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Fonction de Bessel

où α {\displaystyle \alpha } est un nombre qui détermine la forme de la solution. Ce nombre est appelé l' ordre de la fonction de Bessel et peut être n'importe quel nombre compl...

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${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2} ight)y=0, <mrow><mstyle><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation></semantics></math><img src=$ ordre de la fonction de Bessel et peut être n'importe quel nombre complexe. Bien que la même équation s'applique aux deux cas ${\displaystyle \alpha <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle -\alpha <semantics><mrow><mstyle><mo>−</mo><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle -\alpha }</annotation></semantics></math><img src=$

Les cas les plus importants sont ceux où ${\displaystyle \alpha <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \alpha <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation></semantics></math><img src=$ fonctions cylindriques ou harmoniques cylindriques car elles apparaissent naturellement lors de la résolution de problèmes (comme l'équation de Laplace) en coordonnées cylindriques . ${\displaystyle \alpha <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation></semantics></math><img src=$ fonctions de Bessel sphériques et sont utilisées dans les systèmes sphériques, comme dans la résolution de l' équation de Helmholtz en coordonnées sphériques .

Applications

L'équation de Bessel apparaît lors de la recherche de solutions séparables de l'équation de Laplace et de l' équation de Helmholtz en coordonnées cylindriques ou sphériques . Les fonctions de Bessel sont donc particulièrement importantes pour de nombreux problèmes de propagation d'ondes et de potentiels statiques. En résolvant des problèmes dans des systèmes de coordonnées cylindriques, on obtient des fonctions de Bessel d'ordre entier ( ${\displaystyle \alpha =n <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi><mo>=</mo><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha =n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \alpha =n+1/2 <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha =n+1/2}</annotation></semantics></math><img src=$

Ondes électromagnétiques dans un guide d'ondes cylindrique
Amplitudes de pression des écoulements rotationnels non visqueux
Conduction thermique dans un objet cylindrique
Modes de vibration d'une membrane acoustique mince, circulaire ou annulaire (comme une peau de tambour ou un autre membranophone ) ou de plaques plus épaisses comme une tôle (voir la théorie des plaques de Kirchhoff-Love , la théorie des plaques de Mindlin-Reissner )
Problèmes de diffusion sur un réseau
Solutions de l' équation de Schrödinger en coordonnées sphériques et cylindriques pour une particule libre
Représentation spatiale du propagateur de Feynman en théorie quantique des champs
Résolution des schémas de rayonnement acoustique
Frottement dépendant de la fréquence dans les canalisations circulaires
Dynamique des corps flottants
Résolution angulaire
Cristallographie aux rayons X des structures hélicoïdales, y compris l'ADN et l' hélice alpha des protéines
Fonction de densité de probabilité du produit de deux variables aléatoires normalement distribuées
Analyse des ondes de surface générées par les microtremblements, en géophysique et en sismologie .

Les fonctions de Bessel apparaissent également dans d'autres domaines, tels que le traitement du signal (voir par exemple la synthèse audio FM , la fenêtre de Kaiser ou le filtre de Bessel ). Elles interviennent aussi en mathématiques pures dans le développement de Fourier des formes de Maass .

Définitions

Puisqu'il s'agit d'une équation différentielle linéaire , les solutions peuvent être mises à l'échelle à n'importe quelle amplitude. Les amplitudes choisies pour les fonctions proviennent des premiers travaux où ces fonctions apparaissaient comme solutions d'intégrales définies plutôt que comme solutions d'équations différentielles. L'équation différentielle étant du second ordre, il existe nécessairement deux solutions linéairement indépendantes : une de première espèce et une de seconde espèce. Selon les circonstances, différentes formulations de ces solutions peuvent s'avérer utiles. Différentes variantes sont résumées dans le tableau ci-dessous et décrites dans les sections suivantes. L'indice n est généralement utilisé à la place de… ${\displaystyle \alpha <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \alpha <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation></semantics></math><img src=$

Les fonctions de Bessel de seconde espèce et les fonctions de Bessel sphériques de seconde espèce sont parfois notées respectivement et , plutôt que et .

Fonctions de Bessel de première espèce : J _α

Représentation graphique de la fonction de Bessel de première espèce, ${\displaystyle J_{\alpha }(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{\alpha }(x)}</annotation></semantics></math></span><img src=$ ${\displaystyle \alpha =0,1,2 <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha =0,1,2}</annotation></semantics></math></span><img src=$

Les fonctions de Bessel de première espèce, notées , sont solutions de l'équation différentielle de Bessel. Pour négatif non entier , elles divergent lorsque ${\displaystyle x^{\alpha <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>x</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x^{\alpha }}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}} ight)}^{2m+\alpha }, </span referrerpolicy=$ où est la fonction gamma , une généralisation décalée de la fonction factorielle aux valeurs non entières. Certains auteurs antérieurs définissent différemment la fonction de Bessel de première espèce, essentiellement sans la division par z. ${\displaystyle 2 <semantics><mrow><mstyle><mn>2</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 2}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x/2 <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x/2}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x^{-{1}/{2 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>x</mi><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x^{-{1}/{2}}}</annotation></semantics></math><img src=$

et sont linéairement indépendantes et constituent donc les deux solutions de l'équation différentielle. En revanche, pour ${ displaystyle J_ {-n} (x) = (-1) ^ {n} J_ {n} (x). </span referrerpolicy=$

Cela signifie que les deux solutions ne sont plus linéairement indépendantes. Dans ce cas, la seconde solution linéairement indépendante est alors la fonction de Bessel de seconde espèce, comme expliqué ci-dessous.

Intégrales de Bessel

Une autre définition de la fonction de Bessel, pour des valeurs entières de ${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n au -x\sin au )\,d au ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\pi }e^{i(n au -x\sin au )}\,d au ight), </span referrerpolicy=$ qui est également appelée formule de Hansen-Bessel.

C’est l’approche utilisée par Bessel , à partir de cette définition, il a déduit plusieurs propriétés de la fonction. La définition peut être étendue aux ordres non entiers par l’une des intégrales de Schläfli, pour : ${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha au -x\sin au )\,d au -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha t}\,dt. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>π</mi></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow></msubsup><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mi>τ</mi><mo>−</mo><mi>x</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>τ</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mi>π</mi><mo>)</mo></mrow><mi>π</mi></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>x</mi><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>α</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha au -x\sin au )\,d au -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha t}\,dt.}</annotation></semantics></math><img src=$

Relation avec les séries hypergéométriques

Les fonctions de Bessel peuvent être exprimées en termes de séries hypergéométriques généralisées comme ${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}} ight)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(-;\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}} ight). <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>x</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mrow><mi>Γ</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><msub><mspace></mspace><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msub><mi>F</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mo>;</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>−</mo><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mn>4</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}} ight)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(-;\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}} ight).}</annotation></semantics></math><img src=$

Cette expression est liée au développement des fonctions de Bessel en termes de fonction de Bessel-Clifford .

