Graphique Q–Q

En statistique, un graphique Q–Q ( graphique quantile–quantile ) est un graphique de probabilité, une méthode graphique permettant de comparer deux distributions de probabilité en traçant leurs quantiles l'un par rapport à l'autre. Un point ( x , y ) sur le graphique correspond à l'un des quantiles de la deuxième distribution ( coordonnée y ) tracé par rapport au même quantile de la première distribution ( coordonnée x ). Cela définit une courbe paramétrique où le paramètre est l'indice de l'intervalle quantile.

Si les deux distributions comparées sont similaires, les points du graphique Q–Q se situeront approximativement sur la ligne d'identité y = x . Si les distributions sont linéairement liées, les points du graphique Q–Q se situeront approximativement sur une ligne, mais pas nécessairement sur la ligne y = x . Les graphiques Q–Q peuvent également être utilisés comme moyen graphique d'estimation des paramètres dans une famille de distributions à l'échelle de la localisation .

Le graphique AQ–Q est utilisé pour comparer les formes des distributions, en fournissant une vue graphique de la façon dont les propriétés telles que l'emplacement , l'échelle et l'asymétrie sont similaires ou différentes dans les deux distributions. Les graphiques Q–Q peuvent être utilisés pour comparer des collections de données ou des distributions théoriques . L'utilisation de graphiques Q–Q pour comparer deux échantillons de données peut être considérée comme une approche non paramétrique pour comparer leurs distributions sous-jacentes. Le graphique AQ–Q est généralement plus diagnostique que la comparaison des histogrammes des échantillons , mais est moins connu. Les graphiques Q–Q sont couramment utilisés pour comparer un ensemble de données à un modèle théorique. Cela peut fournir une évaluation de la qualité de l'ajustement qui est graphique, plutôt que de se réduire à une statistique récapitulative numérique . Les graphiques Q–Q sont également utilisés pour comparer deux distributions théoriques l'une à l'autre. Étant donné que les graphiques Q–Q comparent les distributions, il n’est pas nécessaire que les valeurs soient observées par paires, comme dans un nuage de points , ou même que le nombre de valeurs dans les deux groupes comparés soit égal.

Le terme « diagramme de probabilité » fait parfois spécifiquement référence à un diagramme Q–Q, parfois à une classe plus générale de diagrammes, et parfois au diagramme P–P , moins couramment utilisé . Le diagramme de probabilité du coefficient de corrélation (diagramme PPCC) est une quantité dérivée de l'idée de diagrammes Q–Q, qui mesure la concordance d'une distribution ajustée avec les données observées et qui est parfois utilisée comme moyen d'ajuster une distribution aux données.

Un graphique Q–Q est un graphique des quantiles de deux distributions l'un par rapport à l'autre, ou un graphique basé sur des estimations des quantiles. Le motif des points du graphique est utilisé pour comparer les deux distributions.

L'étape principale de la construction d'un graphique Q–Q consiste à calculer ou à estimer les quantiles à représenter. Si l'un des axes ou les deux d'un graphique Q–Q sont basés sur une distribution théorique avec une fonction de distribution cumulative (CDF) continue, tous les quantiles sont définis de manière unique et peuvent être obtenus en inversant la CDF. Si une distribution de probabilité théorique avec une CDF discontinue est l'une des deux distributions comparées, certains quantiles peuvent ne pas être définis, de sorte qu'un quantile interpolé peut être représenté. Si le graphique Q–Q est basé sur des données, plusieurs estimateurs de quantiles sont utilisés. Les règles de formation de graphiques Q–Q lorsque des quantiles doivent être estimés ou interpolés sont appelées positions de tracé.

Un cas simple est celui où l'on dispose de deux ensembles de données de même taille. Dans ce cas, pour réaliser le graphique Q–Q, on classe chaque ensemble par ordre croissant, puis on le met par paires et on trace les valeurs correspondantes. Une construction plus compliquée est le cas où l'on compare deux ensembles de données de tailles différentes. Pour construire le graphique Q–Q dans ce cas, il est nécessaire d'utiliser une estimation de quantile interpolée afin de pouvoir construire des quantiles correspondant à la même probabilité sous-jacente.

