Distribution normale projetée

En statistiques directionnelles , la distribution normale projetée (également connue sous le nom de distribution normale décalée , distribution normale angulaire ou distribution gaussienne angulaire ) est une distribution de probabilité sur les directions qui décrit la projection radiale d'une variable aléatoire avec une distribution normale à n variables sur la sphère unité (n-1) .

Définition et propriétés

Étant donnée une variable aléatoire qui suit une distribution normale multivariée , la distribution normale projetée représente la distribution de la variable aléatoire obtenue en projetant sur la sphère unité. Dans le cas général, la distribution normale projetée peut être asymétrique et multimodale . Dans le cas où est orthogonal à un vecteur propre de , la distribution est symétrique. La première version de cette distribution a été introduite dans Pukkila et Rao (1988). ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\in \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>∈</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {X}}\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }}) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}={\frac {\boldsymbol {X}}{\lVert {\boldsymbol {X}} Vert <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Y</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>X</mi> <mrow> <mo>‖</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>‖</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {Y}}={\frac {\boldsymbol {X}}{\lVert {\boldsymbol {X}} Vert }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol {X <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {X}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Fonction de densité

La densité de la distribution normale projetée peut être construite à partir de la densité de sa distribution normale génératrice à n variables en reparamétrant les coordonnées sphériques à n dimensions puis en intégrant sur la coordonnée radiale. ${\displaystyle {\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}</annotation> </semantics> </math><img src=$

En coordonnées sphériques avec une composante radiale et des angles , un point peut s'écrire comme , avec . La densité articulaire devient ${\displaystyle r\in [0,\infty ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>r</mi> <mo>∈</mo> <mo>[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>∞</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle r\in [0,\infty )}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol { heta }}=( heta _{1},\dots , heta _{n-1})\in [0,\pi ]^{n-2} imes [0,2\pi ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>∈</mo> <mo>[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>π</mi> <msup> <mo>]</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mo>[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol { heta }}=( heta _{1},\dots , heta _{n-1})\in [0,\pi ]^{n-2} imes [0,2\pi )}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=r{\boldsymbol {v <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {x}}=r{\boldsymbol {v}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {v}} Vert =1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>‖</mo> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>‖</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \lVert {\boldsymbol {v}} Vert =1}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle p(r,{\boldsymbol { heta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {r^{n-1}}{{\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}(r{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {\mu }})^{ op }\Sigma ^{-1}(r{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {\mu }}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>r</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <msqrt> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </msqrt> </mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>⊤</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>Σ</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p(r,{\boldsymbol { heta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {r^{n-1}}{{\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}(r{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {\mu }})^{ op }\Sigma ^{-1}(r{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {\mu }})}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et la densité de peut alors être obtenue comme ${\displaystyle {\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle p({\boldsymbol { heta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})=\int _{0}^{\infty }p(r,{\boldsymbol { heta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})dr. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </msubsup> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p({\boldsymbol { heta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})=\int _{0}^{\infty }p(r,{\boldsymbol { heta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})dr.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La même densité avait été précédemment obtenue dans Pukkila et Rao (1988, Eq. (2.4)) en utilisant une notation différente.

Distribution circulaire

En paramétrant la position sur le cercle unité en coordonnées polaires comme , la fonction de densité peut s'écrire par rapport aux paramètres et de la distribution normale initiale comme ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(\cos heta ,\sin heta ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>,</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(\cos heta ,\sin heta )}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle p( heta |{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\mu }}^{ op }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{2\pi {\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}{\boldsymbol {v}}^{ op }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}}}}\left(1+T( heta ){\frac {\Phi (T( heta ))}{\phi (T( heta ))}} ight)I_{[0,2\pi )}( heta ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> <mrow> <mi>⊤</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mrow> <msqrt> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </msqrt> </mrow> <msup> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>⊤</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>T</mi> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>Φ</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>ϕ</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p( heta |{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\mu }}^{ op }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{2\pi {\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}{\boldsymbol {v}}^{ op }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}}}}\left(1+T( heta ){\frac {\Phi (T( heta ))}{\phi (T( heta ))}} ight)I_{[0,2\pi )}( heta )}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où et sont la densité et la distribution cumulative d'une distribution normale standard , , et est la fonction indicatrice . ${\displaystyle \phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Phi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T( heta )={\frac {{\boldsymbol {v}}^{ op }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}{\sqrt {{\boldsymbol {v}}^{ op }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>⊤</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> <msqrt> <msup> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>⊤</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T( heta )={\frac {{\boldsymbol {v}}^{ op }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}{\sqrt {{\boldsymbol {v}}^{ op }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}}}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle I <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Dans le cas circulaire, si le vecteur moyen est parallèle au vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de la covariance, la distribution est symétrique et possède un mode à et soit un mode soit un antimode à , où est l'angle polaire de . Si la moyenne est parallèle au vecteur propre associé à la plus petite valeur propre, la distribution est également symétrique mais possède soit un mode soit un antimode à et un antimode à . ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle heta =\alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle heta =\alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle heta =\alpha +\pi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle heta =\alpha +\pi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>α</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle heta =\alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle heta =\alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle heta =\alpha +\pi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle heta =\alpha +\pi }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Distribution sphérique

En paramétrant la position sur la sphère unité en coordonnées sphériques comme où sont respectivement les angles d'azimut et d'inclinaison , la fonction de densité devient ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(\cos heta _{1}\sin heta _{2},\sin heta _{1}\sin heta _{2},\cos heta _{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(\cos heta _{1}\sin heta _{2},\sin heta _{1}\sin heta _{2},\cos heta _{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\boldsymbol { heta }}=( heta _{1}, heta _{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\boldsymbol { heta }}=( heta _{1}, heta _{2})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle heta _{1}\in [0,2\pi ) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mo>[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle heta _{1}\in [0,2\pi )}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle heta _{2}\in [0,\pi ] <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mo>[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>π</mi> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle heta _{2}\in [0,\pi ]}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle p({\boldsymbol { heta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\mu }}^{ op }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{{\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}\left(2\pi {\boldsymbol {v}}^{ op }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}} ight)^{\frac {3}{2}}}}\left({\frac {\Phi (T({\boldsymbol { heta }}))}{\phi (T({\boldsymbol { heta }}))}}+T({\boldsymbol { heta }})\left(1+T({\boldsymbol { heta }}){\frac {\Phi (T({\boldsymbol { heta }}))}{\phi (T({\boldsymbol { heta }}))}} ight) ight)I_{[0,2\pi )}( heta _{1})I_{[0,\pi ]}( heta _{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> <mrow> <mi>⊤</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <msqrt> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </msqrt> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>⊤</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>Φ</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>ϕ</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>T</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>T</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>Φ</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>ϕ</mi> <mo>(</mo> <mi>T</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>π</mi> <mo>]</mo> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>θ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p({\boldsymbol { heta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\mu }}^{ op }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{{\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}\left(2\pi {\boldsymbol {v}}^{ op }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}} ight)^{\frac {3}{2}}}}\left({\frac {\Phi (T({\boldsymbol { heta }}))}{\phi (T({\boldsymbol { heta }}))}}+T({\boldsymbol { heta }})\left(1+T({\boldsymbol { heta }}){\frac {\Phi (T({\boldsymbol { heta }}))}{\phi (T({\boldsymbol { heta }}))}} ight) ight)I_{[0,2\pi )}( heta _{1})I_{[0,\pi ]}( heta _{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où , , , et ont la même signification que le cas circulaire. ${\displaystyle \phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Phi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle I <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src=$