Relation avec les polynômes de Laguerre

En termes de polynômes de Laguerre et de paramètre ${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}} ight)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}} ight)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}. </span referrerpolicy=$

Fonctions de Bessel de seconde espèce : Y _α

Graphique de la fonction de Bessel de seconde espèce, ${\displaystyle Y_{\alpha }(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y_{\alpha }(x)}</annotation></semantics></math></span><img src=$ ${\displaystyle \alpha =0,1,2 <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha =0,1,2}</annotation></semantics></math></span><img src=$

Les fonctions de Bessel de seconde espèce, notées , parfois notées plutôt , sont des solutions de l'équation différentielle de Bessel qui présentent une singularité à l'origine ( ) et sont multivoques . Elles sont parfois appelées fonctions de Weber , car elles ont été introduites par Weber ( 1873 ) , et également fonctions de Neumann d'après Carl Neumann .

est lié à par ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mi>π</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mi>π</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Dans le cas d'un ordre entier non entier, tend vers ${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha o n}Y_{\alpha }(x). </span referrerpolicy=$

Si ${\displaystyle Y_{n}(z)=-{\frac {\left({\frac {z}{2}} ight)^{-n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(nk-1)!}{k!}}\left({\frac {z^{2}}{4}} ight)^{k}+{\frac {2}{\pi }}J_{n}(z)\ln {\frac {z}{2}}-{\frac {\left({\frac {z}{2}} ight)^{n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(\psi (k+1)+\psi (n+k+1)){\frac {\left(-{\frac {z^{2}}{4}} ight)^{k}}{k!(n+k)! <mrow><mstyle><mi>ψ</mi><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \psi (z)}</annotation></semantics></math><img src=$

Il existe également une formule intégrale correspondante (pour ): ${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin heta -n heta )\,d heta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt} ight)e^{-x\sinh t}\,dt. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>π</mi></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow></msubsup><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>−</mo><mi>n</mi><mi>θ</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>θ</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>π</mi></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mi>n</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>n</mi><mi>t</mi></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>x</mi><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mi>t</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin heta -n heta )\,d heta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt} ight)e^{-x\sinh t}\,dt.}</annotation></semantics></math><img src=$

Dans le cas où : (avec ${\displaystyle \gamma <semantics><mrow><mstyle><mi>γ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \gamma }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Y_{0}\left(x ight)={\frac {4}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos \left(x\cos heta ight)\left(\gamma +\ln \left(2x\sin ^{2} heta ight) ight)\,d heta . <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Y</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>4</mn><msup><mi>π</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mi>π</mi></mrow></msubsup><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>γ</mi><mo>+</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi><msup><mi>péché</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>θ</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y_{0}\left(x ight)={\frac {4}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos \left(x\cos heta ight)\left(\gamma +\ln \left(2x\sin ^{2} heta ight) ight)\,d heta .}</annotation></semantics></math><img src=$

Représentation graphique de la fonction de Bessel de seconde espèce ${\displaystyle Y_{\alpha }(z) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y_{\alpha }(z)}</annotation></semantics></math></span><img src=$ ${\displaystyle \alpha =0.5 <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>0,5</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha =0.5}</annotation></semantics></math></span><img src=$ ${\displaystyle -2-2i <semantics><mrow><mstyle><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>je</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle -2-2i}</annotation></semantics></math></span><img src=$ ${\displaystyle 2+2i <semantics><mrow><mstyle><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>je</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 2+2i}</annotation></semantics></math></span><img src=$

est nécessaire comme seconde solution linéairement indépendante de l'équation de Bessel lorsque a une signification plus profonde. On peut la considérer comme un complément naturel de . Voir également la sous-section sur les fonctions de Hankel ci-dessous.

De plus, lorsque ${ displaystyle Y_ {-n} (x) = (-1) ^ {n} Y_ {n} (x). </span referrerpolicy=$

Les fonctions et sont holomorphes à est un entier, les fonctions de Bessel . Si .

Les fonctions de Bessel de seconde espèce, lorsque Fonctions de Hankel : H , H

Une autre formulation importante des deux solutions linéairement indépendantes de l'équation de Bessel sont les fonctions de Hankel de première et de deuxième espèce , ( x ) et ( x ) , définies comme ${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msubsup><mi>H</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>je</mi><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mi>H</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mi>je</mi><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$ $0 x > 0$ 0 où ${\displaystyle J_{\alpha }(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{\alpha }(x)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y_{\alpha }(x)}</annotation></semantics></math><img src=$ (x), (x) for ${\displaystyle e^{\pm ix <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>e</mi><mrow><mo>±</mo><mi>i</mi><mi>x</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle e^{\pm ix}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{\alpha }(x)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y_{\alpha }(x)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \cos(x) <semantics><mrow><mstyle><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cos(x)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sin(x) <semantics><mrow><mstyle><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sin(x)}</annotation></semantics></math><img src=$

The Hankel functions are used to express outward- and inward-propagating cylindrical-wave solutions of the cylindrical wave equation, respectively (or vice versa, depending on the sign convention for the frequency).

Using the previous relationships, they can be expressed as ${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msubsup><mi>H</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>J</mi><mrow><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>α</mi><mi>π</mi><mi>i</mi></mrow></msup><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mi>H</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>J</mi><mrow><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>α</mi><mi>π</mi><mi>i</mi></mrow></msup><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>−</mo><mi>i</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

If is an integer or not: ${\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msubsup><mi>H</mi><mrow><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>α</mi><mi>π</mi><mi>i</mi></mrow></msup><msubsup><mi>H</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mi>H</mi><mrow><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>α</mi><mi>π</mi><mi>i</mi></mrow></msup><msubsup><mi>H</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

In particular, if 1/2⁠ with ${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned </span referrerpolicy=$

These are useful in developing the spherical Bessel functions (see below).

The Hankel functions admit the following integral representations for : ${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msubsup><mi>H</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>π</mi><mi>i</mi></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mo>+</mo><mi>∞</mi><mo>+</mo><mi>π</mi><mi>i</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mi>x</mi><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>α</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mi>H</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>π</mi><mi>i</mi></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mo>+</mo><mi>∞</mi><mo>−</mo><mi>π</mi><mi>i</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mi>x</mi><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>α</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$ i along the imaginary axis, and from i to i along a contour parallel to the real axis.

Modified Bessel functions: I_α, K_α

The Bessel functions are valid even for complex arguments ${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}} ight)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned </span referrerpolicy=$ Lorsque réels et positifs . Le développement en série de est donc similaire à celui de mais sans le facteur alterné

${\displaystyle K_{\alpha <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>K</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K_{\alpha }}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>K</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable><mtr><mtd><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><msup><mi>je</mi><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msubsup><mi>H</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>je</mi><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mo>−</mo><mi>π</mi><mo><</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>je</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msubsup><mi>H</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>je</mi><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo><</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mi>π</mi></mtd></mtr></mtable><mo></mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}</annotation></semantics></math><img src=$

En utilisant ces deux formules, le résultat est ${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)+Y_{\alpha }^{2}(z) </span referrerpolicy=$ L'intégrale de Nicholson , communément appelée intégrale de Nicholson ou formule de Nicholson, peut être obtenue pour donner le résultat suivant : ${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt, <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>Y</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>8</mn><msup><mi>π</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>matraque</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>α</mi><mi>t</mi><mo>)</mo><msub><mi>K</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}</annotation></semantics></math><img src=$

étant donné que la condition est satisfaite, on peut également montrer que ${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt, <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msubsup><mi>Y</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>8</mn><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mi>π</mi><mo>)</mo></mrow><msup><mi>π</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msub><mi>K</mi><mrow><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,}</annotation></semantics></math><img src=$ Re( α ) | < ⁠ 1 / 2 ⁠ et 0 mais pas lorsque .

Nous pouvons exprimer les première et deuxième fonctions de Bessel en termes des fonctions de Bessel modifiées (celles-ci sont valides si π / 2 ⁠ ): ${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{ frac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>je</mi><mi>z</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mfrac><mrow><mi>α</mi><mi>π</mi><mi>je</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup><msub><mi>je</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>je</mi><mi>z</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>π</mi><mi>je</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup><msub><mi>je</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>2</mn><mi>π</mi></mfrac></mstyle></mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>α</mi><mi>π</mi><mi>je</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow></msup><msub><mi>K</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{ frac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

et sont les deux solutions linéairement indépendantes de l' équation de Bessel modifiée : ${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2} ight)y=0. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mi>x</mi><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2} ight)y=0.}</annotation></semantics></math><img src=$

Contrairement aux fonctions de Bessel ordinaires, qui oscillent en fonction d'un argument réel, et sont respectivement des fonctions à croissance et décroissance exponentielles . À l'instar de la fonction de Bessel ordinaire , la fonction tend vers zéro en et est finie en diverge en , et de la sinon.