De manière plus abstraite, étant donné deux fonctions de distribution de probabilité cumulative F et G , avec des fonctions quantiles associées F ⁻¹ et G ⁻¹ (la fonction inverse de la CDF est la fonction quantile), le tracé Q–Q dessine le q -ième quantile de F par rapport au q -ième quantile de G pour une plage de valeurs de q . Ainsi, le tracé Q–Q est une courbe paramétrique indexée sur [0,1] avec des valeurs dans le plan réel R ² .

Les points tracés dans un graphique Q–Q ne sont jamais décroissants lorsqu'ils sont visualisés de gauche à droite. Si les deux distributions comparées sont identiques, le graphique Q–Q suit la ligne à 45° y = x . Si les deux distributions concordent après transformation linéaire des valeurs dans l'une des distributions, alors le graphique Q–Q suit une ligne, mais pas nécessairement la ligne y = x . Si la tendance générale du graphique Q–Q est plus plate que la ligne y = x , la distribution tracée sur l'axe horizontal est plus dispersée que la distribution tracée sur l'axe vertical. Inversement, si la tendance générale du graphique Q–Q est plus raide que la ligne y = x , la distribution tracée sur l'axe vertical est plus dispersée que la distribution tracée sur l'axe horizontal. Les graphiques Q–Q sont souvent en forme d'arc ou de S, indiquant que l'une des distributions est plus asymétrique que l'autre, ou que l'une des distributions a des queues plus lourdes que l'autre.

Bien qu'un graphique Q–Q soit basé sur des quantiles, dans un graphique Q–Q standard, il n'est pas possible de déterminer quel point du graphique Q–Q détermine un quantile donné. Par exemple, il n'est pas possible de déterminer la médiane de l'une ou l'autre des deux distributions comparées en inspectant le graphique Q–Q. Certains graphiques Q–Q indiquent les déciles pour rendre possibles de telles déterminations.

L'interception et la pente d'une régression linéaire entre les quantiles donnent une mesure de la position relative et de l'échelle relative des échantillons. Si la médiane de la distribution tracée sur l'axe horizontal est 0, l'interception d'une ligne de régression est une mesure de la position et la pente est une mesure de l'échelle. La distance entre les médianes est une autre mesure de la position relative reflétée dans un graphique Q–Q. Le « coefficient de corrélation du graphique de probabilité » (graphique PPCC) est le coefficient de corrélation entre les quantiles d'échantillon appariés. Plus le coefficient de corrélation est proche de 1, plus les distributions sont proches d'être des versions décalées et mises à l'échelle l'une de l'autre. Pour les distributions avec un seul paramètre de forme, le graphique du coefficient de corrélation du graphique de probabilité fournit une méthode d'estimation du paramètre de forme : on calcule simplement le coefficient de corrélation pour différentes valeurs du paramètre de forme et on utilise celle qui correspond le mieux, comme si l'on comparait des distributions de différents types.

Une autre utilisation courante des graphiques Q–Q consiste à comparer la distribution d'un échantillon à une distribution théorique, telle que la distribution normale standard N (0,1) , comme dans un graphique de probabilité normal . Comme dans le cas de la comparaison de deux échantillons de données, on ordonne les données (formellement, on calcule les statistiques d'ordre), puis on les trace par rapport à certains quantiles de la distribution théorique.

Le choix des quantiles d'une distribution théorique peut dépendre du contexte et de l'objectif. Un choix, étant donné un échantillon de taille n , est k / n pour k = 1, …, n , car ce sont les quantiles que la distribution d'échantillonnage réalise. Le dernier de ces choix, n / n , correspond au 100e percentile – la valeur maximale de la distribution théorique, qui est parfois infinie. D'autres choix sont l'utilisation de ( k − 0,5) / n , ou au lieu de cela d'espacer les n points de telle sorte qu'il y ait une distance égale entre eux tous et également entre les deux points les plus extérieurs et les bords de l' intervalle, en utilisant k / ( n + 1) .

