Ligne de nombres réels étendue

En mathématiques , le système de nombres réels étendu est obtenu à partir du système de nombres réels en ajoutant deux éléments notés et qui sont respectivement plus grand et plus petit que tout nombre réel. Cela permet de traiter les infinis potentiels des suites infiniment croissantes et des séries infiniment décroissantes comme des infinis réels . Par exemple, la suite infinie des nombres naturels augmente à l'infini et n'a pas de borne supérieure dans le système de nombres réels (une infinité potentielle) ; dans la droite des nombres réels étendus, la suite a comme plus petite borne supérieure et comme limite (une infinité réelle). En calcul et en analyse mathématique , l'utilisation de et comme limites réelles étend considérablement les calculs possibles. C'est la complétude de Dedekind–MacNeille des nombres réels.

Le système de nombres réels étendu est noté ou ou Lorsque la signification ressort clairement du contexte, le symbole est souvent écrit simplement comme

Il existe également une ligne réelle projectivement étendue distincte où et ne sont pas distingués, c'est-à-dire qu'il existe une seule infinité réelle pour les suites infiniment croissantes et les suites infiniment décroissantes qui est notée comme juste ou comme .

La droite numérique étendue est souvent utile pour décrire le comportement d'une fonction lorsque l' argument ou la valeur de la fonction devient « infiniment grand » dans un certain sens. Par exemple, considérons la fonction définie par

Le graphique de cette fonction a une asymptote horizontale à Géométriquement, lorsque l'on se déplace de plus en plus vers la droite le long de l' axe des , la valeur de se rapproche de 0 . Ce comportement limitatif est similaire à la limite d'une fonction dans laquelle le nombre réel se rapproche, sauf qu'il n'y a pas de nombre réel qui se rapproche lorsque augmente à l'infini. En joignant les éléments et à permet une définition de « limites à l'infini » qui est très similaire à la définition habituelle des limites, sauf que est remplacé par (pour ) ou (pour ). Cela permet de prouver et d'écrire $Nx>N$N}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a4a6761749bf7af41d26faad5ec50beb69d1c5">

En théorie de la mesure , il est souvent utile d'autoriser des ensembles ayant une mesure infinie et des intégrales dont la valeur peut être infinie.

De telles mesures naissent naturellement du calcul. Par exemple, pour attribuer à une mesure qui concorde avec la longueur habituelle des intervalles , cette mesure doit être supérieure à tout nombre réel fini. De même, lorsqu'on considère des intégrales impropres , telles que

la valeur « infini » apparaît. Enfin, il est souvent utile de considérer la limite d'une suite de fonctions, comme

Sans permettre aux fonctions de prendre des valeurs infinies, des résultats essentiels tels que le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée n’auraient pas de sens.

Le système de nombres réels étendu , défini comme ou , peut être transformé en un ensemble totalement ordonné en définissant pour tout Avec cette topologie d'ordre , a la propriété souhaitable de compacité : Tout sous-ensemble de a un supremum et un infimum (le infimum de l' ensemble vide est , et son supremum est ). De plus, avec cette topologie , est homéomorphe à l' intervalle unité Ainsi la topologie est métrisable , correspondant (pour un homéomorphisme donné) à la métrique ordinaire sur cet intervalle. Il n'existe cependant aucune métrique qui soit une extension de la métrique ordinaire sur

Dans cette topologie, un ensemble est un voisinage de si et seulement s'il contient un ensemble pour un nombre réel . La notion de voisinage de peut être définie de la même manière. En utilisant cette caractérisation des voisinages réels étendus, les limites avec tendant vers ou , et les limites « égales » à et , se réduisent à la définition topologique générale des limites — au lieu d'avoir une définition spéciale dans le système des nombres réels. $a\backslash \{x:x>\mathrm{un}\}$a\}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a893288afd549058008254324e37b62ca5697a18">

Les opérations arithmétiques de peuvent être partiellement étendues comme suit :

Pour l'exponentiation, voir Exponentiation § Limites des puissances . Ici, signifie à la fois et tandis que signifie à la fois et

Les expressions et (appelées formes indéterminées ) sont généralement laissées indéfinies . Ces règles sont calquées sur les lois des limites infinies . Cependant, dans le contexte de la théorie des probabilités ou de la mesure, est souvent définie comme

Lorsqu'on a affaire à des nombres réels étendus positifs et négatifs, l'expression est généralement laissée indéfinie, car, bien qu'il soit vrai que pour chaque suite réelle non nulle qui converge vers la suite réciproque est finalement contenue dans chaque voisinage de, il n'est pas vrai que la suite doive elle-même converger vers ou En d'autres termes, si une fonction continue atteint un zéro à une certaine valeur , il n'est pas nécessaire que ce soit le cas que tende vers ou dans la limite où tend vers C'est le cas pour les limites de la fonction identité lorsque tend vers et de (pour cette dernière fonction, ni ni n'est une limite de même si seules les valeurs positives de sont considérées).

Cependant, dans les contextes où seules les valeurs non négatives sont prises en compte, il est souvent pratique de définir Par exemple, lorsque l'on travaille avec des séries entières , le rayon de convergence d'une série entière à coefficients est souvent défini comme l'inverse de la limite-suprême de la suite . Ainsi, si l'on autorise la prise de la valeur alors on peut utiliser cette formule indépendamment du fait que la limite-suprême soit ou non.

Avec les opérations arithmétiques définies ci-dessus, n'est même pas un semi-groupe , et encore moins un groupe , un anneau ou un corps comme dans le cas de Cependant, il possède plusieurs propriétés pratiques :

• Si et si et sont tous deux définis, alors
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En général, toutes les lois de l’arithmétique sont valables tant que toutes les expressions présentes sont définies.

Plusieurs fonctions peuvent être étendues en continu en prenant des limites. Par exemple, on peut définir les points extrémaux des fonctions suivantes comme :

Certaines singularités peuvent également être supprimées. Par exemple, la fonction peut être étendue en continu à (selon certaines définitions de continuité), en définissant la valeur à pour et pour et D'un autre côté, la fonction ne peut pas être étendue en continu, car la fonction s'approche comme s'approche par le bas et comme s'approche par le haut, c'est-à-dire que la fonction ne converge pas vers la même valeur que sa variable indépendante s'approche du même élément de domaine à la fois du côté des valeurs positives et négatives.

Un système de droites réelles similaire mais différent, la droite réelle étendue projectivement , ne fait pas de distinction entre et (c'est-à-dire que l'infini n'est pas signé). En conséquence, une fonction peut avoir une limite sur la droite réelle étendue projectivement, alors que dans le système de nombres réels étendu, seule la valeur absolue de la fonction a une limite, par exemple dans le cas de la fonction à D'autre part, sur la droite réelle étendue projectivement, et correspondent uniquement à une limite à droite et à une limite à gauche, respectivement, la limite complète n'existant que lorsque les deux sont égales. Ainsi, les fonctions et ne peuvent pas être rendues continues à sur la droite réelle étendue projectivement.