Deux formules intégrales pour les fonctions de Bessel modifiées sont (pour ): ${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos heta }\cos \alpha heta \,d heta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>je</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>π</mi></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mi>x</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></msup><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mi>θ</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>θ</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mi>π</mi></mrow><mi>π</mi></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>x</mi><mi>matraque</mi><mo>⁡</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>α</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>K</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>x</mi><mi>matraque</mi><mo>⁡</mo><mi>t</mi></mrow></msup><mi>matraque</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mi>t</mi><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos heta }\cos \alpha heta \,d heta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Les fonctions de Bessel peuvent être décrites comme des transformées de Fourier de puissances de fonctions quadratiques. Par exemple (pour ) : ${\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt. <semantics><mrow><mstyle><mn>2</mn><mspace></mspace><msub><mi>K</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mfrac><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mi>ω</mi><mi>t</mi></mrow></msup><msqrt><msup><mi>t</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt></mfrac></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}</annotation></semantics></math><img src=$

Cela peut être démontré en montrant l'égalité avec la définition intégrale ci-dessus pour . Ceci est réalisé en intégrant une courbe fermée dans le premier quadrant du plan complexe.

Les fonctions de Bessel modifiées de seconde espèce peuvent être représentées avec l'intégrale de Bassett ${\displaystyle K_{n}(xz)={\frac {\Gamma {\left(n+{\frac {1}{2}} ight)}(2z)^{n}}{{\sqrt {\pi }}x^{n}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(xt)\,dt}{(t^{2}+z^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}}}. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>K</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>Γ</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mrow><msqrt><mi>π</mi></msqrt></mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mi>t</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><msup><mi>t</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K_{n}(xz)={\frac {\Gamma {\left(n+{\frac {1}{2}} ight)}(2z)^{n}}{{\sqrt {\pi }}x^{n}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(xt)\,dt}{(t^{2}+z^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Les fonctions de Bessel modifiées et peuvent être représentées en termes d'intégrales à convergence rapide ${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}} ight){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}} ight)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}} ight){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}} ight)\,dx.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>K</mi><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mi>ξ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>4</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mn>3</mn></mfrac></mrow></msqrt></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>K</mi><mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mn>3</mn></mfrac></mrow></msqrt></mfrac></mrow><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mi>ξ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>4</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mn>3</mn></mfrac></mrow></msqrt></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}} ight){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}} ight)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}} ight){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}} ight)\,dx.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

La fonction de Bessel modifiée ${\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi ) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>K</mi><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>ξ</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>π</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>ξ</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )}</annotation></semantics></math><img src=$

La fonction de Bessel modifiée de seconde espèce a également été appelée par les noms suivants (désormais rares) :

Fonction Basset d'après Alfred Barnard Basset
Fonction de Bessel modifiée du troisième type
Fonction de Hankel modifiée
Fonction Macdonald après Hector Munro Macdonald

Fonctions de Bessel sphériques : j _n , y _n

Fonctions sphériques de Bessel de première espèce ${\displaystyle j_{\alpha }(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle j_{\alpha }(x)}</annotation></semantics></math></span><img src=$ ${\displaystyle \alpha =0,1,2 <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha =0,1,2}</annotation></semantics></math></span><img src=$

Fonctions sphériques de Bessel de seconde espèce ${\displaystyle y_{\alpha }(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>y</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y_{\alpha }(x)}</annotation></semantics></math></span><img src=$ ${\displaystyle \alpha =0,1,2 <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha =0,1,2}</annotation></semantics></math></span><img src=$

Lorsqu'on résout l' équation de Helmholtz en coordonnées sphériques par séparation des variables , l'équation radiale prend la forme suivante : ${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1) ight)y=0. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1) ight)y=0.}</annotation></semantics></math><img src=$

Les deux solutions linéairement indépendantes de cette équation sont appelées les fonctions de Bessel sphériques et , et sont liées aux fonctions de Bessel ordinaires et par ${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>j</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mi>π</mi><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfrac></msqrt></mrow><msub><mi>J</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>y</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mi>π</mi><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfrac></msqrt></mrow><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mrow><msqrt><mfrac><mi>π</mi><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfrac></msqrt></mrow><msub><mi>J</mi><mrow><mo>−</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

est également noté ou ; certains auteurs appellent ces fonctions les fonctions de Neumann sphériques .

Les relations avec les fonctions de Bessel ordinaires montrent directement que : ${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>j</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><msub><mi>y</mi><mrow><mo>−</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>y</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msub><mi>j</mi><mrow><mo>−</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Les fonctions de Bessel sphériques peuvent également s'écrire comme (Formules de Rayleigh ) ${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}} ight)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}} ight)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>j</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mrow><mfrac><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>y</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}} ight)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}} ight)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

La fonction de Bessel sphérique d'ordre zéro est également connue sous le nom de fonction sinc (non normalisée) . Les premières fonctions de Bessel sphériques sont : ${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1 ight){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}} ight){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1 ight){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>j</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>.</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>j</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>j</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>j</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>15</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>6</mn><mi>x</mi></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>15</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1 ight){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}} ight){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1 ight){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$ et ${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1 ight){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}} ight){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1 ight){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>y</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>−</mo><msub><mi>j</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>y</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>j</mi><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>−</mo><msub><mi>j</mi><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>3</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>y</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>j</mi><mrow><mo>−</mo><mn>4</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>15</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>6</mn><mi>x</mi></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>15</mn><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>x</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1 ight){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}} ight){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1 ight){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Les premières racines non nulles des premières fonctions de Bessel sphériques sont :

Fonction génératrice

Les fonctions de Bessel sphériques ont les fonctions génératrices ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}} ight)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}} ight)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>z</mi></mfrac></mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msqrt><msup><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mi>t</mi></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><msup><mi>t</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow></mfrac></mrow><msub><mi>j</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>z</mi></mfrac></mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msqrt><msup><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>z</mi><mi>t</mi></msqrt></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><msup><mi>t</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow></mfrac></mrow><msub><mi>y</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}} ight)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}} ight)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Développements en séries finies

Contrairement aux fonctions de Bessel entières , les fonctions de Bessel sphériques ont une expression en série finie : ${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}} ight]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}} ight)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}} ight floor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}} ight)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}} ight floor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}} ight]\\\end{alignedat <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>j</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mi>π</mi><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfrac></msqrt></mrow><msub><mi>J</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo>[</mo><mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mi>x</mi></mrow></msup><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>je</mi><mrow><mi>r</mi><mo>−</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>je</mi><mi>x</mi></mrow></msup><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>je</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>r</mi><mo>−</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mrow><mrow><mo>[</mo><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>n</mi><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mrow><mo>⌊</mo><mrow><mfrac><mi>n</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>⌋</mo></mrow></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn><mi>r</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>n</mi><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mrow><mo>⌊</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>⌋</mo></mrow></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}} ight]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}} ight)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}} ight floor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}} ight)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}} ight floor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}} ight]\\\end{alignedat}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}} ight)}(x)\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}} ight]\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{x}}\left[\cos \left(x+{\frac {n\pi }{2}} ight)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}} ight floor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}-\sin \left(x+{\frac {n\pi }{2}} ight)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}} ight floor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}} ight]\end{alignedat <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>y</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msub><mi>j</mi><mrow><mo>−</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mrow><mfrac><mi>π</mi><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><msub><mi>J</mi><mrow><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo>[</mo><mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mi>x</mi></mrow></msup><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>je</mi><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>je</mi><mi>x</mi></mrow></msup><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>je</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><mrow><mo>[</mo><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>n</mi><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mrow><mo>⌊</mo><mrow><mfrac><mi>n</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>⌋</mo></mrow></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn><mi>r</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>n</mi><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mrow><mo>⌊</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>⌋</mo></mrow></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}} ight)}(x)\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}} ight]\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{x}}\left[\cos \left(x+{\frac {n\pi }{2}} ight)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}} ight floor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}-\sin \left(x+{\frac {n\pi }{2}} ight)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}} ight floor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}} ight]\end{alignedat}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Relations différentielles