De nombreux autres choix ont été suggérés, à la fois formels et heuristiques, basés sur la théorie ou des simulations pertinentes dans le contexte. Les sous-sections suivantes en discutent quelques-uns. Une question plus précise est celle du choix d'un maximum (estimation d'un maximum de population), connu sous le nom de problème du char allemand , pour lequel il existe des solutions similaires de type « maximum d'échantillon, plus un écart », le plus simplement m + m / n − 1 . Une application plus formelle de cette uniformisation de l'espacement se produit dans l'estimation de l'espacement maximal des paramètres.

L' approche k / ( n + 1) équivaut à tracer les points en fonction de la probabilité que la dernière des ( n + 1 ) valeurs tirées au hasard ne dépasse pas la k -ième plus petite des n premières valeurs tirées au hasard.

Lors de l'utilisation d'un diagramme de probabilité normal , les quantiles utilisés sont les rankits , le quantile de la valeur attendue de la statistique d'ordre d'une distribution normale standard.

Plus généralement, le test de Shapiro-Wilk utilise les valeurs attendues des statistiques d'ordre de la distribution donnée ; le tracé et la ligne résultants donnent l' estimation des moindres carrés généralisés pour l'emplacement et l'échelle (à partir de l' intercept et de la pente de la ligne ajustée). Bien que cela ne soit pas trop important pour la distribution normale (l'emplacement et l'échelle sont estimés respectivement par la moyenne et l'écart type), cela peut être utile pour de nombreuses autres distributions.

Cependant, cela nécessite de calculer les valeurs attendues de la statistique d’ordre, ce qui peut être difficile si la distribution n’est pas normale.

Alternativement, on peut utiliser des estimations de la médiane des statistiques d'ordre, que l'on peut calculer sur la base des estimations de la médiane des statistiques d'ordre d'une distribution uniforme et de la fonction quantile de la distribution ; cela a été suggéré par Filliben (1975).

Ceci peut être facilement généré pour toute distribution pour laquelle la fonction quantile peut être calculée, mais inversement, les estimations résultantes de l'emplacement et de l'échelle ne sont plus précisément les estimations des moindres carrés, bien que celles-ci ne diffèrent significativement que pour n petit.

Plusieurs formules différentes ont été utilisées ou proposées comme positions de tracé symétriques affines . Ces formules ont la forme ( k − a ) / ( n + 1 − 2 a ) pour une valeur de a comprise entre 0 et 1, ce qui donne une plage comprise entre k / ( n + 1) et ( k − 1) / ( n − 1) .

Les expressions incluent :

• k / ( n + 1)
• ( k − 0,3) / ( n + 0,4) .
• ( k − 0,3175) / ( n + 0,365) .
• ( k − 0,326) / ( n + 0,348) .
• ( k − ⅓) / ( n + ⅓) .
• ( k − 0,375) / ( n + 0,25) .
• ( k − 0,4) / ( n + 0,2) .
• ( k − 0,44) / ( n + 0,12) .
• ( k − 0,5) /  n .
• ( k − 0,567) / ( n − 0,134) .
• ( k − 1) / ( n − 1) .

Pour un échantillon de grande taille, n , il y a peu de différence entre ces différentes expressions.

Les médianes des statistiques d'ordre sont les médianes des statistiques d'ordre de la distribution. Elles peuvent être exprimées en termes de fonction quantile et de médianes des statistiques d'ordre pour la distribution uniforme continue par :

où U ( i ) sont les médianes des statistiques d'ordre uniforme et G est la fonction quantile de la distribution souhaitée. La fonction quantile est l'inverse de la fonction de distribution cumulative (probabilité que X soit inférieur ou égal à une certaine valeur). Autrement dit, étant donné une probabilité, nous voulons le quantile correspondant de la fonction de distribution cumulative.

James J. Filliben utilise les estimations suivantes pour les médianes des statistiques d'ordre uniforme :

La raison de cette estimation est que les médianes des statistiques d’ordre n’ont pas une forme simple.

Le langage de programmation R est fourni avec des fonctions permettant de réaliser des tracés Q–Q, à savoir qqnorm et qqplot du statspackage. Le fastqqpackage implémente un tracé plus rapide pour un grand nombre de points de données.