un exemple particulier de solution stationnaire à vide axialement symétrique à l' équation de champ d'Einstein . La famille de toutes les solutions stationnaires à vide axialement symétrique à l'équation de champ d'Einstein est celle des vides d'Ernst.

La solution de Kerr est également liée à diverses solutions non basées sur le vide qui modélisent les trous noirs. Par exemple, l' électrovide de Kerr-Newman modélise un trou noir (en rotation) doté d'une charge électrique, tandis que la poussière nulle de Kerr-Vaidya modélise un trou noir (en rotation) avec un rayonnement électromagnétique entrant.

Le cas particulier de la métrique de Kerr donne la métrique de Schwarzschild , qui modélise un trou noir non rotatif , statique et à symétrie sphérique , dans les coordonnées de Schwarzschild . (Dans ce cas, tous les moments de Geroch, sauf la masse, s'annulent.)

L' intérieur de la géométrie Kerr, ou plutôt une partie de celle-ci, est localement isométrique au vide CPW de Chandrasekhar–Ferrari, un exemple de modèle d'onde plane en collision. Ceci est particulièrement intéressant, car la structure globale de cette solution CPW est assez différente de celle de la géométrie Kerr, et en principe, un expérimentateur pourrait espérer étudier la géométrie (de la partie extérieure de) l'intérieur de Kerr en organisant la collision de deux ondes planes gravitationnelles appropriées .

Chaque vide d'Ernst asymptotiquement plat peut être caractérisé en donnant la séquence infinie de moments multipolaires relativistes , dont les deux premiers peuvent être interprétés comme la masse et le moment angulaire de la source du champ. Il existe des formulations alternatives de moments multipolaires relativistes dues à Hansen, Thorne et Geroch, qui s'avèrent concorder entre elles. Les moments multipolaires relativistes de la géométrie de Kerr ont été calculés par Hansen ; ils s'avèrent être

Ainsi, le cas particulier du vide de Schwarzschild ( ⁠ ⁠ ) donne la « source ponctuelle monopôle » de la relativité générale.

Les moments multipolaires de Weyl proviennent du traitement d'une certaine fonction métrique (correspondant formellement au potentiel gravitationnel newtonien) qui apparaît dans le diagramme de Weyl–Papapetrou pour la famille Ernst de toutes les solutions stationnaires axisymétriques du vide en utilisant les moments multipolaires scalaires euclidiens standards . Ils sont distincts des moments calculés par Hansen, ci-dessus. Dans un sens, les moments de Weyl ne caractérisent que (indirectement) la « distribution de masse » d'une source isolée, et ils s'avèrent ne dépendre que des moments relativistes d'ordre pair . Dans le cas de solutions symétriques par rapport au plan équatorial, les moments de Weyl d'ordre impair s'annulent. Pour les solutions du vide de Kerr, les premiers moments de Weyl sont donnés par

En particulier, nous voyons que le vide de Schwarzschild a un moment de Weyl du second ordre non nul, ce qui correspond au fait que le « monopôle de Weyl » est la solution du vide de Chazy-Curzon, et non la solution du vide de Schwarzschild, qui résulte du potentiel newtonien d'une certaine tige mince de densité uniforme de longueur finie .

En relativité générale des champs faibles, il est commode de traiter les sources isolées en utilisant un autre type de multipôles, qui généralisent les moments de Weyl aux moments multipôles de masse et aux moments multipôles d'impulsion , caractérisant respectivement la distribution de masse et d' impulsion de la source. Il s'agit de quantités multi-indexées dont les parties convenablement symétrisées et anti-symétrisées peuvent être reliées aux parties réelles et imaginaires des moments relativistes pour la théorie non linéaire complète d'une manière assez compliquée.

Perez et Moreschi ont donné une notion alternative de « solutions monopôles » en développant la tétrade NP standard des vides d'Ernst en puissances de ⁠ ⁠ (la coordonnée radiale dans le diagramme de Weyl–Papapetrou). Selon cette formulation :

• la source monopôle de masse isolée avec un moment angulaire nul est la famille du vide Schwarzschild (un paramètre),
• la source monopôle de masse isolée avec moment angulaire radial est la famille de vide Taub–NUT (deux paramètres ; pas tout à fait asymptotiquement plat),
• la source monopôle de masse isolée avec moment angulaire axial est la famille du vide Kerr (deux paramètres).

En ce sens, les vides de Kerr sont les solutions de vide asymptotiquement plates, axisymétriques et stationnaires les plus simples de la relativité générale.

La géométrie de Kerr est souvent utilisée comme modèle d'un trou noir en rotation , mais si la solution est considérée comme valable uniquement à l'extérieur d'une région compacte (sous réserve de certaines restrictions), en principe, elle devrait pouvoir être utilisée comme solution extérieure pour modéliser le champ gravitationnel autour d'un objet massif en rotation autre qu'un trou noir tel qu'une étoile à neutrons ou la Terre. Cela fonctionne très bien pour le cas non rotatif, où l'extérieur du vide de Schwarzschild peut être adapté à un intérieur de fluide de Schwarzschild , et même à des solutions plus générales de fluide parfait à symétrie sphérique statique . Cependant, le problème de trouver un intérieur de fluide parfait en rotation qui puisse être adapté à un extérieur de Kerr, ou même à toute solution d'extérieur de vide asymptotiquement plat, s'est avéré très difficile. En particulier, le fluide de Wahlquist , qui était autrefois considéré comme un candidat à l'adaptation à un extérieur de Kerr, est maintenant connu pour ne pas admettre une telle adaptation. Actuellement, il semble que seules des solutions approximatives modélisant des boules fluides en rotation lente soient connues (il s'agit de l'analogue relativiste des boules sphéroïdales aplaties de masse et de moment angulaire non nuls mais de moments multipolaires supérieurs nuls). Cependant, l'extérieur du disque de Neugebauer-Meinel, une solution exacte de poussière qui modélise un disque mince en rotation, se rapproche dans un cas limite de la géométrie de Kerr. Des solutions physiques de disque mince obtenues en identifiant des parties de l' espace-temps de Kerr sont également connues.