Dans ce qui suit, est l'un des , , , pour ${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}} ight)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z) ight)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}} ight)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z) ight)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>z</mi></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>z</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>z</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msub><mi>f</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>z</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msub><mi>f</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>z</mi></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>z</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>z</mi><mrow><mo>−</mo><mi>n</mi></mrow></msup><msub><mi>f</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>m</mi></mrow></msup><msup><mi>z</mi><mrow><mo>−</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>m</mi></mrow></msup><msub><mi>f</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}} ight)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z) ight)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}} ight)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z) ight)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Fonctions de Hankel sphériques : h , h

Il existe également des analogues sphériques des fonctions de Hankel : ${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msubsup><mi>h</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>j</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>je</mi><msub><mi>y</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mi>h</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>j</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mi>je</mi><msub><mi>y</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Il existe des expressions analytiques simples pour les fonctions de Bessel d' ordre demi-entier en fonction des fonctions trigonométriques usuelles , et donc pour les fonctions de Bessel sphériques. En particulier, pour les entiers non négatifs ${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}, </span referrerpolicy=$ et est le conjugué complexe de celui-ci (pour sin x / x ⁠ et cos x / x ⁠ , et ainsi de suite.

Les fonctions de Hankel sphériques apparaissent dans les problèmes impliquant la propagation d'ondes sphériques , par exemple dans le développement multipolaire du champ électromagnétique .

Fonctions de Riccati – Bessel : S _n , C _n , ξ _n , ζ _n

Les fonctions de Riccati -Bessel ne diffèrent que légèrement des fonctions de Bessel sphériques : ${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>S</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>x</mi><msub><mi>j</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mrow><mi>π</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></msqrt></mrow><msub><mi>J</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>C</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>x</mi><msub><mi>y</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><msqrt><mfrac><mrow><mi>π</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></msqrt></mrow><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>ξ</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>x</mi><msubsup><mi>h</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mrow><mi>π</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></msqrt></mrow><msubsup><mi>H</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mi>je</mi><msub><mi>C</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>ζ</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>x</mi><msubsup><mi>h</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mrow><mi>π</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></msqrt></mrow><msubsup><mi>H</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>je</mi><msub><mi>C</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Elles satisfont à l'équation différentielle ${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1) ight)y=0. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mfrac><mrow><msup><mi>d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1) ight)y=0.}</annotation></semantics></math><img src=$

Par exemple, ce type d'équation différentielle apparaît en mécanique quantique lors de la résolution de la composante radiale de l' équation de Schrödinger avec une barrière de potentiel cylindrique infinie hypothétique. Cette équation différentielle, ainsi que les solutions de Riccati-Bessel, interviennent également dans le problème de la diffusion des ondes électromagnétiques par une sphère, connue sous le nom de diffusion de Mie d'après la première solution publiée par Mie (1908). Voir par exemple Du (2004) pour des développements récents et des références.

Suite à Debye (1909), la notation , est parfois utilisée à la place de , .

formes asymptotiques

Les fonctions de Bessel ont les formes asymptotiques suivantes . Pour de petits arguments ${\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1 <semantics><mrow><mstyle><mn>0</mn><mo><</mo><mi>z</mi><mo>≪</mo><mrow><msqrt><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \alpha <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}} ight)^{\alpha }. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>∼</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>Γ</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>z</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}} ight)^{\alpha }.}</annotation></semantics></math><img src=$

Lorsque ${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}} ight)^{\alpha }. </span referrerpolicy=$

Pour la fonction de Bessel de seconde espèce, nous avons trois cas : ${\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}} ight)+\gamma ight)&{ ext{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}} ight)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}} ight)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{ ext{if }}\alpha { ext{ is a positive integer,}}\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}} ight)^{\alpha }&{ ext{if }}\alpha { ext{ is a negative integer,}}\end{cases <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>∼</mo><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable><mtr><mtd><mrow><mstyle><mfrac><mn>2</mn><mi>π</mi></mfrac></mstyle></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mstyle><mfrac><mi>z</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mi>γ</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><mtext>si </mtext></mrow><mi>α</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mrow><mstyle><mfrac><mrow><mi>Γ</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></mrow><mi>π</mi></mfrac></mstyle></mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>2</mn><mi>z</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mrow><mstyle><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>Γ</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mfrac></mstyle></mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mstyle><mfrac><mi>z</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mi>lit bébé</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mi>π</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mrow><mtext>si </mtext></mrow><mi>α</mi><mrow><mtext> est un entier positif,</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mrow><mstyle><mfrac><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mi>Γ</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>α</mi><mo>)</mo></mrow><mi>π</mi></mfrac></mstyle></mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mstyle><mfrac><mi>z</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mtd><mtd><mrow><mtext>si </mtext></mrow><mi>α</mi><mrow><mtext> est un entier négatif,</mtext></mrow></mtd></mtr></mtable><mo></mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}} ight)+\gamma ight)&{ ext{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}} ight)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}} ight)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{ ext{if }}\alpha { ext{ is a positive integer,}}\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}} ight)^{\alpha }&{ ext{if }}\alpha { ext{ is a negative integer,}}\end{cases}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \alpha <mrow><mstyle><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation></semantics></math><img src=$

Pour de grands arguments réels α ² − ⁠ 1 / 4 ⁠ | , on ne peut pas écrire une forme asymptotique exacte pour les fonctions de Bessel de première et de seconde espèce (sauf si , on peut écrire une équation contenant un terme d'ordre z | ⁻¹ : ${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)+e^{\left|\operatorname {Im} (z) ight|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1} ight) ight)&&{ ext{for }}\left|\arg z ight|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)+e^{\left|\operatorname {Im} (z) ight|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1} ight) ight)&&{ ext{for }}\left|\arg z ight|<\pi .\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mn>2</mn><mrow><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfrac></msqrt></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>z</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>α</mi><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><mi>Je suis</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></msup><mrow><mrow><mi>O</mi></mrow></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>z</mi><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd></mtd><mtd><mrow><mtext>pour </mtext></mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi></mrow><mo>|</mo></mrow><mo><</mo><mi>π</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mn>2</mn><mrow><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfrac></msqrt></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>z</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>α</mi><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><mi>Je suis</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></msup><mrow><mrow><mi>O</mi></mrow></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>z</mi><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd></mtd><mtd><mrow><mtext>pour </mtext></mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi></mrow><mo>|</mo></mrow><mo><</mo><mi>π</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)+e^{\left|\operatorname {Im} (z) ight|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1} ight) ight)&&{ ext{for }}\left|\arg z ight|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)+e^{\left|\operatorname {Im} (z) ight|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1} ight) ight)&&{ ext{for }}\left|\arg z ight|<\pi .\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

(Pour , les derniers termes de ces formules disparaissent complètement ; voir les fonctions de Bessel sphériques ci-dessus

Les formes asymptotiques des fonctions de Hankel sont : ${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)}&&{ ext{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)}&&{ ext{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msubsup><mi>H</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>∼</mo><mrow><msqrt><mfrac><mn>2</mn><mrow><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfrac></msqrt></mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>z</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>α</mi><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></msup></mtd><mtd></mtd><mtd><mrow><mtext>pour </mtext></mrow><mo>−</mo><mi>π</mi><mo><</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi><mo><</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mi>H</mi><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>∼</mo><mrow><msqrt><mfrac><mn>2</mn><mrow><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow></mfrac></msqrt></mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>je</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>z</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>α</mi><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></msup></mtd><mtd></mtd><mtd><mrow><mtext>pour </mtext></mrow><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mo><</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi><mo><</mo><mi>π</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)}&&{ ext{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)}&&{ ext{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Ces résultats peuvent être étendus à d'autres valeurs de en utilisant des équations reliant ( ze ^{im π} ) et ( ze ^{im π} ) à ( z ) et ( z ) .

