Worldlex Wiki L'Institut de mathématiques Clay a officiellement désigné sous le nom de « Problème du millénaire » les sept problèmes mathématiques non résolus suivants : la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer , la conjecture de Hodge , l'existence et la régularité des équations de Navier-Stokes , le problème P versus NP , l'hypothèse de Riemann , l'existence et l'écart de masse de Yang-Mills , et la conjecture de Poincaré . Ainsi, sur le site web officiel de l'Institut de mathématiques Clay, ces sept problèmes sont officiellement appelés les « Problèmes du millénaire » .
Grigori Perelman en 2010. Cependant, il a décliné le prix car il n'était pas également proposé à Richard S. Hamilton , dont les travaux ont servi de base à ses recherches.
vingt-trois problèmes organisés par le mathématicien David Hilbert en 1900, qui ont fortement contribué au progrès des mathématiques au XXe siècle. Les sept problèmes retenus couvrent plusieurs domaines mathématiques, à savoir la géométrie algébrique , la géométrie arithmétique , la topologie géométrique , la physique mathématique , la théorie des nombres , les équations aux dérivées partielles et l'informatique théorique . Contrairement aux problèmes de Hilbert, ceux sélectionnés par l'Institut Clay étaient déjà reconnus parmi les mathématiciens professionnels, dont beaucoup travaillaient activement à leur résolution.Les sept problèmes ont été officiellement annoncés par John Tate et Michael Atiyah lors d'une cérémonie qui s'est tenue le 24 mai 2000 (à l'amphithéâtre Marguerite de Navarre ) au Collège de France à Paris .
Grigori Perelman , qui avait commencé à travailler sur la conjecture de Poincaré dans les années 1990, en a publié la démonstration en 2002 et 2003. Son refus du prix décerné par l'Institut Clay en 2010 a été largement médiatisé. Les six autres problèmes du prix du millénaire restent irrésolus, malgré de nombreuses démonstrations insatisfaisantes proposées par des mathématiciens amateurs et professionnels.
Andrew Wiles , membre du conseil scientifique de l'Institut Clay, espérait que l'attribution d' un prix d'un million de dollars américains contribuerait à populariser auprès du grand public les problèmes sélectionnés ainsi que « l'enthousiasme que suscite la recherche mathématique ». Un autre membre du conseil, Alain Connes , lauréat de la médaille Fields , espérait que la médiatisation des problèmes non résolus permettrait de lutter contre l'idée fausse, répandue dans le public, que les mathématiques seraient « supplantées par les ordinateurs ».
Certains mathématiciens se sont montrés plus critiques. Anatoly Vershik a qualifié le prix de « spectacle » représentant « les pires manifestations de la culture de masse actuelle » et a estimé qu'il existait des moyens plus pertinents d'investir dans la sensibilisation du public aux mathématiques. Il n'a pas été surpris par le traitement médiatique superficiel de Perelman et de ses travaux, qui accordait une importance disproportionnée à la valeur du prix lui-même. En revanche, Vershik a salué le financement direct par l'Institut Clay de conférences de recherche et de jeunes chercheurs. Les propos de Vershik ont ensuite été repris par Shing-Tung Yau , lauréat de la médaille Fields, qui a également critiqué l'idée qu'une fondation puisse s'« approprier » des questions mathématiques fondamentales et « y apposer son nom ».
Problème résolu
conjecture de Poincaré
En topologie géométrique , une sphère bidimensionnelle est caractérisée par le fait qu'elle est la seule surface bidimensionnelle fermée et simplement connexe . En 1904, Henri Poincaré a posé la question de savoir si une affirmation analogue était vraie pour les formes tridimensionnelles. Cette question est devenue la conjecture de Poincaré, dont la formulation précise est la suivante :
Toute variété topologique tridimensionnelle fermée et simplement connexe doit être homéomorphe à la 3-sphère .
Bien que la conjecture soit généralement énoncée sous cette forme, il est équivalent (comme cela a été découvert dans les années 1950) de la poser dans le contexte des variétés lisses et des difféomorphismes .
Une démonstration de cette conjecture, ainsi que de la conjecture de géométrisation plus puissante , a été apportée par Grigori Perelman en 2002 et 2003. La solution de Perelman a complété le programme de Richard Hamilton pour la résolution de la conjecture de géométrisation, qu'il avait développé au cours des vingt années précédentes. Les travaux de Hamilton et Perelman portaient sur le flot de Ricci de Hamilton , un système complexe d' équations aux dérivées partielles défini dans le domaine de la géométrie riemannienne .