Il est intéressant de noter que, bien que la fonction de Bessel de première espèce soit la moyenne des deux fonctions de Hankel, n'est pas asymptotique à la moyenne de ces deux formes asymptotiques lorsque utilisée). Cependant, les formes asymptotiques des fonctions de Hankel permettent d'écrire des formes asymptotiques pour les fonctions de Bessel de première et de seconde espèce pour tend vers l'infini avec un angle de phase constant (en utilisant la racine carrée ayant une partie réelle positive). ${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)}&&{ ext{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)}&&{ ext{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)}&&{ ext{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)}&&{ ext{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>∼</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></msqrt></mfrac></mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>z</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>α</mi><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></msup></mtd><mtd></mtd><mtd><mrow><mtext>pour </mtext></mrow><mo>−</mo><mi>π</mi><mo><</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi><mo><</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>∼</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></msqrt></mfrac></mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>je</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>z</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>α</mi><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></msup></mtd><mtd></mtd><mtd><mrow><mtext>pour </mtext></mrow><mn>0</mn><mo><</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi><mo><</mo><mi>π</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>∼</mo><mo>−</mo><mi>je</mi><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></msqrt></mfrac></mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>z</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>α</mi><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></msup></mtd><mtd></mtd><mtd><mrow><mtext>pour </mtext></mrow><mo>−</mo><mi>π</mi><mo><</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi><mo><</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>Y</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>∼</mo><mi>je</mi><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></msqrt></mfrac></mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>je</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>z</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>α</mi><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>4</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></msup></mtd><mtd></mtd><mtd><mrow><mtext>pour </mtext></mrow><mn>0</mn><mo><</mo><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi><mo><</mo><mi>π</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)}&&{ ext{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)}&&{ ext{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)}&&{ ext{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}} ight)}&&{ ext{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour les fonctions de Bessel modifiées, Hankel a également développé des développements asymptotiques : ${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1 ight)\left(4\alpha ^{2}-9 ight)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1 ight)\left(4\alpha ^{2}-9 ight)\left(4\alpha ^{2}-25 ight)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots ight)&&{ ext{for }}\left|\arg z ight|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1 ight)\left(4\alpha ^{2}-9 ight)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1 ight)\left(4\alpha ^{2}-9 ight)\left(4\alpha ^{2}-25 ight)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots ight)&&{ ext{for }}\left|\arg z ight|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>je</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>∼</mo><mrow><mfrac><msup><mi>e</mi><mrow><mi>z</mi></mrow></msup><msqrt><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></msqrt></mfrac></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>4</mn><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>8</mn><mi>z</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>4</mn><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>4</mn><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>9</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>!</mo><mo>(</mo><mn>8</mn><mi>z</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>4</mn><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>4</mn><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>9</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>4</mn><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>25</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>!</mo><mo>(</mo><mn>8</mn><mi>z</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mo>⋯</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd></mtd><mtd><mrow><mtext>pour </mtext></mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi></mrow><mo>|</mo></mrow><mo><</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>K</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>∼</mo><mrow><msqrt><mfrac><mi>π</mi><mrow><mn>2</mn><mi>z</mi></mrow></mfrac></msqrt></mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>z</mi></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>4</mn><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>8</mn><mi>z</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>4</mn><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>4</mn><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>9</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>!</mo><mo>(</mo><mn>8</mn><mi>z</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>4</mn><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>4</mn><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>9</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>4</mn><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>25</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>!</mo><mo>(</mo><mn>8</mn><mi>z</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mo>⋯</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd></mtd><mtd><mrow><mtext>pour </mtext></mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi></mrow><mo>|</mo></mrow><mo><</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1 ight)\left(4\alpha ^{2}-9 ight)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1 ight)\left(4\alpha ^{2}-9 ight)\left(4\alpha ^{2}-25 ight)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots ight)&&{ ext{for }}\left|\arg z ight|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1 ight)\left(4\alpha ^{2}-9 ight)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1 ight)\left(4\alpha ^{2}-9 ight)\left(4\alpha ^{2}-25 ight)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots ight)&&{ ext{for }}\left|\arg z ight|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Il existe également la forme asymptotique (pour de grandes valeurs réelles ${\displaystyle z <semantics><mrow><mstyle><mi>z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle z}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arcsinh} \left({\frac {\alpha }{z}} ight)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}} ight)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}} ight) ight).\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>je</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mrow><msqrt><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></msqrt></mrow><mrow><mroot><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mroot></mrow></mrow></mfrac></mrow><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mi>α</mi><mi>arcsinh</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>α</mi><mi>z</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mi>z</mi><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow></msqrt></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mrow><mi>O</mi></mrow></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>z</mi><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow></msqrt></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arcsinh} \left({\frac {\alpha }{z}} ight)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}} ight)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}} ight) ight).\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Lorsque , tous les termes sauf le premier s'annulent, et nous avons ${\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{ ext{for }}\left|\arg z ight|<{ frac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>je</mi><mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mn>2</mn><mi>π</mi></mfrac></msqrt></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mrow><msqrt><mi>z</mi></msqrt></mfrac></mrow><mo>∼</mo><mrow><mfrac><msup><mi>e</mi><mrow><mi>z</mi></mrow></msup><msqrt><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>z</mi></msqrt></mfrac></mrow></mtd><mtd></mtd><mtd><mrow><mtext>pour </mtext></mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><mi>arg</mi><mo>⁡</mo><mi>z</mi></mrow><mo>|</mo></mrow><mo><</mo><mrow><mstyle><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>K</mi><mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>/</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><msqrt><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></msqrt></mrow><mrow><mfrac><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>z</mi></mrow></msup><msqrt><mi>z</mi></msqrt></mfrac></mrow><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{ ext{for }}\left|\arg z ight|<{ frac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour les petits arguments ${\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1 <semantics><mrow><mstyle><mn>0</mn><mo><</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>z</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>≪</mo><mrow><msqrt><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></msqrt></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}}</annotation></semantics></math><img src=$ $0\end{cases}}\end{aligned \begin{matrix} {je}_{α} (z) & \sim \frac{1}{Γ (α + 1)} {(\frac{z}{2})}^{α}, \\ K_{α} (z) & \sim {\begin{matrix} - \ln (\frac{z}{2}) - γ & si α = 0 \\ \frac{Γ (α)}{2} {(\frac{2}{z})}^{α} & si α > 0 \end{matrix} \end{matrix}$ 0\end{cases}}\end{aligned

Propriétés

Pour toute fonction de Bessel dont l'ordre ${\displaystyle \alpha <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)=J_{\alpha -1}(x)-{\alpha \over x}J_{\alpha }(x) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mrow><mfrac><mi>α</mi><mi>x</mi></mfrac></mrow><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)=J_{\alpha -1}(x)-{\alpha \over x}J_{\alpha }(x)}</annotation></semantics></math><img src=$

ou, de manière équivalente,

${\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)={\alpha \over x}J_{\alpha }(x)-J_{\alpha +1}(x) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>α</mi><mi>x</mi></mfrac></mrow><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)={\alpha \over x}J_{\alpha }(x)-J_{\alpha +1}(x)}</annotation></semantics></math><img src=$

Ces formules peuvent être utilisées pour déterminer une relation de récurrence pour ${\displaystyle J_{\alpha }(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{\alpha }(x)}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour un ordre entier , est souvent défini via une série de Laurent pour une fonction génératrice : ${\displaystyle e^{{\frac {x}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}} ight)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>e</mi><mrow><mrow><mfrac><mi>x</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>t</mi><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>t</mi></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></msup><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>J</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><msup><mi>t</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle e^{{\frac {x}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}} ight)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$

Série infinie de fonctions de Bessel sous la forme ${ extstyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty }J_{N u +p}(x) <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>ν</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>J</mi><mrow><mi>N</mi><mi>ν</mi><mo>+</mo><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ extstyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty }J_{N u +p}(x)}</annotation></semantics></math><img src=$ $u ,p\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+ <semantics><mrow><mi>ν</mi><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>∈</mo><mrow><mi>Z</mi></mrow><mo>,</mo><mtext> </mtext><mi>N</mi><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mo>+</mo></mrow></msup></mrow><annotation> u ,p\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty }J_{N u +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>ν</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>J</mi><mrow><mi>N</mi><mi>ν</mi><mo>+</mo><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>N</mi></mfrac></mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>q</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mi>x</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>q</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>N</mi></mrow></mrow></msup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>je</mi><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>p</mi><mi>q</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>N</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty }J_{N u +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty }(-1)^{ u }J_{N u +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>ν</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>ν</mi></mrow></msup><msub><mi>J</mi><mrow><mi>N</mi><mi>ν</mi><mo>+</mo><mi>p</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>N</mi></mfrac></mrow><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>q</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mi>x</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>q</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>π</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>N</mi></mrow></mrow></msup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>je</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>q</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>π</mi><mi>p</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>N</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty }(-1)^{ u }J_{N u +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N}}</annotation></semantics></math><img src=$

Un développement en série utilisant les fonctions de Bessel ( série de Kapteyn ) est ${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(nz). <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>z</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>J</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>n</mi><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(nz).}</annotation></semantics></math><img src=$

Une autre relation importante pour les ordres entiers est le développement de Jacobi-Anger : ${\displaystyle e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mi>z</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>ϕ</mi></mrow></msup><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msup><mi>je</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><msub><mi>J</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mi>n</mi><mi>ϕ</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle e^{iz\sin heta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)\,e^{in heta }. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mi>z</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></msup><mo>≡</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>J</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><msup><mi>e</mi><mrow><mi>je</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle e^{iz\sin heta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)\,e^{in heta }.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Ce dernier est équivalent à ${\displaystyle e^{\pm iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin((2n+1)\phi ) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>e</mi><mrow><mo>±</mo><mi>je</mi><mi>z</mi><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>ϕ</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>J</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>n</mi><mi>ϕ</mi><mo>)</mo><mo>±</mo><mn>2</mn><mi>je</mi><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>J</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>ϕ</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle e^{\pm iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin((2n+1)\phi )}</annotation></semantics></math><img src=$

Plus généralement, une série ${\displaystyle f(z)=a_{0}^{ u }J_{ u }(z)+2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{ u }J_{ u +k}(z) <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msubsup><mi>un</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>ν</mi></mrow></msubsup><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msubsup><mi>un</mi><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>ν</mi></mrow></msubsup><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(z)=a_{0}^{ u }J_{ u }(z)+2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{ u }J_{ u +k}(z)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>un</mi><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>je</mi></mrow></mfrac></mrow><msub><mo>∫</mo><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>z</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mi>c</mi></mrow></msub><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><msub><mi>O</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz}</annotation></semantics></math><img src=$

Certaines fonctions admettent la représentation spéciale ${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{ u }J_{ u +2k}(z) <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msubsup><mi>un</mi><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>ν</mi></mrow></msubsup><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{ u }J_{ u +2k}(z)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle a_{k}^{ u }=2( u +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{ u +2k}(z)}{z}}\,dz <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>un</mi><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>ν</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>(</mo><mi>ν</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>)</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mrow><mi>z</mi></mfrac></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a_{k}^{ u }=2( u +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{ u +2k}(z)}{z}}\,dz}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta ) ight)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2 <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mi>β</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>z</mi></mrow><mi>z</mi></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>2</mn><mi>π</mi></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>−</mo><mi>β</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msup><mi>α</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>β</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta ) ight)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Plus généralement, si ${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{ u +k}(z) <mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></mrow><mrow><mo>{</mo><mrow><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></munder><msub><mi>un</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mo>}</mo></mrow><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mfrac></mrow><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mrow><mfrac><msub><mi>un</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>s</mi><mo>+</mo><mrow><msqrt><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></msqrt></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>ν</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow></msup></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{ u +k} ight\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}} ight)^{ u +k}}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{ u +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }} ight) <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></munder><msub><mi>un</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msup><mi>ξ</mi><mrow><mi>ν</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>ξ</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></mrow><mo>{</mo><mi>f</mi><mo>}</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mi>ξ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>ξ</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{ u +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\ <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></mrow><mo>{</mo><mi>f</mi><mo>}</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}J_{ u }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}} ight)^{ u }}{\Gamma \left( u +{\frac {1}{2}} ight){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2} ight)^{ u -{\frac {1}{2}}}\,ds\\[5px]&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}} ight)}^{ u }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}- u ight)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1 ight)^{ u +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned </span referrerpolicy=$ où 1 / 2 ⁠ et . Cette formule est particulièrement utile lors de l'utilisation de transformées de Fourier .

Puisque l'équation de Bessel devient hermitienne (auto-adjointe) lorsqu'elle est divisée par ${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m} ight)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n} ight)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m} ight) ight]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha }'\left(u_{\alpha ,m} ight) ight]^{2 </span referrerpolicy=$ où , est le symbole de Kronecker , et est le . Cette relation d'orthogonalité peut alors être utilisée pour extraire les coefficients de la série de Fourier-Bessel , où une fonction est développée dans la base des fonctions variable .

Une relation analogue pour les fonctions de Bessel sphériques s'ensuit immédiatement : ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m} ight)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n} ight)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m} ight) ight]^{2 <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msub><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><msub><mi>vous</mi><mrow><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><msub><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><msub><mi>vous</mi><mrow><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mn>2</mn></mfrac></mrow><msup><mrow><mo>[</mo><mrow><msub><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>vous</mi><mrow><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>m</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m} ight)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n} ight)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m} ight) ight]^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$

Si l'on définit une fonction porte de comme : ${\displaystyle f_{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x-1}{\varepsilon }} ight) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>f</mi><mrow><mi>ε</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>ε</mi></mfrac></mrow><mi>droit</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>ε</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f_{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x-1}{\varepsilon }} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ rectangle ) alors sa transformée de Hankel (d'ordre quelconque ) , g tend vers lorsque Hankel (du même ordre) de est : ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)g_{\varepsilon }(k)\,dk=f_{\varepsilon }(x) <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>k</mi><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mi>x</mi><mo>)</mo><msub><mi>g</mi><mrow><mi>ε</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>k</mi><mo>=</mo><msub><mi>f</mi><mrow><mi>ε</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)g_{\varepsilon }(k)\,dk=f_{\varepsilon }(x)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)J_{\alpha }(k)\,dk=\delta (x-1) </span referrerpolicy=$