Pour ses contributions à la théorie des flots de Ricci, Perelman a reçu la médaille Fields en 2006. Il a cependant refusé ce prix. Pour sa démonstration de la conjecture de Poincaré, Perelman a reçu le prix du Millénaire le 18 mars 2010. Il a cependant décliné ce prix et la somme qui y était associée, affirmant que la contribution d'Hamilton était tout aussi importante que la sienne.
Problèmes non résolus
conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer
Nous appelons cela le groupe des classes de Hodge de degré 2 k sur X.
L'énoncé moderne de la conjecture de Hodge est le suivant :
- Soit X une variété projective complexe non singulière. Alors toute classe de Hodge sur X est une combinaison linéaire à coefficients rationnels des classes de cohomologie des sous-variétés complexes de X.
L'énoncé officiel du problème a été donné par Pierre Deligne .
existence et régularité des équations de Navier-Stokes
P versus NP
La question est de savoir si, pour tout problème pour lequel un algorithme peut vérifier rapidement une solution donnée (c'est-à-dire en temps polynomial ), un algorithme peut également trouver rapidement cette solution. Puisque la première formulation décrit la classe de problèmes appelée NP, tandis que la seconde décrit P, la question revient à se demander si tous les problèmes de NP appartiennent également à P. Il s'agit généralement d'une des questions ouvertes les plus importantes en mathématiques et en informatique théorique, car elle a des conséquences considérables pour d'autres problèmes en mathématiques , en , en et en cryptographie (voir Conséquences de la comparaison NP ). Un exemple courant de problème NP dont on ignore s'il appartient à P est le problème de la satisfaisabilité .
La plupart des mathématiciens et des informaticiens s'attendent à ce que P ≠ NP ; cependant, cela reste à prouver.
La déclaration officielle du problème a été donnée par Stephen Cook .
L'hypothèse de Riemann
La fonction zêta de Riemann est une fonction dont les arguments peuvent être n'importe quel nombre complexe différent de 1, et dont les valeurs sont également complexes. Cette fonction peut être exprimée comme la somme infinie des puissances d'une fraction unitaire : Son prolongement analytique admet des zéros aux entiers pairs négatifs ; c'est-à-dire lorsque est l'un des nombres suivants : , , , etc. Ces zéros sont appelés zéros triviaux. Cependant, les entiers pairs négatifs ne sont pas les seules valeurs pour lesquelles la fonction zêta s'annule. Les autres valeurs sont appelées zéros non triviaux. L'hypothèse de Riemann s'intéresse à la position de ces zéros non triviaux et stipule que :
L'hypothèse de Riemann stipule que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont une partie réelle de 1/2Une démonstration ou une réfutation de ce résultat aurait des implications considérables en théorie des nombres , notamment pour la distribution des nombres premiers . Il s'agissait du huitième problème de Hilbert , et il demeure, un siècle plus tard, un problème ouvert important .
Le problème est bien connu depuis qu'il a été posé à l'origine par Bernhard Riemann en 1859. L'exposé du problème par le Clay Institute a été donné par Enrico Bombieri .
Existence de Yang-Mills et lacune de masse
Pour un champ réel donné , on peut dire que la théorie possède un gap de masse si la fonction à deux points possède la propriété suivante :
L'énergie minimale du spectre de l' hamiltonien correspond à l'écart de masse. Cette quantité, facilement généralisable à d'autres champs, est généralement celle mesurée dans les calculs sur réseau.0" 
La théorie de Yang-Mills quantique constitue actuellement le fondement de la majorité des applications théoriques de la pensée à la réalité et aux réalités potentielles de la physique des particules élémentaires . Cette théorie généralise la théorie de Maxwell de l'électromagnétisme , dans laquelle le champ chromo -électromagnétique est lui-même chargé. En tant que théorie classique des champs, elle admet des solutions se propageant à la vitesse de la lumière, de sorte que sa version quantique devrait décrire des particules sans masse ( les gluons ). Cependant, le phénomène postulé de confinement de couleur n'autorise que des états liés de gluons, formant ainsi des particules massives. C'est ce qu'on appelle le gap de masse . Un autre aspect du confinement est la liberté asymptotique , qui rend concevable l' existence de la théorie de Yang-Mills quantique sans restriction aux basses énergies. Le problème consiste à établir rigoureusement l'existence de la théorie de Yang-Mills quantique et du gap de masse.
- Démontrer que pour tout groupe de jauge simple compact G, une théorie quantique de Yang-Mills non triviale existe et possède un écart de masse Δ > 0. L'existence implique l'établissement de propriétés axiomatiques au moins aussi fortes que celles citées dans Streater & Wightman (1964), Osterwalder & Schrader (1973), et Osterwalder & Schrader (1975).
L'énoncé officiel du problème a été donné par Arthur Jaffe et Edward Witten .