Un changement de variables donne alors l' équation de fermeture : ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v) <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><mi>x</mi><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>vous</mi><mi>x</mi><mo>)</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>v</mi><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>vous</mi></mfrac></mrow><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>vous</mi><mo>−</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)}</annotation></semantics></math><img src=$ 1 / 2 ⁠ . Pour les fonctions de Bessel sphériques, la relation d'orthogonalité est : ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {\pi }{2uv}}\delta (u-v) <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></msubsup><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msub><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>vous</mi><mi>x</mi><mo>)</mo><msub><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>v</mi><mi>x</mi><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mrow><mn>2</mn><mi>vous</mi><mi>v</mi></mrow></mfrac></mrow><mi>δ</mi><mo>(</mo><mi>vous</mi><mo>−</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {\pi }{2uv}}\delta (u-v)}</annotation></semantics></math><img src=$

Une autre propriété importante des équations de Bessel, qui découle de l'identité d'Abel , concerne le wronskien des solutions : ${\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><msub><mi>B</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><msub><mi>B</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><msub><mi>C</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mi>x</mi></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x){\frac {dY_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dJ_{\alpha }}{dx}}Y_{\alpha }(x)={\frac {2}{\pi x <mrow><mstyle><msub><mi>je</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><msub><mi>K</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><msub><mi>je</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><msub><mi>K</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle I_{\alpha }(x){\frac {dK_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dI_{\alpha }}{dx}}K_{\alpha }(x)=-{\frac {1}{x}},}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour , la fonction entière paire de genre 1, , n'a que des zéros réels. ${\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots <j_{\alpha ,n}<\cdots <semantics><mrow><mstyle><mn>0</mn><mo><</mo><msub><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo><</mo><msub><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi><mo>,</mo><mn>2</mn></mrow></msub><mo><</mo><mo>⋯</mo><mo><</mo><msub><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo><</mo><mo>⋯</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots <j_{\alpha ,n}<\cdots }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {\left({\frac {z}{2}} ight)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{j_{\alpha ,n}^{2}}} ight) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>J</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>z</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mrow><mi>Γ</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><munderover><mo>∏</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><msup><mi>z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {\left({\frac {z}{2}} ight)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{j_{\alpha ,n}^{2}}} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

(Il existe un grand nombre d'autres intégrales et identités connues qui ne sont pas reproduites ici, mais que l'on peut trouver dans les références.)

Relations de récurrence

Les fonctions , , , et satisfont toutes les relations de récurrence ${\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>α</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }(x)}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x), <semantics><mrow><mstyle><mn>2</mn><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>α</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }(x)}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x),}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}} ight)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x) ight]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}} ight)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}} ight]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msup><mrow><mo>[</mo><mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>]</mo></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mrow><mi>α</mi><mo>−</mo><mi>m</mi></mrow></msup><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>α</mi><mo>−</mo><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msup><mrow><mo>[</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>]</mo></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>m</mi></mrow></msup><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><msup><mi>x</mi><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>m</mi></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}} ight)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x) ight]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}} ight)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}} ight]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

À partir des relations précédentes, on peut obtenir des relations similaires pour les fonctions de Bessel sphériques :

${\displaystyle {\frac {2\alpha +1}{x}}j_{\alpha }(x)=j_{\alpha -1}+j_{\alpha +1 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><msub><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {2\alpha +1}{x}}j_{\alpha }(x)=j_{\alpha -1}+j_{\alpha +1}}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle {\frac {dj_{\alpha }(x)}{dx}}=j_{\alpha -1}-{\frac {\alpha +1}{x}}j_{\alpha <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><msub><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><msub><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><msub><mi>j</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {dj_{\alpha }(x)}{dx}}=j_{\alpha -1}-{\frac {\alpha +1}{x}}j_{\alpha }}</annotation></semantics></math><img src=$

Les fonctions de Bessel modifiées suivent des relations similaires : ${\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}} ight)\left(t+{\frac {1}{t}} ight)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>e</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>x</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>t</mi><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>t</mi></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></msup><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>je</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><msup><mi>t</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}} ight)\left(t+{\frac {1}{t}} ight)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle e^{z\cos heta }=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos n heta <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>e</mi><mrow><mi>z</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msub><mi>je</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>je</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>n</mi><mi>θ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle e^{z\cos heta }=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos n heta }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{z\cos(m heta )+y\cos heta }d heta =I_{0}(z)I_{0}(y)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)I_{mn}(y). <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mi>z</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>m</mi><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>y</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></msup><mi>d</mi><mi>θ</mi><mo>=</mo><msub><mi>je</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><msub><mi>je</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>je</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><msub><mi>je</mi><mrow><mi>m</mi><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{z\cos(m heta )+y\cos heta }d heta =I_{0}(z)I_{0}(y)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)I_{mn}(y).}</annotation></semantics></math><img src=$

La relation de récurrence se lit ${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\[1ex]C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>C</mi><mrow><mi>α</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>α</mi></mrow><mi>x</mi></mfrac></mrow><msub><mi>C</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>C</mi><mrow><mi>α</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mrow><mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><msub><mi>C</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\[1ex]C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Transcendance

En 1929, Carl Ludwig Siegel a démontré que , _ν ( x ) et la dérivée logarithmique des nombres transcendants lorsque ν est rationnel et x est algébrique et non nul. Cette même démonstration implique également que ${\displaystyle \Gamma (v+1)(2/x)^{v}J_{v}(x) <semantics><mrow><mstyle><mi>Γ</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>x</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>v</mi></mrow></msup><msub><mi>J</mi><mrow><mi>v</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Gamma (v+1)(2/x)^{v}J_{v}(x)}</annotation></semantics></math><img src=$

Sommes avec fonctions de Bessel

Le produit de deux fonctions de Bessel admet la somme suivante : ${\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty }J_{ u }(x)J_{n- u }(y)=J_{n}(x+y), <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>ν</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>ν</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty }J_{ u }(x)J_{n- u }(y)=J_{n}(x+y),}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty }J_{ u }(x)J_{ u +n}(y)=J_{n}(y-x). <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>ν</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty }J_{ u }(x)J_{ u +n}(y)=J_{n}(y-x).}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty }J_{ u }(x)J_{ u +n}(x)=\delta _{n,0 <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>ν</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty }J_{ u }(x)J_{ u +n}(x)=\delta _{n,0}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty }J_{ u }^{2}(x)=1. <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>ν</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msubsup><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty }J_{ u }^{2}(x)=1.}</annotation></semantics></math><img src=$

Ces sommes peuvent être étendues pour inclure un multiplicateur de terme qui est une fonction polynomiale de l'indice. Par exemple, ${\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty } u J_{ u }(x)J_{ u +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,1}+\delta _{n,-1} ight), <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>ν</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mi>ν</mi><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>x</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty } u J_{ u }(x)J_{ u +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,1}+\delta _{n,-1} ight),}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty } u J_{ u }^{2}(x)=0, <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>ν</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mi>ν</mi><msubsup><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty } u J_{ u }^{2}(x)=0,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty } u ^{2}J_{ u }(x)J_{ u +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,-1}-\delta _{n,1} ight)+{\frac {x^{2}}{4}}\left(\delta _{n,-2}+2\delta _{n,0}+\delta _{n,2} ight), <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>ν</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msup><mi>ν</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>x</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mn>4</mn></mfrac></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty } u ^{2}J_{ u }(x)J_{ u +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,-1}-\delta _{n,1} ight)+{\frac {x^{2}}{4}}\left(\delta _{n,-2}+2\delta _{n,0}+\delta _{n,2} ight),}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty } u ^{2}J_{ u }^{2}(x)={\frac {x^{2}}{2}}. <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>ν</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>∞</mi></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><msup><mi>ν</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msubsup><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{ u =-\infty }^{\infty } u ^{2}J_{ u }^{2}(x)={\frac {x^{2}}{2}}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Théorème de multiplication

Les fonctions de Bessel obéissent à un théorème de multiplication. ${\displaystyle \lambda ^{- u }J_{ u }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(1-\lambda ^{2} ight)z}{2}} ight)^{n}J_{ u +n}(z), <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>λ</mi><mrow><mo>−</mo><mi>ν</mi></mrow></msup><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>λ</mi><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow></mfrac></mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mi>λ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>z</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><msub><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lambda ^{- u }J_{ u }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(1-\lambda ^{2} ight)z}{2}} ight)^{n}J_{ u +n}(z),}</annotation></semantics></math><img src=$ λ ² − 1 | < 1 , l'expression ci-dessus reste valable si . Les identités analogues pour les fonctions de Bessel modifiées et λ ² − 1 | < 1 sont ${\displaystyle \lambda ^{- u }I_{ u }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1 ight)z}{2}} ight)^{n}I_{ u +n}(z) <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>λ</mi><mrow><mo>−</mo><mi>ν</mi></mrow></msup><msub><mi>je</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>λ</mi><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow></mfrac></mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>λ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>z</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><msub><mi>je</mi><mrow><mi>ν</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lambda ^{- u }I_{ u }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1 ight)z}{2}} ight)^{n}I_{ u +n}(z)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \lambda ^{- u }K_{ u }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1 ight)z}{2}} ight)^{n}K_{ u +n}(z). <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>λ</mi><mrow><mo>−</mo><mi>ν</mi></mrow></msup><msub><mi>K</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>λ</mi><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow></mfrac></mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>λ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>z</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><msub><mi>K</mi><mrow><mi>ν</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lambda ^{- u }K_{ u }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1 ight)z}{2}} ight)^{n}K_{ u +n}(z).}</annotation></semantics></math><img src=$

Zéros de la fonction de Bessel

L'hypothèse de Bourget

Bessel a initialement démontré que pour tout entier non négatif admet une infinité de solutions en sont représentées graphiquement, aucun zéro ne semble coïncider pour différentes valeurs de Ce phénomène est connu sous le nom d'hypothèse de Bourget, du nom du mathématicien français du XIXe siècle qui a étudié les fonctions de Bessel. Plus précisément, cette hypothèse stipule que pour tous entiers et , les fonctions et n'ont aucun zéro commun autre que celui en L'hypothèse a été démontrée par Carl Ludwig Siegel en 1929.

Transcendance

a démontré en 1929 que lorsque ν est rationnel, toutes les racines non nulles de et x) sont transcendantes , de même que toutes les racines de On sait également que toutes les racines des dérivées d'ordre supérieur ${\displaystyle J_{ u }^{(n)}(x) <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>J</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{ u }^{(n)}(x)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle J_{1}^{(3)}(\pm {\sqrt {3}})=0 <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>J</mi><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mo>±</mo><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{1}^{(3)}(\pm {\sqrt {3}})=0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle J_{0}^{(4)}(\pm {\sqrt {3}})=0 <semantics><mrow><mstyle><msubsup><mi>J</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>(</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mrow></msubsup><mo>(</mo><mo>±</mo><mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{0}^{(4)}(\pm {\sqrt {3}})=0}</annotation></semantics></math><img src=$

Approches numériques

Pour des études numériques sur les zéros de la fonction Bessel, voir & Temme (2007) ,

Valeurs numériques

Les premiers zéros de J ₀ (c'est-à-dire j _0,1 , j _0,2 et j _0,3 ) apparaissent respectivement aux arguments d'environ 2,40483, 5,52008 et 8,65373.

Histoire

Problèmes d'ondes et d'élasticité

La première apparition d'une fonction de Bessel remonte à 1732, dans les travaux de Daniel Bernoulli sur l'analyse d'une corde vibrante , un problème déjà abordé par son père, Johann Bernoulli . Daniel considérait une chaîne flexible suspendue à un point fixe en haut et libre à son extrémité inférieure. La solution de l'équation différentielle a conduit à l'introduction d'une fonction qui est aujourd'hui considérée comme une fonction de Bessel. ${\displaystyle J_{0}(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>J</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{0}(x)}</annotation></semantics></math><img src=$

En 1736, Leonhard Euler établit un lien entre d'autres fonctions (aujourd'hui connues sous le nom de polynômes de Laguerre ) et la solution de Bernoulli. Euler introduisit également une chaîne non uniforme qui mena à l'introduction de fonctions aujourd'hui apparentées aux fonctions de Bessel modifiées. ${\displaystyle I_{n}(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>je</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle I_{n}(x)}</annotation></semantics></math><img src=$

Au milieu du XVIIIe siècle, Jean le Rond d'Alembert avait trouvé une formule pour résoudre l' équation des ondes . En 1771, il y avait une dispute entre Bernoulli, Euler, d'Alembert et Joseph-Louis Lagrange sur la nature des solutions des cordes vibrantes.

En 1778, Euler travailla sur le flambement , introduisant le concept de charge critique d'Euler . Pour résoudre ce problème, il proposa la série suivante : ${\displaystyle J_{\pm 1/3}(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>J</mi><mrow><mo>±</mo><mn>1</mn><mrow><mo>/</mo></mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{\pm 1/3}(x)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle J_{n}(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>J</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{n}(x)}</annotation></semantics></math><img src=$ n .

À la fin du XVIIIe siècle, Lagrange, Pierre-Simon Laplace et Marc-Antoine Parseval trouvèrent également des équivalents aux fonctions de Bessel. Parseval, par exemple, trouva une représentation intégrale de ${\displaystyle J_{0}(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>J</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{0}(x)}</annotation></semantics></math><img src=$

Au début des années 1800, Joseph Fourier utilisa ${\displaystyle J_{0}(x) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>J</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle J_{0}(x)}</annotation></semantics></math><img src=$

Problèmes astronomiques

En 1770, Lagrange introduisit le développement en série des fonctions de Bessel pour résoudre l'équation de Kepler , une équation transcendante en astronomie. Friedrich Wilhelm Bessel avait pris connaissance de la solution de Lagrange, mais la jugeait difficile à mettre en œuvre. En 1813, dans une lettre à Carl Friedrich Gauss , Bessel simplifia le calcul à l'aide de fonctions trigonométriques. Bessel publia ses travaux en 1819, introduisant indépendamment la méthode des séries de Fourier, ignorant les travaux de Fourier publiés ultérieurement. En 1824, Bessel entreprit une étude systématique de ces fonctions, ce qui leur valut son nom. Dans les ouvrages plus anciens, ces fonctions étaient appelées fonctions cylindriques, voire fonctions de Bessel-Fourier.

Applications

Définitions

Fonctions de Bessel de première espèce : J α

Intégrales de Bessel

Relation avec les séries hypergéométriques

Relation avec les polynômes de Laguerre

Fonctions de Bessel de seconde espèce : Y α

Modified Bessel functions: Iα, Kα

Fonctions de Bessel sphériques : j n , y n

Fonction génératrice

Développements en séries finies

Relations différentielles

Fonctions de Hankel sphériques : h , h

Fonctions de Riccati – Bessel : S n , C n , ξ n , ζ n

formes asymptotiques

Propriétés

Relations de récurrence

Transcendance

Sommes avec fonctions de Bessel

Théorème de multiplication

Zéros de la fonction de Bessel

L'hypothèse de Bourget

Transcendance

Approches numériques

Valeurs numériques

Histoire

Problèmes d'ondes et d'élasticité

Problèmes astronomiques

Fonctions de Bessel de première espèce : J _α

Fonctions de Bessel de seconde espèce : Y _α

Modified Bessel functions: I_α, K_α

Fonctions de Bessel sphériques : j _n , y _n

Fonctions de Riccati – Bessel : S _n , C _n , ξ _n , ζ _n